Aufgaben:Aufgabe 3.5: Augenöffnung bei Pseudoternärcodierung: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID1421__Dig_A_3_5.png|right|frame|Augendiagramme beim AMI– und Duobinärcode]]
 
[[Datei:P_ID1421__Dig_A_3_5.png|right|frame|Augendiagramme beim AMI– und Duobinärcode]]
Betrachtet werden drei Nachrichtenübertragungssysteme, jeweils mit folgenden übereinstimmenden Eigenschaften:
+
Betrachtet werden drei Nachrichtenübertragungssysteme,  jeweils mit folgenden übereinstimmenden Eigenschaften:
* NRZ–Rechteckimpulse mit der Amplitude $s_0 = 2 \, {\rm V}$,
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* NRZ–Rechteckimpulse mit der Amplitude  $s_0 = 2 \, {\rm V}$,
* Koaxialkabel mit charakteristischer Kabeldämpfung $a_* = 40 \, {\rm dB}$,
+
 
* AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0$,
+
* Koaxialkabel mit charakteristischer Kabeldämpfung  $a_* = 40 \, {\rm dB}$,
* Empfangsfilter, bestehend aus einem idealen Kanalentzerrer und einem Gaußtiefpass mit der normierten Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T \approx 0.5$.
+
 
* Schwellenwertentscheider mit optimalen Entscheiderschwellen und optimalem Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$.
+
* AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  $N_0$,
 +
 
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* Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f) = 1/H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm G}(f) $,  bestehend aus einem idealen Kanalentzerrer  $H_{\rm K}(f)^{-1}$  und einem Gaußtiefpass  $H_{\rm G}(f)$  mit der normierten Grenzfrequenz  $f_{\rm G} \cdot T \approx 0.5$.
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* Schwellenwertentscheider mit optimalen Entscheiderschwellen und optimalem Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D} = 0$.
  
  
 
Die in der Aufgabe zu untersuchenden Systemvarianten unterscheiden sich ausschließlich hinsichtlich des Übertragungscodes:  
 
Die in der Aufgabe zu untersuchenden Systemvarianten unterscheiden sich ausschließlich hinsichtlich des Übertragungscodes:  
  
<font color="#cc0000"><span style="font-weight: bold;">System A</span></font> verwendet ein binäres bipolares redundanzfreies Sendesignal. Von diesem System sind folgende Beschreibungsgrößen bekannt:
+
&rArr; &nbsp; Das $\text{System A}$&nbsp; verwendet ein binäres bipolares redundanzfreies Sendesignal.&nbsp;  Bekannt sind folgende Beschreibungsgrößen:
* Grundimpulswerte $g_0 = 1.56 \, {\rm V}$, $g_1 = g_{\rm &ndash;1} = 0.22 \, {\rm V}$, $g_2 = g_{\rm &ndash;2} = \, ... \, \approx 0$
+
* Grundimpulswerte &nbsp;$g_0 = 1.56 \, {\rm V}$,&nbsp; $g_1 = g_{\rm &ndash;1} = 0.22 \, {\rm V}$,&nbsp; $g_2 = g_{\rm &ndash;2} = \, \text{ ...} \, \approx 0$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}  = g_{0}
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}  = g_{0}
 
  -g_{1}-g_{-1} = 1.12\,{\rm V}
 
  -g_{1}-g_{-1} = 1.12\,{\rm V}
 
   \hspace{0.05cm}.$$
 
   \hspace{0.05cm}.$$
* Rauscheffektivwert $\sigma_d \approx = 0.2 \, {\rm V}$
+
* Rauscheffektivwert &nbsp;$\sigma_d \approx 0.2 \, {\rm V}$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{
+
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2\big]^2}{
 
  \sigma_d^2}\approx 31.36\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
  \sigma_d^2}\approx 31.36\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
  10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \approx 15\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
 
  10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \approx 15\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
  
<font color="#cc0000"><span style="font-weight: bold;">System B</span></font> verwendet AMI&ndash;Codierung. Hier treten die äußeren Symbole $&bdquo;+1&rdquo;$ bzw, $&bdquo;&ndash;1&rdquo;$ nur isoliert auf. Bei drei aufeinanderfolgenden Symbolen sind unter Anderem die zwei Folgen $&bdquo; \, ... \, , \, +1, \, +1, \, +1, \, ... \,&rdquo;$ und $&bdquo; \, ... \, , \, +1, \, 0, \, +1, \, ... \ &rdquo;$ nicht möglich im Gegensatz zu $&bdquo; \, ... \, , \, +1, \, &ndash;1, \, +1, \, ... \,&rdquo;$
+
&rArr; &nbsp; Das $\text{System B}$&nbsp; verwendet AMI&ndash;Codierung:
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*Hier treten die äußeren Symbole &nbsp;$&bdquo;+1&rdquo;$&nbsp; bzw. &nbsp;$&bdquo;&ndash;1&rdquo;$&nbsp; nur isoliert auf.
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*Bei drei aufeinanderfolgenden Symbolen sind unter anderem die Folgen &nbsp;&bdquo;$\hspace{-0.1cm}\text{ ...} \, , \, +1, \, +1, \, +1, \,\text{ ...}$&rdquo;&nbsp; und &nbsp;&bdquo;$\hspace{-0.1cm}\text{ ...} \, , \, +1, \, 0, \, +1, \, \text{ ...} $&rdquo;&nbsp; nicht möglich,
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: im Gegensatz zur Folge &nbsp;&bdquo;$\hspace{-0.1cm}\text{ ...\, , \, +1, \, &ndash;1, \, +1, \, \text{ ...} $&rdquo;.
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&rArr; &nbsp; Das $\text{System C}$&nbsp; verwendet den Duobinärcode:
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*Hier wird die alternierende Folge &nbsp;&bdquo;$\hspace{-0.1cm} \text{ ...}  \, , \, &ndash;1, \, +1, \, &ndash;1, \, \text{ ...}  $&rdquo;&nbsp; durch den Code ausgeschlossen,&nbsp; was sich günstig auf die Augenöffnung auswirkt.
  
<font color="#cc0000"><span style="font-weight: bold;">System C</span></font> verwendet Duobinärcode. Hier wird die alternierende Folge $&bdquo; \, ... \, , \, &ndash;1, \, +1, \, &ndash;1, \, ... \,&rdquo;$ durch den Code ausgeschlossen, was sich günstig auf die Augenöffnung auswirkt.
 
  
  
''Hinweise:''
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung|Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung]].
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 
*Für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion gilt:
 
:$${\rm Q}(0.25) = 0.4013,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.50) = 0.3085,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.75) = 0.2266,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.00) = 0.1587,$$
 
:$${\rm Q}(1.25) = 0.1057,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.50) = 0.0668,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.75) = 0.0401,\hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.00) =
 
0.0228.$$
 
  
''Hinweise:''
+
Hinweise:  
* Diese Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung|Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung]].  
+
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung|"Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung"]].
 +
 
* Nicht alle der hier angegebenen Zahlenwerte sind zur Lösung dieser Aufgabe erforderlich.
 
* Nicht alle der hier angegebenen Zahlenwerte sind zur Lösung dieser Aufgabe erforderlich.
 +
  
  
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Berechnen Sie die halbe Augenöffnung für den AMI&ndash;Code.
+
{Berechnen Sie die halbe Augenöffnung für den&nbsp; '''AMI&ndash;Code'''.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm System \, B}: \, \ddot{o}(T_{\rm D})/2$ = { 0.45 3% } ${\rm V}$
+
$\text{System B:}\hspace{0.4cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/2 \ = \ $ { 0.45 3% } $\ {\rm V}$
  
 
{Berechnen Sie den ungünstigsten Störabstand dieses Systems.
 
{Berechnen Sie den ungünstigsten Störabstand dieses Systems.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm System \, B}: \, 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U}$ = { 7 3% } ${\rm dB}$
+
$\text{System B:}\hspace{0.4cm} 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} \ = \ $ { 7 3% } $\ {\rm dB}$
  
{Wie müssen die Schwellenwerte $E_1$ und $E_2$ gewählt werden, damit das soeben berechnete Ergebnis stimmt?
+
{Wie müssen die Schwellenwerte &nbsp;$E_1$&nbsp; und &nbsp;$E_2$&nbsp; gewählt werden,&nbsp; damit das soeben berechnete Ergebnis stimmt?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$E_1$ = { -0.69--0.65 } ${\rm V}$
+
$E_1 \ \hspace{0.05cm} = \ ${ -0.69--0.65 } $\ {\rm V}$
$E_2$ = { 0.67 3% } ${\rm V}$
+
$E_2 \ = \ $ { 0.667 3% } $\ {\rm V}$
  
{Berechnen Sie die halbe Augenöffnung beim Duobinär&ndash;Code.
+
{Berechnen Sie die halbe Augenöffnung beim&nbsp; '''Duobinär&ndash;Code'''.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm System \, C}: \, \ddot{o}(T_{\rm D})/2$ = { 0.67 3% } ${\rm V}$
+
$\text{System C:}\hspace{0.4cm}  \ddot{o}(T_{\rm D})/2 \ = \ $ { 0.67 3% } $\ {\rm V}$
  
{Berechnen Sie den ungünstigsten Störabstand bei Duobinärcodierung.
+
{Berechnen Sie den ungünstigsten Störabstand bei der Duobinärcodierung.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm System \, C}\, 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U}$ = { 10.5 3% } ${\rm dB}$
+
$\text{System C:}\hspace{0.4cm} 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} \ = \ $ { 10.5 3% } $\ {\rm dB}$
 
</quiz>
 
</quiz>
  
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Da beim AMI&ndash;Code die Symbolrate gegenüber dem redundanzfreien Binärsystem nicht verändert wird, bleiben die Grundimpulswerte $g_0 = 1.56 \, {\rm V}, g_1 = g_{\rm &ndash;1} = 0.22 \, {\rm V}$ und $g_2 = g_{\rm &ndash;2} \approx 0$ unverändert.
+
'''(1)'''&nbsp; Da beim AMI&ndash;Code die Symbolrate gegenüber dem redundanzfreien Binärsystem nicht verändert wird,&nbsp; bleiben die Grundimpulswerte unverändert:
 +
:$$g_0 = 1.56 \, {\rm V}, \ g_1 = g_{\rm &ndash;1} = 0.22 \, {\rm V}, \ g_2 = g_{\rm &ndash;2} \approx 0.$$
  
Bei Pseudoternärcodierung gibt es stets zwei Augenöffnungen. Die obere Begrenzungslinie des oberen Auges ergibt sich beim AMI&ndash;Code wie beim redundanzfreien Binärsystem:
+
Bei Pseudoternärcodierung gibt es stets zwei Augenöffnungen:
 +
 
 +
*Die obere Begrenzungslinie des oberen Auges ergibt sich beim AMI&ndash;Code wie beim redundanzfreien Binärsystem:
 
:$$d_{\rm oben}= g_0 - 2 \cdot g_1 \hspace{0.2cm}{\rm (zugeh\ddot{o}rige} \hspace{0.1cm}{\rm
 
:$$d_{\rm oben}= g_0 - 2 \cdot g_1 \hspace{0.2cm}{\rm (zugeh\ddot{o}rige} \hspace{0.1cm}{\rm
 
  Folge:}-1, +1, -1{\rm )}
 
  Folge:}-1, +1, -1{\rm )}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Dagegen gilt für die untere Begrenzungslinie des oberen Auges:
+
*Dagegen gilt für die untere Begrenzungslinie des oberen Auges:
 
:$$d_{\rm unten}= g_1 \hspace{0.2cm}{\rm (zugeh\ddot{o}rige} \hspace{0.1cm}{\rm
 
:$$d_{\rm unten}= g_1 \hspace{0.2cm}{\rm (zugeh\ddot{o}rige} \hspace{0.1cm}{\rm
  Folge:}\hspace{0.2cm}0, \hspace{0.05cm}0, +1\hspace{0.2cm}{\rm bzw.}\hspace{0.2cm}+1, \hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm}0{\rm )}\hspace{0.05cm}.$$
+
  Folgen:}\hspace{0.2cm}0, \hspace{0.05cm}0, +1\hspace{0.2cm}{\rm bzw.}\hspace{0.2cm}+1, \hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm}0{\rm )}\hspace{0.05cm}.$$
  
 
Für die halbe Augenöffnung gilt somit:
 
Für die halbe Augenöffnung gilt somit:
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  0.45\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
 
  0.45\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
  
Die entsprechende Gleichung für das redundanzfreie Binärsystem lautet:
+
Die entsprechende Gleichung für das redundanzfreie Binärsystem lautet: &nbsp;
 
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2}=  g_0 - 2 \cdot g_1 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2}=  g_0 - 2 \cdot g_1 \hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Bezüglich des Rauschens gibt es keinen Unterschied zwischen den Systemen A, B und C, da stets die gleiche Symbolrate vorliegt. Daraus folgt für den AMI&ndash;Code:
+
 
 +
'''(2)'''&nbsp; Bezüglich des Rauschens gibt es keinen Unterschied zwischen den drei Systemen,&nbsp; da stets die gleiche Symbolrate vorliegt.&nbsp; Daraus folgt für den AMI&ndash;Code:
 
:$$\rho_{\rm U} = \frac{(0.45\,{\rm V})^2}{(0.2\,{\rm V})^2} =
 
:$$\rho_{\rm U} = \frac{(0.45\,{\rm V})^2}{(0.2\,{\rm V})^2} =
 
  5.06  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
  5.06  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
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lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
 
lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
  
Die Einbuße gegenüber dem redundanzfreien Binärsystem beträgt somit fast $8 \, {\rm dB}$. Der Grund für diesen gravierenden Störabstandverlust ist, dass beim AMI&ndash;Code trotz $37 %$ Redundanz die bezüglich der Impulsinterferenzen besonders ungünstige Symbolfolge $" \, ... \, , \, &ndash;1, \, +1, \, &ndash;1, \, ... \,"$ nicht ausgeschlossen wird.
+
*Die Einbuße gegenüber dem redundanzfreien Binärsystem beträgt somit fast&nbsp; $8 \, {\rm dB}$.
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*Der Grund für diesen gravierenden Störabstandverlust ist,&nbsp; dass beim AMI&ndash;Code trotz&nbsp; $37\%$&nbsp; Redundanz die bezüglich der Impulsinterferenzen besonders ungünstige Symbolfolge &nbsp;$\text{ ...} , \, &ndash;1, \, +1, \, &ndash;1, \text{ ...} $&nbsp; nicht ausgeschlossen wird.
 +
 
  
  
'''(3)'''&nbsp; Die Schwelle $E_2$ muss in der Mitte zwischen $d_{\rm oben}$ und $d_{\rm unten}$ liegen:
+
'''(3)'''&nbsp; Die Schwelle&nbsp; $E_2$&nbsp; muss in der Mitte zwischen&nbsp; $d_{\rm oben}$&nbsp; und&nbsp; $d_{\rm unten}$&nbsp; liegen:
 
:$$E_2= {1}/{2} \cdot (d_{\rm oben} + d_{\rm unten}) = {1}/{2} \cdot (g_0 -  g_1 ) \hspace{0.15cm}\underline {=
 
:$$E_2= {1}/{2} \cdot (d_{\rm oben} + d_{\rm unten}) = {1}/{2} \cdot (g_0 -  g_1 ) \hspace{0.15cm}\underline {=
 
  0.67\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
 
  0.67\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Der Schwellenwert&nbsp; $E_1$&nbsp; liegt symmetrisch dazu:&nbsp; $E_1 \, \underline {= \, &ndash;0.67 {\rm V}}$.
  
Der Schwellenwert $E_1$ liegt symmetrisch dazu: $E_1 \, \underline {= \, &ndash;0.67 {\rm V}}$.
 
  
  
'''(4)'''&nbsp; Wir gehen wieder von den gleichen Grundimpulswerten aus. Die ungünstigste Folge bezüglich der oberen Begrenzungslinie des oberen Auges ist $" \, ... \, , \, 0, \, +1, \, 0, \, ... \, "$, während die untere Begrenzungslinie durch $" \, ... \, , \, 0, \, 0, \, +1, \, ... \, "$ bzw. $" \, ... \, , \, +1, \, 0, \, 0, \, ... \, "$ bestimmt wird. Daraus folgt:
+
'''(4)'''&nbsp; Wir gehen wieder von den gleichen Grundimpulswerten aus.  
 +
*Die ungünstigste Folge bezüglich der oberen Begrenzungslinie des oberen Auges ist &nbsp;"$\text{ ...} , 0, \, +1, \, 0, \text{ ...} $",  
 +
*während die untere Begrenzungslinie durch &nbsp;"$\text{ ...} , 0, \, 0, \, +1, \text{ ...} $"&nbsp; bzw. &nbsp;"$\text{ ...} , +1, \, 0, \, 0, \text{ ...} $"&nbsp;  bestimmt wird.
 +
 +
*Daraus folgt:
 
:$$d_{\rm oben}= g_0, \hspace{0.2cm} d_{\rm unten} = g_1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow
 
:$$d_{\rm oben}= g_0, \hspace{0.2cm} d_{\rm unten} = g_1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow
 
\hspace{0.3cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2} = {g_0}/{2} -
 
\hspace{0.3cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2} = {g_0}/{2} -
{g_1}/{2}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.67\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
+
{g_1}/{2}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.667\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(5)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus 4) erhält man analog zur Teilaufgabe 2)
+
'''(5)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(4)'''&nbsp; erhält man analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(2)''':
 
:$$\rho_{\rm U} = \frac{(0.67\,{\rm V})^2}{(0.2\,{\rm V})^2} =
 
:$$\rho_{\rm U} = \frac{(0.67\,{\rm V})^2}{(0.2\,{\rm V})^2} =
 
  11.2  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
  11.2  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
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\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Voraussetzung für dieses Ergebnis sind Schwellenwerte bei
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*Voraussetzung für dieses Ergebnis sind Schwellenwerte bei
 
:$$E_2=  {1}/{2} \cdot (g_0 +  g_1 ) =
 
:$$E_2=  {1}/{2} \cdot (g_0 +  g_1 ) =
 
  0.89\,{\rm V}, \hspace{0.2cm}E_1 = - 0.89\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
 
  0.89\,{\rm V}, \hspace{0.2cm}E_1 = - 0.89\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
  
Anzumerken ist, dass hier stets von der gleichen Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.5$ ausgegangen wurde.  
+
*Anzumerken ist,&nbsp; dass hier stets von der gleichen Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} \cdot T = 0.5$&nbsp; ausgegangen wurde.
Bei Optimierung der Grenzfrequenz kann es durchaus sein, dass der Duobinärcode dem redundanzfreien Binärcode überlegen ist, wenn die charakteristische Kabeldämpfung hinreichend groß ist.
+
 +
*Bei Optimierung der Grenzfrequenz kann es durchaus sein,&nbsp; dass der Duobinärcode bei hinreichend großer charakteristischer Kabeldämpfung dem redundanzfreien Binärcode überlegen ist.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.4 Augendiagramm mehrstufiger Systeme^]]
+
[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.4 Auge bei mehrstufigen Systemen^]]

Aktuelle Version vom 21. Juni 2022, 15:38 Uhr

Augendiagramme beim AMI– und Duobinärcode

Betrachtet werden drei Nachrichtenübertragungssysteme,  jeweils mit folgenden übereinstimmenden Eigenschaften:

  • NRZ–Rechteckimpulse mit der Amplitude  $s_0 = 2 \, {\rm V}$,
  • Koaxialkabel mit charakteristischer Kabeldämpfung  $a_* = 40 \, {\rm dB}$,
  • AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  $N_0$,
  • Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f) = 1/H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm G}(f) $,  bestehend aus einem idealen Kanalentzerrer  $H_{\rm K}(f)^{-1}$  und einem Gaußtiefpass  $H_{\rm G}(f)$  mit der normierten Grenzfrequenz  $f_{\rm G} \cdot T \approx 0.5$.
  • Schwellenwertentscheider mit optimalen Entscheiderschwellen und optimalem Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D} = 0$.


Die in der Aufgabe zu untersuchenden Systemvarianten unterscheiden sich ausschließlich hinsichtlich des Übertragungscodes:

⇒   Das $\text{System A}$  verwendet ein binäres bipolares redundanzfreies Sendesignal.  Bekannt sind folgende Beschreibungsgrößen:

  • Grundimpulswerte  $g_0 = 1.56 \, {\rm V}$,  $g_1 = g_{\rm –1} = 0.22 \, {\rm V}$,  $g_2 = g_{\rm –2} = \, \text{ ...} \, \approx 0$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = g_{0} -g_{1}-g_{-1} = 1.12\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
  • Rauscheffektivwert  $\sigma_d \approx 0.2 \, {\rm V}$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2\big]^2}{ \sigma_d^2}\approx 31.36\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \approx 15\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

⇒   Das $\text{System B}$  verwendet AMI–Codierung:

  • Hier treten die äußeren Symbole  $„+1”$  bzw.  $„–1”$  nur isoliert auf.
  • Bei drei aufeinanderfolgenden Symbolen sind unter anderem die Folgen  „$\hspace{-0.1cm}\text{ ...} \, , \, +1, \, +1, \, +1, \,\text{ ...}$”  und  „$\hspace{-0.1cm}\text{ ...} \, , \, +1, \, 0, \, +1, \, \text{ ...} $”  nicht möglich,
im Gegensatz zur Folge  „$\hspace{-0.1cm}\text{ ...} \, , \, +1, \, –1, \, +1, \, \text{ ...} $”.


⇒   Das $\text{System C}$  verwendet den Duobinärcode:

  • Hier wird die alternierende Folge  „$\hspace{-0.1cm} \text{ ...} \, , \, –1, \, +1, \, –1, \, \text{ ...} $”  durch den Code ausgeschlossen,  was sich günstig auf die Augenöffnung auswirkt.



Hinweise:

  • Nicht alle der hier angegebenen Zahlenwerte sind zur Lösung dieser Aufgabe erforderlich.


Fragebogen

1

Berechnen Sie die halbe Augenöffnung für den  AMI–Code.

$\text{System B:}\hspace{0.4cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/2 \ = \ $

$\ {\rm V}$

2

Berechnen Sie den ungünstigsten Störabstand dieses Systems.

$\text{System B:}\hspace{0.4cm} 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} \ = \ $

$\ {\rm dB}$

3

Wie müssen die Schwellenwerte  $E_1$  und  $E_2$  gewählt werden,  damit das soeben berechnete Ergebnis stimmt?

$E_1 \ \hspace{0.05cm} = \ $

$\ {\rm V}$
$E_2 \ = \ $

$\ {\rm V}$

4

Berechnen Sie die halbe Augenöffnung beim  Duobinär–Code.

$\text{System C:}\hspace{0.4cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/2 \ = \ $

$\ {\rm V}$

5

Berechnen Sie den ungünstigsten Störabstand bei der Duobinärcodierung.

$\text{System C:}\hspace{0.4cm} 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} \ = \ $

$\ {\rm dB}$


Musterlösung

(1)  Da beim AMI–Code die Symbolrate gegenüber dem redundanzfreien Binärsystem nicht verändert wird,  bleiben die Grundimpulswerte unverändert:

$$g_0 = 1.56 \, {\rm V}, \ g_1 = g_{\rm –1} = 0.22 \, {\rm V}, \ g_2 = g_{\rm –2} \approx 0.$$

Bei Pseudoternärcodierung gibt es stets zwei Augenöffnungen:

  • Die obere Begrenzungslinie des oberen Auges ergibt sich beim AMI–Code wie beim redundanzfreien Binärsystem:
$$d_{\rm oben}= g_0 - 2 \cdot g_1 \hspace{0.2cm}{\rm (zugeh\ddot{o}rige} \hspace{0.1cm}{\rm Folge:}-1, +1, -1{\rm )} \hspace{0.05cm}.$$
  • Dagegen gilt für die untere Begrenzungslinie des oberen Auges:
$$d_{\rm unten}= g_1 \hspace{0.2cm}{\rm (zugeh\ddot{o}rige} \hspace{0.1cm}{\rm Folgen:}\hspace{0.2cm}0, \hspace{0.05cm}0, +1\hspace{0.2cm}{\rm bzw.}\hspace{0.2cm}+1, \hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm}0{\rm )}\hspace{0.05cm}.$$

Für die halbe Augenöffnung gilt somit:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2}= {1}/{2} \cdot (d_{\rm oben} - d_{\rm unten}) = {1}/{2} \cdot g_0 - {3}/{2} \cdot g_1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.45\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

Die entsprechende Gleichung für das redundanzfreie Binärsystem lautet:  

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2}= g_0 - 2 \cdot g_1 \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Bezüglich des Rauschens gibt es keinen Unterschied zwischen den drei Systemen,  da stets die gleiche Symbolrate vorliegt.  Daraus folgt für den AMI–Code:

$$\rho_{\rm U} = \frac{(0.45\,{\rm V})^2}{(0.2\,{\rm V})^2} = 5.06 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die Einbuße gegenüber dem redundanzfreien Binärsystem beträgt somit fast  $8 \, {\rm dB}$.
  • Der Grund für diesen gravierenden Störabstandverlust ist,  dass beim AMI–Code trotz  $37\%$  Redundanz die bezüglich der Impulsinterferenzen besonders ungünstige Symbolfolge  $\text{ ...} , \, –1, \, +1, \, –1, \text{ ...} $  nicht ausgeschlossen wird.


(3)  Die Schwelle  $E_2$  muss in der Mitte zwischen  $d_{\rm oben}$  und  $d_{\rm unten}$  liegen:

$$E_2= {1}/{2} \cdot (d_{\rm oben} + d_{\rm unten}) = {1}/{2} \cdot (g_0 - g_1 ) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.67\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Der Schwellenwert  $E_1$  liegt symmetrisch dazu:  $E_1 \, \underline {= \, –0.67 {\rm V}}$.


(4)  Wir gehen wieder von den gleichen Grundimpulswerten aus.

  • Die ungünstigste Folge bezüglich der oberen Begrenzungslinie des oberen Auges ist  "$\text{ ...} , 0, \, +1, \, 0, \text{ ...} $",
  • während die untere Begrenzungslinie durch  "$\text{ ...} , 0, \, 0, \, +1, \text{ ...} $"  bzw.  "$\text{ ...} , +1, \, 0, \, 0, \text{ ...} $"  bestimmt wird.
  • Daraus folgt:
$$d_{\rm oben}= g_0, \hspace{0.2cm} d_{\rm unten} = g_1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})}/{2} = {g_0}/{2} - {g_1}/{2}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.667\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Mit dem Ergebnis aus  (4)  erhält man analog zur Teilaufgabe  (2):

$$\rho_{\rm U} = \frac{(0.67\,{\rm V})^2}{(0.2\,{\rm V})^2} = 11.2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 10.5\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Voraussetzung für dieses Ergebnis sind Schwellenwerte bei
$$E_2= {1}/{2} \cdot (g_0 + g_1 ) = 0.89\,{\rm V}, \hspace{0.2cm}E_1 = - 0.89\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
  • Anzumerken ist,  dass hier stets von der gleichen Grenzfrequenz  $f_{\rm G} \cdot T = 0.5$  ausgegangen wurde.
  • Bei Optimierung der Grenzfrequenz kann es durchaus sein,  dass der Duobinärcode bei hinreichend großer charakteristischer Kabeldämpfung dem redundanzfreien Binärcode überlegen ist.