Aufgabe 3.5: GMSK–Modulation
Das bei GSM eingesetzte Modulationsverfahren ist $\color{red} {\rm Gaussian \ Minimum \ Shift Keying}$, kurz GMSK. Es handelt sich hierbei um eine spezielle Art von FSK (Frequency Shift Keying) mit CP–FSK (Phasenanpassung), bei der
- der Modulationsindex den kleinsten Wert besitzt, der die Orthogonalitätsbedingung gerade noch erfüllt: $h = 0.5 \Rightarrow Minimum \ Shift \ Keying$,
- ein Gaußtiefpass mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ vor dem FSK–Modulator, der mit dem Ziel eingebracht ist, so noch weiter Bandbreite einzusparen.
Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt:
Die digitale Nachricht wird durch die Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu} ∈ \{±1\}$ repräsentiert, die einem Diracpuls beaufschlagt sind. Anzumerken ist, dass die eingezeichnete Folge für die Teilaufgabe (3) vorausgesetzt wird.
Der Rechteckimpuls sei dimensionslos, symmetrisch und besitze die GSM–Bitdauer $T_{\rm B} = T$:
- $$g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| > T/2 \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
Damit ergibt sich für das Rechtecksignal:
- $$q_{\rm R} (t) = q_{\rm \delta} (t) \star g_{\rm R}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g_{\rm R}(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
Der Gaußtiefpass ist durch seinen Frequenzgang bzw. seine Impulsantwort gegeben:
- $$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\cdot (\frac{f}{2 f_{\rm G}})^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\cdot (2 f_{\rm G}\cdot t)^2}\hspace{0.05cm},$$
wobei die systemtheoretische Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ verwendet wird. In der GSM–Spezifikation wird aber die 3dB–Grenzfrequenz mit $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$ angegeben. Daraus kann $f_{\rm G}$ direkt berechnet werden – siehe Teilaufgabe (2).
Das Signal nach dem Gaußtiefpass lautet somit:
- $$q_{\rm G} (t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei wird g(t) als Frequenzimpuls bezeichnet. Für diesen gilt:
- $$g(t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) \hspace{0.05cm}.$$
Mit dem tiefpassgefilterten Signal $q_{\rm G}(t)$, der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ und dem Frequenzhub $\Delta f_{\rm A}$ kann somit für die Augenblicksfrequenz am Ausgang des FSK–Modulators geschrieben werden:
- $$f_{\rm A}(t) = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \cdot q_{\rm G} (t)\hspace{0.05cm}.$$
Verwenden Sie für Ihre Berechnungen die beispielhaften Werte $f_{\rm T} = 900 \ \rm MHz$ und $\Delta f_{\rm A} = 68 \ \rm kHz$.
Hinweis:
Die Aufgabe gehört zu Funkschnittstelle im Buch „Beispiele von Nachrichtensystemen” sowie zum Die Charakteristika von GSM dieses Buches. Verwenden Sie zur Lösung der Aufgabe das Gaußintegral:
- $$\phi(x) =\frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{x} _{-\infty} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u \hspace{0.05cm}.$$
$\hspace{8cm}$Insbesondere gilt:
Fragebogen
Musterlösung
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