Aufgaben:Aufgabe 3.4Z: Trapez, Rechteck und Dreieck: Unterschied zwischen den Versionen

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Betrachtet werden drei unterschiedliche Impulsformen. Der Impuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; ist trapezförmig. Für&nbsp; $| t | < t_1 = 4 \,\text{ms}$&nbsp; ist der Zeitverlauf konstant gleich&nbsp; ${A} = 1\, \text{V}$. Danach fällt&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; bis zum Zeitpunkt&nbsp; $t_2 = 6\, \text{ms}$&nbsp; linear bis auf den Wert Null ab.
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Betrachtet werden drei unterschiedliche Impulsformen.&nbsp; Der Impuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; ist trapezförmig.&nbsp; Für&nbsp; $| t | < t_1 = 4 \,\text{ms}$&nbsp; ist der Zeitverlauf konstant gleich&nbsp; ${A} = 1\, \text{V}$.&nbsp; Danach fällt&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; bis zum Zeitpunkt&nbsp; $t_2 = 6\, \text{ms}$&nbsp; linear bis auf den Wert Null ab.
  
 
Mit den beiden abgeleiteten Systemgrößen, nämlich
 
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:$$r_t = \frac{t_2  - t_1 }{t_2  + t_1 }$$
 
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lautet die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
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:$$X( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}  \cdot \Delta t \cdot f} ) \cdot  \hspace{0.1cm}{\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}\cdot \Delta t \cdot  r_t \cdot  f} ).$$
 
:$$X( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}  \cdot \Delta t \cdot f} ) \cdot  \hspace{0.1cm}{\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}\cdot \Delta t \cdot  r_t \cdot  f} ).$$
 
Weiter sind in der Grafik noch der Rechteckimpuls&nbsp; ${r(t)}$&nbsp; und der Dreieckimpuls&nbsp; ${d(t)}$&nbsp; dargestellt, die beide als Grenzfälle des Trapezimpulses&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; interpretiert werden können.
 
Weiter sind in der Grafik noch der Rechteckimpuls&nbsp; ${r(t)}$&nbsp; und der Dreieckimpuls&nbsp; ${d(t)}$&nbsp; dargestellt, die beide als Grenzfälle des Trapezimpulses&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; interpretiert werden können.
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*Da&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; reell ist und sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, sind nur die zwei Phasenwerte&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $\pi$&nbsp; möglich.
 
*Da&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; reell ist und sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, sind nur die zwei Phasenwerte&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $\pi$&nbsp; möglich.
 
*Nullstellen gibt es aufgrund der ersten si-Funktion bei allen Vielfachen von&nbsp; $1/\Delta t = 100\, \text{Hz}$.  
 
*Nullstellen gibt es aufgrund der ersten si-Funktion bei allen Vielfachen von&nbsp; $1/\Delta t = 100\, \text{Hz}$.  
*Die zweite si-Funktion führt zu Nulldurchgängen im Abstand&nbsp; $1/(r_t \cdot \Delta t) = 500 \,\text{Hz}$. Diese fallen exakt mit den Nullstellen der ersten si-Funktion zusammen.  
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*Die zweite si-Funktion führt zu Nulldurchgängen im Abstand&nbsp; $1/(r_t \cdot \Delta t) = 500 \,\text{Hz}$.&nbsp; Diese fallen exakt mit den Nullstellen der ersten si-Funktion zusammen.  
  
  
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'''(4)'''&nbsp; Hier sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>  zutreffend:
 
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*Beim Dreieckimpuls ist der Rolloff-Faktor&nbsp; $r_t = 1$.  
 
*Beim Dreieckimpuls ist der Rolloff-Faktor&nbsp; $r_t = 1$.  
*Die äquivalente Impulsdauer ist&nbsp; $\Delta t = 10 \,\text{ms}$. Daraus folgt &nbsp; $D( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} )$&nbsp; und&nbsp; $D( f = 0) = A \cdot \Delta t  = X( f = 0)$.  
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*Die äquivalente Impulsdauer ist&nbsp; $\Delta t = 10 \,\text{ms}$.&nbsp; Daraus folgt &nbsp; $D( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} )$&nbsp; und&nbsp; $D( f = 0) = A \cdot \Delta t  = X( f = 0)$.  
*Da&nbsp; ${D(f)}$&nbsp; nicht negativ werden kann, ist die Phase&nbsp; $[{\rm arc} \; {D(f)}]$&nbsp; stets Null. Der Phasenwert&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180°)$&nbsp; ist also bei der Dreieckform nicht möglich.  
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*Da&nbsp; ${D(f)}$&nbsp; nicht negativ werden kann, ist die Phase&nbsp; $[{\rm arc} \; {D(f)}]$&nbsp; stets Null.&nbsp; Der Phasenwert&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180°)$&nbsp; ist also bei der Dreieckform nicht möglich.  
 
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Aktuelle Version vom 26. April 2021, 15:59 Uhr

Trapezimpuls und dessen Grenzfälle „Rechteck” und „Dreieck”

Betrachtet werden drei unterschiedliche Impulsformen.  Der Impuls  ${x(t)}$  ist trapezförmig.  Für  $| t | < t_1 = 4 \,\text{ms}$  ist der Zeitverlauf konstant gleich  ${A} = 1\, \text{V}$.  Danach fällt  ${x(t)}$  bis zum Zeitpunkt  $t_2 = 6\, \text{ms}$  linear bis auf den Wert Null ab.

Mit den beiden abgeleiteten Systemgrößen, nämlich

$$\Delta t = t_1 + t_2$$
  • und dem so genannten Rolloff-Faktor (im Zeitbereich)
$$r_t = \frac{t_2 - t_1 }{t_2 + t_1 }$$
lautet die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
$$X( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi} \cdot \Delta t \cdot f} ) \cdot \hspace{0.1cm}{\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}\cdot \Delta t \cdot r_t \cdot f} ).$$

Weiter sind in der Grafik noch der Rechteckimpuls  ${r(t)}$  und der Dreieckimpuls  ${d(t)}$  dargestellt, die beide als Grenzfälle des Trapezimpulses  ${x(t)}$  interpretiert werden können.





Hinweise:


Fragebogen

1

Wie groß sind die äquivalente Impulsdauer und der Rolloff-Faktor von  ${x(t)}$?

$\Delta t \ = \ $

 $\text{ms}$
$r_t\hspace{0.3cm} = \ $

2

Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion  ${X(f)}$  zutreffend?

Der Spektralwert bei der Frequenz  $f = 0$  ist gleich  $20 \,\text{mV/Hz}$.
Für die Phasenfunktion sind die Werte  $0$  oder  $\pi$  $(180^{\circ})$  möglich.
${X(f)}$  weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von  $100 \,\text{Hz}$  auf.

3

Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion  ${R(f)}$  zutreffend?

Der Spektralwert bei der Frequenz  $f = 0$  ist gleich ${X(f = 0)}$.
Für die Phasenfunktion sind die Werte  $0$  oder  $\pi$  $(180^{\circ})$  möglich.
${R(f)}$  weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von  $100 \,\text{Hz}$  auf.

4

Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion  ${D(f)}$  zutreffend?

Der Spektralwert bei der Frequenz  $f = 0$  ist gleich  ${X(f = 0)}$.
Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder  $\pi$  $(180^{\circ})$  möglich.
${D(f)}$  weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von  $100 \,\text{Hz}$ auf.


Musterlösung

(1)  Die äquivalente Impulsdauer ist  $\Delta t = t_1 + t_2 \;\underline{= 10 \,\text{ms}}$  und der Rolloff-Faktor  $r_t = 2/10 \;\underline{= 0.2}$.


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Der Spektralwert bei  $f = 0$  beträgt  $A \cdot \Delta t = 10 \,\text{mV/Hz}$.
  • Da  ${X(f)}$  reell ist und sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, sind nur die zwei Phasenwerte  $0$  und  $\pi$  möglich.
  • Nullstellen gibt es aufgrund der ersten si-Funktion bei allen Vielfachen von  $1/\Delta t = 100\, \text{Hz}$.
  • Die zweite si-Funktion führt zu Nulldurchgängen im Abstand  $1/(r_t \cdot \Delta t) = 500 \,\text{Hz}$.  Diese fallen exakt mit den Nullstellen der ersten si-Funktion zusammen.


(3)  Alle Lösungsvorschläge sind zutreffend:

  • Mit der äquivalenten Impulsdauer  $\Delta t = 10 \,\text{ms}$  und dem Rolloff-Faktor  $r_t = 0$  erhält man:   $R( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ).$
  • Daraus folgt  $R( f = 0) = A \cdot \Delta t = X( f = 0).$


(4)  Hier sind die Lösungsvorschläge 1 und 3 zutreffend:

  • Beim Dreieckimpuls ist der Rolloff-Faktor  $r_t = 1$.
  • Die äquivalente Impulsdauer ist  $\Delta t = 10 \,\text{ms}$.  Daraus folgt   $D( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} )$  und  $D( f = 0) = A \cdot \Delta t = X( f = 0)$.
  • Da  ${D(f)}$  nicht negativ werden kann, ist die Phase  $[{\rm arc} \; {D(f)}]$  stets Null.  Der Phasenwert  $\pi$  $(180°)$  ist also bei der Dreieckform nicht möglich.