Aufgaben:Aufgabe 3.5: PM und FM bei Rechtecksignalen: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID1099__Mod_A_3_5.png|right|frame|Signalverläufe bei PM und FM ]]
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[[Datei:P_ID1099__Mod_A_3_5.png|right|frame|Zwei Signalverläufe bei Winkelmodulation ]]
Wir gehen von einem bipolaren und rechteckförmigen Quellensignal $q(t)$ aus, welches im oberen Diagramm dargestellt ist.
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Wir gehen von einem bipolaren und rechteckförmigen Quellensignal  $q(t)$  aus, wie im oberen Diagramm dargestellt.  Dieses Signal kann nur die beiden Signalwerte  $±A = ±2 \ \rm V$  annehmen und die Dauer der positiven und negativen Rechtecke ist jeweils  $T = 1 \ \rm ms$.  Die Periodendauer von  $q(t)$  ist demzufolge  $T_0 = 2 \ \rm ms$.
  
Dieses kann nur die beiden Signalwerte $±A = ±2 \ \rm V$ annehmen und die Dauer der positiven und negativen Rechtecke ist jeweils $T = 1 \ \rm ms$. Die Periodendauer von $q(t)$ ist demzufolge $T_0 = 2 \ \rm ms$.
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Die Signale  $s_1(t)$  und  $s_2(t)$  zeigen zwei Sendesignale bei Winkelmodulation  $\rm (WM)$, die jeweils in der Form
 
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:$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.05cm}\big [\psi (t) \big ]$$
Die Signale $s_1(t)$ und $s_2(t)$ zeigen zwei Sendesignale bei Winkelmodulation (WM), die jeweils in der Form
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darstellbar sind.  Hierbei unterscheidet man zwischen der Phasenmodulation  $\rm (PM)$  mit der Winkelfunktion
:$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (\psi (t) )$$
 
darstellbar sind. Hierbei unterscheidet man zwischen der Phasenmodulation (PM) mit der Winkelfunktion
 
 
:$$\psi(t)  =  \omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t)  =  \omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t)$$
 
:$$\psi(t)  =  \omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t)  =  \omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t)$$
und der Frequenzmodulation (FM), bei der die Augenblicksfrequenz linear mit $q(t)$ zusammenhängt:
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und der Frequenzmodulation  $\rm (FM)$, bei der die Augenblicksfrequenz linear mit $q(t)$ zusammenhängt:
 
:$$f_{\rm A}(t) = \frac{\omega_{\rm A}(t)}{2\pi}, \hspace{0.3cm} \omega_{\rm A}(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{{\rm d}t}= \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$f_{\rm A}(t) = \frac{\omega_{\rm A}(t)}{2\pi}, \hspace{0.3cm} \omega_{\rm A}(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{{\rm d}t}= \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$
$K_{\rm PM}$ und $K_{\rm FM}$ bezeichnen dimensionsbehaftete, durch die Realisierung des PM– bzw. FM–Modulators vorgegebene Konstante. Der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ gibt die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz von der Trägerfrequenz an.
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$K_{\rm PM}$  und  $K_{\rm FM}$  bezeichnen dimensionsbehaftete, durch die Realisierung des PM– bzw. FM–Modulators vorgegebene Konstante.  Der Frequenzhub  $Δf_{\rm A}$  gibt die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz von der Trägerfrequenz an.
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
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*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
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*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
 
   
 
   
*Im Vorgriff auf das vierte Kapitel sei erwähnt, dass man die Phasenmodulation bei digitalem Eingangssignal auch als ''Phase Shift Keying'' (PSK) und entsprechend die Frequenzmodulation als ''Frequency Shift Keying'' ' (FSK) bezeichnet.
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*Im Vorgriff auf das vierte Kapitel sei erwähnt, dass man die Phasenmodulation bei digitalem Eingangssignal auch als ''Phase Shift Keying''  $\rm (PSK)$  und entsprechend die Frequenzmodulation als ''Frequency Shift Keying''  $\rm (FSK)$  bezeichnet.
  
  
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{Welches der Signale ist durch Phasenmodulation, welches durch Frequenzmodulation entstanden?
 
{Welches der Signale ist durch Phasenmodulation, welches durch Frequenzmodulation entstanden?
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{Die Phase des PM–Signals ist $±90^\circ$. Wie groß ist die Modulatorkonstante?
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{Wie groß ist der Frequenzhub &nbsp;$Δf_{\rm A}$&nbsp; des FM–Signals, bezogen auf &nbsp;$1/T$?
 
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'''(1)'''&nbsp;  Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:
 
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*Bei einem rechteckförmigen (digitalen) Quellensignal erkennt man die Phasenmodulation (PM) an den typischen Phasensprüngen – siehe Signalverlauf $s_2(t)$.  
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*Bei einem rechteckförmigen (digitalen) Quellensignal erkennt man die Phasenmodulation (PM) an den typischen Phasensprüngen – siehe Signalverlauf&nbsp; $s_2(t)$.  
*Die Frequenzmodulation (FM) hat dagegen zu den verschiedenen Zeiten unterschiedliche Augenblicksfrequenzen wie bei $s_1(t)$.
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*Die Frequenzmodulation (FM) hat dagegen zu den verschiedenen Zeiten unterschiedliche Augenblicksfrequenzen wie bei&nbsp; $s_1(t)$.
  
  
'''(2)'''&nbsp;  Mit $q(t) = 0$ erhält man entsprechend den gegebenen Gleichungen sowohl für PM als auch für FM
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'''(2)'''&nbsp;  Mit&nbsp; $q(t) = 0$&nbsp; erhält man entsprechend den gegebenen Gleichungen sowohl für PM als auch für FM
 
:$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \phi_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \phi_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm}.$$
  
'''(3)'''&nbsp;  Die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ kann direkt nur aus dem PM–Signal $s_2(t)$ ermittelt werden.
 
*Durch Abzählen der Schwingungen von $s_2(t)$ im Zeitintervall $T$ erkennt man, dass $f_{\rm T} · T\hspace{0.15cm}\underline{ = 6}$ verwendet wurde.
 
*Bei der Frequenzmodulation eines bipolaren Quellensignals tritt $f_{\rm T}$ nicht direkt auf. Die Grafiken lassen allerdings darauf schließen, dass hier ebenfalls  $f_{\rm T} · T = 6$ zugrunde liegt.
 
  
  
'''(4)'''&nbsp;  Der Amplitudenwert $A = 2 \ \rm V$ führt zur Phase $90^\circ$ bzw. $π/2$ (Minus–Sinusverlauf). Daraus folgt:
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'''(3)'''&nbsp;  Die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; kann direkt nur aus dem PM–Signal&nbsp; $s_2(t)$&nbsp; ermittelt werden.
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*Durch Abzählen der Schwingungen von&nbsp; $s_2(t)$&nbsp; im Zeitintervall&nbsp; $T$&nbsp; erkennt man, dass&nbsp; $f_{\rm T} · T\hspace{0.15cm}\underline{ = 6}$&nbsp; verwendet wurde.
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*Bei der Frequenzmodulation eines bipolaren Quellensignals tritt&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; nicht direkt auf.
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*Die Grafiken lassen allerdings darauf schließen, dass hier ebenfalls&nbsp;  $f_{\rm T} · T = 6$&nbsp; zugrunde liegt.
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'''(4)'''&nbsp;  Der Amplitudenwert&nbsp; $A = 2 \ \rm V$&nbsp; führt zur Phase&nbsp; $90^\circ$&nbsp; bzw.&nbsp; $π/2$&nbsp; (Minus–Sinusverlauf).&nbsp; Daraus folgt:
 
:$$K_{\rm PM} = \frac {\pi /2}{2\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.785\,{\rm V}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$K_{\rm PM} = \frac {\pi /2}{2\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.785\,{\rm V}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(5)'''&nbsp;  Die Grafik für $s_1(t)$ zeigt, dass innerhalb eines Zeitintervalls $T$ entweder vier oder acht Schwingungen auftreten: &nbsp; $4 \le f_{\rm A}(t) \cdot T \le 8\hspace{0.05cm}.$
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Unter Berücksichtigung der (normiertern) Trägerfrequenz $f_{\rm T} · T = 6$ ergibt sich für den (normierten) Frequenzhub:
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'''(5)'''&nbsp;  Die Grafik für&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; zeigt, dass innerhalb eines Zeitintervalls&nbsp; $T$&nbsp; entweder vier oder acht Schwingungen auftreten: &nbsp; $4 \le f_{\rm A}(t) \cdot T \le 8\hspace{0.05cm}.$
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*Unter Berücksichtigung der (normiertern) Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T} · T = 6$&nbsp; ergibt sich für den (normierten) Frequenzhub:
 
:$$\Delta f_{\rm A} \cdot T \hspace{0.15cm}\underline {=2}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\Delta f_{\rm A} \cdot T \hspace{0.15cm}\underline {=2}\hspace{0.05cm}.$$
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'''(6)'''&nbsp;  Der Frequenzhub kann auch wie folgt dargestellt werden:
 
'''(6)'''&nbsp;  Der Frequenzhub kann auch wie folgt dargestellt werden:
$$\Delta f_{\rm A} = \frac {K_{\rm FM}}{2\pi}\cdot A \hspace{0.05cm}.$$
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:$$\Delta f_{\rm A} = \frac {K_{\rm FM}}{2\pi}\cdot A \hspace{0.05cm}.$$
Mit $Δf_A · {\rm A}  = 2$ erhält man somit
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*Mit&nbsp; $Δf_{\rm A} · {\rm A}  = 2$&nbsp; erhält man somit:
 
:$$K_{\rm FM} = \frac {2 \cdot 2\pi}{A \cdot T}= \frac {4\pi}{2\,{\rm V} \cdot 1\,{\rm ms}}\hspace{0.15cm}\underline {= 6283 \,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$K_{\rm FM} = \frac {2 \cdot 2\pi}{A \cdot T}= \frac {4\pi}{2\,{\rm V} \cdot 1\,{\rm ms}}\hspace{0.15cm}\underline {= 6283 \,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$
  

Aktuelle Version vom 27. März 2020, 16:29 Uhr

Zwei Signalverläufe bei Winkelmodulation

Wir gehen von einem bipolaren und rechteckförmigen Quellensignal  $q(t)$  aus, wie im oberen Diagramm dargestellt.  Dieses Signal kann nur die beiden Signalwerte  $±A = ±2 \ \rm V$  annehmen und die Dauer der positiven und negativen Rechtecke ist jeweils  $T = 1 \ \rm ms$.  Die Periodendauer von  $q(t)$  ist demzufolge  $T_0 = 2 \ \rm ms$.

Die Signale  $s_1(t)$  und  $s_2(t)$  zeigen zwei Sendesignale bei Winkelmodulation  $\rm (WM)$, die jeweils in der Form

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.05cm}\big [\psi (t) \big ]$$

darstellbar sind.  Hierbei unterscheidet man zwischen der Phasenmodulation  $\rm (PM)$  mit der Winkelfunktion

$$\psi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t)$$

und der Frequenzmodulation  $\rm (FM)$, bei der die Augenblicksfrequenz linear mit $q(t)$ zusammenhängt:

$$f_{\rm A}(t) = \frac{\omega_{\rm A}(t)}{2\pi}, \hspace{0.3cm} \omega_{\rm A}(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{{\rm d}t}= \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$

$K_{\rm PM}$  und  $K_{\rm FM}$  bezeichnen dimensionsbehaftete, durch die Realisierung des PM– bzw. FM–Modulators vorgegebene Konstante.  Der Frequenzhub  $Δf_{\rm A}$  gibt die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz von der Trägerfrequenz an.





Hinweise:

  • Im Vorgriff auf das vierte Kapitel sei erwähnt, dass man die Phasenmodulation bei digitalem Eingangssignal auch als Phase Shift Keying  $\rm (PSK)$  und entsprechend die Frequenzmodulation als Frequency Shift Keying  $\rm (FSK)$  bezeichnet.


Fragebogen

1

Welches der Signale ist durch Phasenmodulation, welches durch Frequenzmodulation entstanden?

$s_1(t)$  beschreibt eine Phasenmodulation.
$s_1(t)$  beschreibt eine Frequenzmodulation.

2

Wie groß ist die Trägerphase  $ϕ_{\rm T}$, die man ohne Nachrichtensignal   ⇒   $q(t) \equiv 0$  messen könnte?

$ϕ_{\rm T} \ = \ $

$\ \rm Grad$

3

Welche Trägerfrequenz  $($bezogen auf  $1/T)$  wurde bei den Grafiken verwendet?

$f_{\rm T} · T \ = \ $

4

Die Phase des PM–Signals ist  $±90^\circ$.  Wie groß ist die Modulatorkonstante?

$K_{\rm PM} \ = \ $

$\ \rm V^{-1}$

5

Wie groß ist der Frequenzhub  $Δf_{\rm A}$  des FM–Signals, bezogen auf  $1/T$?

$Δf_{\rm A} · T \ = \ $

6

Wie groß ist die FM–Modulatorkonstante?

$K_{\rm FM} \ = \ $

$\ \rm (Vs)^{-1}$


Musterlösung

(1)  Richtig ist die Antwort 2:

  • Bei einem rechteckförmigen (digitalen) Quellensignal erkennt man die Phasenmodulation (PM) an den typischen Phasensprüngen – siehe Signalverlauf  $s_2(t)$.
  • Die Frequenzmodulation (FM) hat dagegen zu den verschiedenen Zeiten unterschiedliche Augenblicksfrequenzen wie bei  $s_1(t)$.


(2)  Mit  $q(t) = 0$  erhält man entsprechend den gegebenen Gleichungen sowohl für PM als auch für FM

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \phi_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  kann direkt nur aus dem PM–Signal  $s_2(t)$  ermittelt werden.

  • Durch Abzählen der Schwingungen von  $s_2(t)$  im Zeitintervall  $T$  erkennt man, dass  $f_{\rm T} · T\hspace{0.15cm}\underline{ = 6}$  verwendet wurde.
  • Bei der Frequenzmodulation eines bipolaren Quellensignals tritt  $f_{\rm T}$  nicht direkt auf.
  • Die Grafiken lassen allerdings darauf schließen, dass hier ebenfalls  $f_{\rm T} · T = 6$  zugrunde liegt.



(4)  Der Amplitudenwert  $A = 2 \ \rm V$  führt zur Phase  $90^\circ$  bzw.  $π/2$  (Minus–Sinusverlauf).  Daraus folgt:

$$K_{\rm PM} = \frac {\pi /2}{2\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.785\,{\rm V}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Die Grafik für  $s_1(t)$  zeigt, dass innerhalb eines Zeitintervalls  $T$  entweder vier oder acht Schwingungen auftreten:   $4 \le f_{\rm A}(t) \cdot T \le 8\hspace{0.05cm}.$

  • Unter Berücksichtigung der (normiertern) Trägerfrequenz  $f_{\rm T} · T = 6$  ergibt sich für den (normierten) Frequenzhub:
$$\Delta f_{\rm A} \cdot T \hspace{0.15cm}\underline {=2}\hspace{0.05cm}.$$


(6)  Der Frequenzhub kann auch wie folgt dargestellt werden:

$$\Delta f_{\rm A} = \frac {K_{\rm FM}}{2\pi}\cdot A \hspace{0.05cm}.$$
  • Mit  $Δf_{\rm A} · {\rm A} = 2$  erhält man somit:
$$K_{\rm FM} = \frac {2 \cdot 2\pi}{A \cdot T}= \frac {4\pi}{2\,{\rm V} \cdot 1\,{\rm ms}}\hspace{0.15cm}\underline {= 6283 \,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$