Aufgaben:Aufgabe 3.5: Rekursive Filter für GF(2): Unterschied zwischen den Versionen
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:$$G(D) = \frac{A(D)}{B(D)} = \frac{a_0 + a_1 \cdot D + a_2 \cdot D^2}{1 + b_1 \cdot D + b_2 \cdot D^2} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$G(D) = \frac{A(D)}{B(D)} = \frac{a_0 + a_1 \cdot D + a_2 \cdot D^2}{1 + b_1 \cdot D + b_2 \cdot D^2} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Zu beachten ist, dass sich alle Rechenoperationen auf ${\rm GF(2)}$ beziehen. Damit sind auch die Filterkoeffizienten $a_0, a_1, a_2, b_1$ und $b_2$ binär (entweder $0$ oder $1$ | + | Zu beachten ist, dass sich alle Rechenoperationen auf ${\rm GF(2)}$ beziehen. Damit sind auch die Filterkoeffizienten $a_0, \ a_1, \ a_2, \ b_1$ und $b_2$ binär $($entweder $0$ oder $1)$. |
Die untere Grafik zeigt das für die vorliegende Aufgabe spezifische Filter: | Die untere Grafik zeigt das für die vorliegende Aufgabe spezifische Filter: | ||
| − | *Ein Filterkoeffizient ergibt sich zu $a_i = 1$, wenn die Verbindung durchgeschaltet ist $(0 ≤ i ≤ 2)$. | + | *Ein Filterkoeffizient ergibt sich zu $a_i = 1$, wenn die Verbindung durchgeschaltet ist $(0 ≤ i ≤ 2)$. |
| − | *Andernfalls ist $a_i = 0$. Die gleiche Systematik gilt für die Koeffizienten $b_1$ und $b_2$. | + | *Andernfalls ist $a_i = 0$. Die gleiche Systematik gilt für die Koeffizienten $b_1$ und $b_2$. |
| − | In den Teilaufgaben (1), ... , (3) sollen Sie für verschiedene Eingangssequenzen | + | In den Teilaufgaben '''(1)''', ... , '''(3)''' sollen Sie für verschiedene Eingangssequenzen |
* $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$, | * $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$, | ||
* $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$, | * $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$, | ||
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| − | die jeweilige Ausgangssequenz $\underline{x}$ anhand der vorgegebenen Schaltung ermitteln. Es ist zu berücksichtigen: | + | die jeweilige Ausgangssequenz $\underline{x}$ anhand der vorgegebenen Schaltung ermitteln. Es ist zu berücksichtigen: |
| − | * Besteht die Eingangssequenz $\underline{u}$ aus einer Eins gefolgt von lauter Nullen, so bezeichnet man diese spezifische Ausgangssequenz $\underline{x}$ als die [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort|Impulsantwort]] $\underline{g}$, und es gilt: | + | * Besteht die Eingangssequenz $\underline{u}$ aus einer Eins gefolgt von lauter Nullen, so bezeichnet man diese spezifische Ausgangssequenz $\underline{x}$ als die [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort|Impulsantwort]] $\underline{g}$, und es gilt: |
:$$\underline{g} \hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}{G}(D)\hspace{0.05cm}. $$ | :$$\underline{g} \hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}{G}(D)\hspace{0.05cm}. $$ | ||
| − | * Andernfalls ergibt sich die Ausgangssequenz als das [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation| Faltungsprodukt]] zwischen Eingangssequenz und Impulsantwort: | + | * Andernfalls ergibt sich die Ausgangssequenz als das [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation| Faltungsprodukt]] zwischen Eingangssequenz und Impulsantwort: |
:$$\underline{x} = \underline{u} * \underline{g} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$\underline{x} = \underline{u} * \underline{g} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | * Die Faltungsoperation lässt sich mit dem Umweg über die [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#GF.282.29.E2.80.93Beschreibungsformen_eines_Digitalen_Filters| $D$–Transformation]] umgehen. | + | * Die Faltungsoperation lässt sich mit dem Umweg über die [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#GF.282.29.E2.80.93Beschreibungsformen_eines_Digitalen_Filters| $D$–Transformation]] umgehen. |
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''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
| − | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]]. | + | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]]. |
| − | * Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Filterstruktur_bei_gebrochen.E2.80.93rationaler_.C3.9Cbertragungsfunktion| Filterstruktur bei gebrochen–rationaler Übertragungsfunktion]] | + | * Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Filterstruktur_bei_gebrochen.E2.80.93rationaler_.C3.9Cbertragungsfunktion| Filterstruktur bei gebrochen–rationaler Übertragungsfunktion]] |
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Welche Aussagen gelten für die Impulsantwort $\underline{g}$ des rekursiven Filters? | + | {Welche Aussagen gelten für die Impulsantwort $\underline{g}$ des rekursiven Filters? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | - Es gilt $\underline{g} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, ...)$. | + | - Es gilt $\underline{g} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$. |
| − | + Es gilt $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, ...)$. | + | + Es gilt $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$. |
| − | + Die Impulsantwort $\underline{g}$ ist unendlich weit ausgedehnt. | + | + Die Impulsantwort $\underline{g}$ ist unendlich weit ausgedehnt. |
| − | {Es sei nun $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1)$. Welche Aussagen treffen zu? | + | {Es sei nun $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1)$. Welche Aussagen treffen zu? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | + Die Ausgangssequenz lautet: $\underline{x} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, ...)$. | + | + Die Ausgangssequenz lautet: $\underline{x} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$. |
| − | - Die Ausgangssequenz lautet: $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, ...)$. | + | - Die Ausgangssequenz lautet: $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$. |
| − | + Die Ausgangssequenz $\underline{x}$ reicht bis ins Unendliche. | + | + Die Ausgangssequenz $\underline{x}$ reicht bis ins Unendliche. |
| − | {Nun gelte $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1)$. Welche Aussagen treffen zu? | + | {Nun gelte $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1)$. Welche Aussagen treffen zu? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | + Die Ausgangssequenz $\underline{x}$ beginnt mit $(1, \, 0, \, 1)$. | + | + Die Ausgangssequenz $\underline{x}$ beginnt mit $(1, \, 0, \, 1)$. |
| − | - Die Ausgangssequenz $\underline{x}$ beginnt mit $(1, \, 1, \, 1)$. | + | - Die Ausgangssequenz $\underline{x}$ beginnt mit $(1, \, 1, \, 1)$. |
| − | - Die Ausgangssequenz $\underline{x}$ reicht bis ins Unendliche. | + | - Die Ausgangssequenz $\underline{x}$ reicht bis ins Unendliche. |
| − | {Welche Aussagen gelten für die Übertragungsfunktion $G(D)$? | + | {Welche Aussagen gelten für die Übertragungsfunktion $G(D)$? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | + Es gilt $G(D) = (1 + D^2)/(1 + D + D^2)$. | + | + Es gilt $G(D) = (1 + D^2)/(1 + D + D^2)$. |
| − | - Es gilt $G(D) = (1 + D + D^2)/(1 + D^2)$. | + | - Es gilt $G(D) = (1 + D + D^2)/(1 + D^2)$. |
| − | + Es gilt $G(D) = 1 + D + D^2 + D^4 + D^5 + D^7 + D^8 + \ ... \ $ . | + | + Es gilt $G(D) = 1 + D + D^2 + D^4 + D^5 + D^7 + D^8 + \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm} $ . |
</quiz> | </quiz> | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''(1)''' Die Impulsantwort $\underline{g}$ ist gleich der | + | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: |
| − | + | [[Datei:P_ID2643__KC_A_3_5a.png|right|frame|Zur Berechnung der Impulsantwort $\underline{g}$]] | |
| − | + | *Die Impulsantwort $\underline{g}$ ist gleich der Sequenz $\underline{x}$ für die Eingangssequenz $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, \text{...})$. Anhand der Filterstruktur ergibt sich mit $w_0 = w_{-1} = 0$ und den Gleichungen | |
| − | |||
:$$w_i \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} u_i + w_{i-1} + w_{i-2} \hspace{0.05cm},$$ | :$$w_i \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} u_i + w_{i-1} + w_{i-2} \hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$x_i \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} w_i + w_{i-2} $$ | :$$x_i \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} w_i + w_{i-2} $$ | ||
| − | das Ergebnis $\underline{g} = \underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, ...)$ entsprechend <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie nebenstehende Berechnung zeigt. | + | :das Ergebnis $\underline{g} = \underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, \text{...})$ entsprechend <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie nebenstehende Berechnung zeigt. |
| − | + | *Richtig ist aber zusätzlich auch noch der <u>Lösungsvorschlag 3</u>, da man aus diesem Berechnungsschema weiter folgende Periodizitäten der Impulsantwort $\underline{g}$ (bis ins Unendliche) wegen jeweils gleicher Registerbelegung erkennt: | |
| − | :$$g_3 \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} g_6 = g_9 = \hspace{0.05cm}... \hspace{0.05cm}= 1 \hspace{0.05cm},$$ | + | |
| − | :$$g_4 \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} g_7 = g_{10} =\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}= 0 \hspace{0.05cm},$$ | + | :$$g_3 \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} g_6 = g_9 = \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}= 1 \hspace{0.05cm},$$ |
| − | :$$g_5 \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} g_8 = g_{11} =\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}= 1 \hspace{0.05cm}.$$ | + | :$$g_4 \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} g_7 = g_{10} =\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}= 0 \hspace{0.05cm},$$ |
| + | [[Datei:P_ID2644__KC_A_3_5b.png|right|frame|Zur Berechnung der Ausgangssequenz $\underline{x}$]] | ||
| + | :$$g_5 \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} g_8 = g_{11} =\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}= 1 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | + | <br><br><br><br><br> | |
| + | '''(2)''' Nach ähnlichen Berechnungen wie in Teilaufgabe (1) erkennt man die Richtigkeit der <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>: | ||
| + | *Auch die Ausgangssequenz $\underline{x}$ reicht bis ins Unendliche. | ||
| + | *Es zeigen sich auch wieder Periodizitäten. | ||
| − | |||
| − | Zum gleichen Ergebnis gelangt man, wenn man die um eine, drei, sechs bzw. sieben Positionen (nach rechts) verschobenen Impulsantworten $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, ...)$ im Galoisfeld ${\rm GF(2)}$ addiert: | + | Zum gleichen Ergebnis gelangt man, wenn man die um eine, drei, sechs bzw. sieben Positionen (nach rechts) verschobenen Impulsantworten $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, \text{...} \hspace{0.05cm})$ im Galoisfeld ${\rm GF(2)}$ addiert: |
| − | :$$\underline{x} | + | :$$\underline{x} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) $$ |
| − | + | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{x} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}. $$ | |
| − | |||
| − | |||
| − | :$$\ | ||
Aufgrund der Linearität des betrachteten Systems ist dies erlaubt. | Aufgrund der Linearität des betrachteten Systems ist dies erlaubt. | ||
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U(D) = 1+ D + D^2 \hspace{0.05cm}.$$ | U(D) = 1+ D + D^2 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Mit der Übertragungsfunktion $G(D) = (1 + D^2)/(1 + D + D^2)$ erhält man somit für die $D$–Transformierte der Ausgangssequenz: | + | *Mit der Übertragungsfunktion $G(D) = (1 + D^2)/(1 + D + D^2)$ erhält man somit für die $D$–Transformierte der Ausgangssequenz: |
| − | :$$X(D) = {U(D)} \cdot G(D) = {1+D+D^2} \cdot \frac{1+D^2}{1+D+D^2} = 1+D^2 \hspace{0.05cm} | + | :$$X(D) = {U(D)} \cdot G(D) = {1+D+D^2} \cdot \frac{1+D^2}{1+D+D^2} = 1+D^2 \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} |
| − | + | \Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{x} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.01cm} \text{...}\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm} ) \hspace{0.05cm}.$$ | |
| − | Richtig ist | + | *Richtig ist hier nur der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: Trotz unendlich langer Impulsantwort $\underline{g}$ ist bei dieser Eingangssequenz $\underline{u}$ die Ausgangssequenz $\underline{x}$ auf drei Bit begrenzt. |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| + | *Zum gleichen Ergebnis kommt man wieder durch Addition verschobener Impulsantworten: | ||
| + | :$$\underline{x} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) + (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) + (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}. $$ | ||
| − | '''(4)''' Auf dem Angabenblatt ist die allgemeine Übertragungsfunktion eines rekursiven Filters | + | |
| + | [[Datei:P_ID2645__KC_A_3_5e.png|right|frame|$\rm GF(2)$–Polynomdivision $(1 + D^2)/(1 + D + D^2)$]] | ||
| + | '''(4)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>: | ||
| + | *Auf dem Angabenblatt ist die allgemeine Übertragungsfunktion eines rekursiven Filters zweiter Ordnung wie folgt gegeben. | ||
:$$G(D) = \frac{a_0 + a_1 \cdot D + a_2 \cdot D^2}{1 + b_1 \cdot D + b_2 \cdot D^2} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$G(D) = \frac{a_0 + a_1 \cdot D + a_2 \cdot D^2}{1 + b_1 \cdot D + b_2 \cdot D^2} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Das hier betrachtete Filter ist durch die Koeffizienten $a_0 = a_2 = b_1 = b_2 = 1$ und $a_1 = 0$ bestimmt. Somit erhält man das Ergebnis entsprechend dem <u>Lösungsvorschlag 1</u>: | + | *Das hier betrachtete Filter ist durch die Koeffizienten $a_0 = a_2 = b_1 = b_2 = 1$ und $a_1 = 0$ bestimmt. Somit erhält man das Ergebnis entsprechend dem <u>Lösungsvorschlag 1</u>: |
:$$G(D) = \frac{1 + D^2}{1 + D + D^2} \hspace{0.05cm}. $$ | :$$G(D) = \frac{1 + D^2}{1 + D + D^2} \hspace{0.05cm}. $$ | ||
| − | + | *Gleichzeitig ist aber $G(D)$ auch die $D$–Transformierte der Impulsantwort: | |
| − | Gleichzeitig ist aber $G(D)$ auch die $D$–Transformierte der Impulsantwort: | + | :$$\underline{g}= (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0 ,\hspace{0.05cm} \text{ ...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} |
| − | :$$\underline{g}= (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0 ,\hspace{0.05cm} | + | {G}(D)$$ |
| − | {G}(D)= 1 + D + D^2 + D^4+ D^5 +... | + | :$$\Rightarrow\hspace{0.3cm} |
| + | {G}(D)= 1 + D + D^2 + D^4+ D^5 +\text{...} | ||
\hspace{0.1cm}. $$ | \hspace{0.1cm}. $$ | ||
| − | + | *Das bedeutet: Richtig ist auch der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. | |
| − | + | *Zum gleichen Ergebnis wäre man durch Division der beiden Polynome $1 + D^2$ und $1 + D + D^2$ gekommen, wie die nebenstehende Rechnung zeigt. | |
| − | |||
| − | Zum | ||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung|^3.2 Polynomische Beschreibung^]] | [[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung|^3.2 Polynomische Beschreibung^]] | ||
Aktuelle Version vom 6. Juni 2019, 18:42 Uhr
Allgemeines rekursives Filter und betrachtete Realisierung
Die obere der beiden dargestellten Schaltungen zeigt ein rekursives Filter zweiter Ordnung in allgemeiner Form. Mit
- $$A(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} a_0 + a_1 \cdot D + a_2 \cdot D^2 \hspace{0.05cm},$$
- $$B(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 + b_1 \cdot D + b_2 \cdot D^2 $$
erhält man für die Übertragungsfunktion
- $$G(D) = \frac{A(D)}{B(D)} = \frac{a_0 + a_1 \cdot D + a_2 \cdot D^2}{1 + b_1 \cdot D + b_2 \cdot D^2} \hspace{0.05cm}.$$
Zu beachten ist, dass sich alle Rechenoperationen auf ${\rm GF(2)}$ beziehen. Damit sind auch die Filterkoeffizienten $a_0, \ a_1, \ a_2, \ b_1$ und $b_2$ binär $($entweder $0$ oder $1)$.
Die untere Grafik zeigt das für die vorliegende Aufgabe spezifische Filter:
- Ein Filterkoeffizient ergibt sich zu $a_i = 1$, wenn die Verbindung durchgeschaltet ist $(0 ≤ i ≤ 2)$.
- Andernfalls ist $a_i = 0$. Die gleiche Systematik gilt für die Koeffizienten $b_1$ und $b_2$.
In den Teilaufgaben (1), ... , (3) sollen Sie für verschiedene Eingangssequenzen
- $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$,
- $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$,
- $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$
die jeweilige Ausgangssequenz $\underline{x}$ anhand der vorgegebenen Schaltung ermitteln. Es ist zu berücksichtigen:
- Besteht die Eingangssequenz $\underline{u}$ aus einer Eins gefolgt von lauter Nullen, so bezeichnet man diese spezifische Ausgangssequenz $\underline{x}$ als die Impulsantwort $\underline{g}$, und es gilt:
- $$\underline{g} \hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}{G}(D)\hspace{0.05cm}. $$
- Andernfalls ergibt sich die Ausgangssequenz als das Faltungsprodukt zwischen Eingangssequenz und Impulsantwort:
- $$\underline{x} = \underline{u} * \underline{g} \hspace{0.05cm}.$$
- Die Faltungsoperation lässt sich mit dem Umweg über die $D$–Transformation umgehen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Algebraische und polynomische Beschreibung.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Filterstruktur bei gebrochen–rationaler Übertragungsfunktion
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
Zur Berechnung der Impulsantwort $\underline{g}$
- Die Impulsantwort $\underline{g}$ ist gleich der Sequenz $\underline{x}$ für die Eingangssequenz $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, \text{...})$. Anhand der Filterstruktur ergibt sich mit $w_0 = w_{-1} = 0$ und den Gleichungen
- $$w_i \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} u_i + w_{i-1} + w_{i-2} \hspace{0.05cm},$$
- $$x_i \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} w_i + w_{i-2} $$
- das Ergebnis $\underline{g} = \underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, \text{...})$ entsprechend Lösungsvorschlag 2, wie nebenstehende Berechnung zeigt.
- Richtig ist aber zusätzlich auch noch der Lösungsvorschlag 3, da man aus diesem Berechnungsschema weiter folgende Periodizitäten der Impulsantwort $\underline{g}$ (bis ins Unendliche) wegen jeweils gleicher Registerbelegung erkennt:
- $$g_3 \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} g_6 = g_9 = \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}= 1 \hspace{0.05cm},$$
- $$g_4 \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} g_7 = g_{10} =\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}= 0 \hspace{0.05cm},$$
Zur Berechnung der Ausgangssequenz $\underline{x}$
- $$g_5 \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} g_8 = g_{11} =\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}= 1 \hspace{0.05cm}.$$
(2) Nach ähnlichen Berechnungen wie in Teilaufgabe (1) erkennt man die Richtigkeit der Lösungsvorschläge 1 und 3:
- Auch die Ausgangssequenz $\underline{x}$ reicht bis ins Unendliche.
- Es zeigen sich auch wieder Periodizitäten.
Zum gleichen Ergebnis gelangt man, wenn man die um eine, drei, sechs bzw. sieben Positionen (nach rechts) verschobenen Impulsantworten $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, \text{...} \hspace{0.05cm})$ im Galoisfeld ${\rm GF(2)}$ addiert:
- $$\underline{x} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) $$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{x} = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}. $$
Aufgrund der Linearität des betrachteten Systems ist dies erlaubt.
(3) Hier wählen wir den Weg über die $D$–Transformierten:
- $$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad U(D) = 1+ D + D^2 \hspace{0.05cm}.$$
- Mit der Übertragungsfunktion $G(D) = (1 + D^2)/(1 + D + D^2)$ erhält man somit für die $D$–Transformierte der Ausgangssequenz:
- $$X(D) = {U(D)} \cdot G(D) = {1+D+D^2} \cdot \frac{1+D^2}{1+D+D^2} = 1+D^2 \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{x} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.01cm} \text{...}\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm} ) \hspace{0.05cm}.$$
- Richtig ist hier nur der Lösungsvorschlag 1: Trotz unendlich langer Impulsantwort $\underline{g}$ ist bei dieser Eingangssequenz $\underline{u}$ die Ausgangssequenz $\underline{x}$ auf drei Bit begrenzt.
- Zum gleichen Ergebnis kommt man wieder durch Addition verschobener Impulsantworten:
- $$\underline{x} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) + (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) + (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}. $$
$\rm GF(2)$–Polynomdivision $(1 + D^2)/(1 + D + D^2)$
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:
- Auf dem Angabenblatt ist die allgemeine Übertragungsfunktion eines rekursiven Filters zweiter Ordnung wie folgt gegeben.
- $$G(D) = \frac{a_0 + a_1 \cdot D + a_2 \cdot D^2}{1 + b_1 \cdot D + b_2 \cdot D^2} \hspace{0.05cm}.$$
- Das hier betrachtete Filter ist durch die Koeffizienten $a_0 = a_2 = b_1 = b_2 = 1$ und $a_1 = 0$ bestimmt. Somit erhält man das Ergebnis entsprechend dem Lösungsvorschlag 1:
- $$G(D) = \frac{1 + D^2}{1 + D + D^2} \hspace{0.05cm}. $$
- Gleichzeitig ist aber $G(D)$ auch die $D$–Transformierte der Impulsantwort:
- $$\underline{g}= (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0 \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}0 ,\hspace{0.05cm} \text{ ...}\hspace{0.05cm}) \hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm} {G}(D)$$
- $$\Rightarrow\hspace{0.3cm} {G}(D)= 1 + D + D^2 + D^4+ D^5 +\text{...} \hspace{0.1cm}. $$
- Das bedeutet: Richtig ist auch der Lösungsvorschlag 3.
- Zum gleichen Ergebnis wäre man durch Division der beiden Polynome $1 + D^2$ und $1 + D + D^2$ gekommen, wie die nebenstehende Rechnung zeigt.
