Aufgaben:Aufgabe 3.5: Rekursive Filter für GF(2)

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Rekursive Filter

Die obere der beiden dargestellten Schaltungen zeigt ein rekursives Filter zweiter Ordnung in allgemeiner Form. Mit

$$A(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} a_0 + a_1 \cdot D + a_2 \cdot D^2 \hspace{0.05cm},$$

$$B(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 + b_1 \cdot D + b_2 \cdot D^2 $$

erhält man für die Übertragungsfunktion

$$G(D) = \frac{A(D)}{B(D)} = \frac{a_0 + a_1 \cdot D + a_2 \cdot D^2}{1 + b_1 \cdot D + b_2 \cdot D^2} \hspace{0.05cm}.$$

Zu beachten ist, dass sich alle Rechenoperationen auf ${\rm GF(2)}$ beziehen. Damit sind auch die Filterkoeffizienten $a_0, a_1, a_2, b_1$ und $b_2$ binär (entweder $0$ oder $1$).

Die untere Grafik zeigt das für die vorliegende Aufgabe spezifische Filter. Ein Filterkoeffizient ergibt sich zu $a_i = 1$, wenn die Verbindung durchgeschaltet ist $(0 ≤ i ≤ 2)$. Andernfalls ist $a_i = 0$. Die gleiche Systematik gilt für die Koeffizienten $b_1$ und $b_2$.

In den Teilaufgaben (1), ... , (3) sollen Sie für verschiedene Eingangssequenzen

• $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$,
• $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, ...)$,
• $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$

die jeweilige Ausgangssequenz $\underline{x}$ anhand der vorgegebenen Schaltung ermitteln. Es ist zu berücksichtigen:

• Besteht die Eingangssequenz $\underline{u}$ aus einer Eins gefolgt von lauter Nullen, so bezeichnet man diese spezifische Ausgangssequenz $\underline{x}$ als die Impulsantwort $\underline{g}$, und es gilt:

$$\underline{g} \hspace{0.15cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}{G}(D)\hspace{0.05cm}. $$

• Andernfalls ergibt sich die Ausgangssequenz als das Faltungsprodukt zwischen Eingangssequenz und Impulsantwort:

$$\underline{x} = \underline{u} * \underline{g} \hspace{0.05cm}.$$

• Die Faltungsoperation lässt sich mit dem Umweg über die $D$–Transformation umgehen.

Hinweis:

• Die Aufgabe bezieht sich auf die letzte Seite des Kapitels Algebraische und polynomische Beschreibung.

Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die Impulsantwort $\underline{g}$ des rekursiven Filters?

	Es gilt $\underline{g} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, ...)$.
	Es gilt $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, ...)$.
	Die Impulsantwort $\underline{g}$ ist unendlich weit ausgedehnt.

2

Es sei nun $\underline{u} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1)$. Welche Aussagen treffen zu?

	Die Ausgangssequenz lautet: $\underline{x} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, ...)$.
	Die Ausgangssequenz lautet: $\underline{x} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, ...)$.
	Die Ausgangssequenz $\underline{x}$ reicht bis ins Unendliche.

3

Nun gelte $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1)$. Welche Aussagen treffen zu?

	Die Ausgangssequenz $\underline{x}$ beginnt mit $(1, \, 0, \, 1)$.
	Die Ausgangssequenz $\underline{x}$ beginnt mit $(1, \, 1, \, 1)$.
	Die Ausgangssequenz $\underline{x}$ reicht bis ins Unendliche.

4

Welche Aussagen gelten für die Übertragungsfunktion $G(D)$?

	Es gilt $G(D) = (1 + D^2)/(1 + D + D^2)$.
	Es gilt $G(D) = (1 + D + D^2)/(1 + D^2)$.
	Es gilt $G(D) = 1 + D + D^2 + D^4 + D^5 + D^7 + D^8 + \ ... \ $ .

Musterlösung

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