Aufgaben:Aufgabe 3.4Z: Trapez, Rechteck und Dreieck: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID510__Sig_Z_3_4.png|right|Trapezimpuls und die Grenzfälle „Rechteck” und „Dreieck” ]]
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[[Datei:P_ID510__Sig_Z_3_4.png|right|frame|Trapezimpuls und dessen Grenzfälle „Rechteck” und „Dreieck” ]]
Betrachtet werden drei unterschiedliche Impulsformen. Der Impuls ${x(t)}$ ist trapezförmig. Für $| t | < t_1 = 4 \,\text{ms}$ ist der Zeitverlauf konstant ${A} = 1\, \text{V}$. Danach fällt ${x(t)}$ bis zum Zeitpunkt $t_2 = 6\, \text{ms}$ linear bis auf den Wert $0$ ab.
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Betrachtet werden drei unterschiedliche Impulsformen.&nbsp; Der Impuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; ist trapezförmig.&nbsp; Für&nbsp; $| t | < t_1 = 4 \,\text{ms}$&nbsp; ist der Zeitverlauf konstant gleich&nbsp; ${A} = 1\, \text{V}$.&nbsp; Danach fällt&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; bis zum Zeitpunkt&nbsp; $t_2 = 6\, \text{ms}$&nbsp; linear bis auf den Wert Null ab.
  
 
Mit den beiden abgeleiteten Systemgrößen, nämlich
 
Mit den beiden abgeleiteten Systemgrößen, nämlich
  
:* der äquivalenten Impulsdauer
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* der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|äquivalenten Impulsdauer]]&nbsp;
 
:$$\Delta t = t_1  + t_2$$
 
:$$\Delta t = t_1  + t_2$$
  
:* und dem so genannten Rolloff-Faktor
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* und dem so genannten Rolloff-Faktor (im Zeitbereich)
 
:$$r_t = \frac{t_2  - t_1 }{t_2  + t_1 }$$
 
:$$r_t = \frac{t_2  - t_1 }{t_2  + t_1 }$$
  
lautet die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
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:lautet die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
:$$X( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}  \cdot \Delta t \cdot f} ) \\ \cdot  \hspace{0.1cm}{\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}\cdot \Delta t \cdot  r_t \cdot  f} ).$$
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:$$X( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}  \cdot \Delta t \cdot f} ) \cdot  \hspace{0.1cm}{\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}\cdot \Delta t \cdot  r_t \cdot  f} ).$$
Weiter sind im Bild rechts noch der Rechteckimpuls $\text{r(t)}$ und der Dreieckimpuls $\text{d(t)}$ dargestellt, die beide als Grenzfälle des Trapezimpulses $\text{x(t)}$ interpretiert werden können.
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Weiter sind in der Grafik noch der Rechteckimpuls&nbsp; ${r(t)}$&nbsp; und der Dreieckimpuls&nbsp; ${d(t)}$&nbsp; dargestellt, die beide als Grenzfälle des Trapezimpulses&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; interpretiert werden können.
  
''Hinweise:''
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
 
*Verwenden Sie zur Lösung den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz|Vertauschungssatz]] und den [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#.C3.84hnlichkeitssatz#Vertauschungssatz|Ähnlichkeitssatz]].
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 
*Sie können Ihre Ergebnisse anhand zweier Interaktionsmodule überprüfen:
 
  
: [[Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion]]
 
: [[Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort]]
 
  
  
  
<b><u>Hinweis:</u></b> Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation Kapitel 3.3]. Sie können Ihre Ergebnisse anhand zweier Interaktionsmodule überprüfen:
 
  
:* Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion
 
  
:* Frequenzgang und zugehörige Impulsantwort
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''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
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*Sie können Ihre Ergebnisse anhand der beiden  interaktiven Applets&nbsp; [[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]]&nbsp; sowie&nbsp;  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]]&nbsp; überprüfen.
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{Wie groß sind äquivalente Impulsdauer und Rolloff-Faktor von $\text{x(t)}$?
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{Wie groß sind die äquivalente Impulsdauer und der Rolloff-Faktor von&nbsp; ${x(t)}$?
 
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$\Delta t$ = { 10 3% } $\text{ms}$
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- Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ist gleich $20 \text{mV/Hz}$.
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+ Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder $\pi$ ($180°$) möglich.
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+ Für die Phasenfunktion sind die Werte&nbsp; $0$&nbsp; oder&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180^{\circ})$&nbsp; möglich.
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+ Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ist gleich $\text{X(f = 0)}$.
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+ Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder $\pi$ ($180°$) möglich.
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+ Für die Phasenfunktion sind die Werte&nbsp; $0$&nbsp; oder&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180^{\circ})$&nbsp; möglich.
+ $\text{R(f)}$ weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von $100 \text{Hz}$ auf.
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+ ${R(f)}$&nbsp; weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von&nbsp; $100 \,\text{Hz}$&nbsp; auf.
  
  
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{Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion&nbsp; ${D(f)}$&nbsp; zutreffend?
 
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+ Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ist gleich $\text{X(f = 0)}$.
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+ Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist gleich&nbsp; ${X(f = 0)}$.
- Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder $\pi$ ($180°$) möglich.
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- Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180^{\circ})$&nbsp; möglich.
+ $\text{D(f)}$ weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von $100 \text{Hz}$ auf.
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+ ${D(f)}$&nbsp; weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von&nbsp; $100 \,\text{Hz}$ auf.
  
  
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===Musterlösung===
 
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'''1.'''  Die äquivalente Impulsdauer ist $\Delta t = t_1 + t_2 = 10 \text{ms}$ und der Rolloff-Faktor $r_t = 2/10 \underline{= 0.2}$.
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'''(1)'''&nbsp; Die äquivalente Impulsdauer ist&nbsp; $\Delta t = t_1 + t_2 \;\underline{= 10 \,\text{ms}}$&nbsp; und der Rolloff-Faktor&nbsp; $r_t = 2/10 \;\underline{= 0.2}$.
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'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
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*Der Spektralwert bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; beträgt&nbsp; $A \cdot \Delta t = 10 \,\text{mV/Hz}$.
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*Da&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; reell ist und sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, sind nur die zwei Phasenwerte&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $\pi$&nbsp; möglich.
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*Nullstellen gibt es aufgrund der ersten si-Funktion bei allen Vielfachen von&nbsp; $1/\Delta t = 100\, \text{Hz}$.
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*Die zweite si-Funktion führt zu Nulldurchgängen im Abstand&nbsp; $1/(r_t \cdot \Delta t) = 500 \,\text{Hz}$.&nbsp; Diese fallen exakt mit den Nullstellen der ersten si-Funktion zusammen.
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'''2.''' Der Spektralwert bei $f = 0$ beträgt $A \cdot \Delta t = 10 \text{mV/Hz}$. Da $\text{X(f)}$ reell ist und sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, sind nur die zwei Phasenwerte $0$ und $\pi$ möglich.
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'''(3)'''&nbsp;  <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind zutreffend:
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*Mit der äquivalenten Impulsdauer&nbsp; $\Delta t = 10 \,\text{ms}$&nbsp; und dem Rolloff-Faktor&nbsp; $r_t = 0$&nbsp; erhält man: &nbsp; $R( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ).$
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*Daraus folgt&nbsp; $R( f = 0) = A \cdot \Delta t = X( f = 0).$
  
Nullstellen gibt es aufgrund der ersten si-Funktion bei allen Vielfachen von $1/\Delta t = 100 \text{Hz}$. Die zweite si-Funktion führt zu Nulldurchgängen im Abstand $1/(r_t \cdot \Delta t) = 500 \text{Hz}$. Diese fallen exakt mit den Nullstellen der ersten si-Funktion zusammen. Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>.
 
  
'''3.'''  Mit der äquivalenten Impulsdauer $\Delta t = 10 \text{ms}$ und dem Rolloff-Faktor $r_t = 0$ erhält man:
 
:$$R( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ).$$
 
Das heißt: <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind zutreffend.
 
  
'''4.'''  Beim Dreieckimpuls ist der Rolloff-Faktor $r_t = 1$. Die äquivalente Impulsdauer ist ebenfalls $\Delta t = 10 \text{ms}$. Daraus folgt:
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'''(4)'''&nbsp; Hier sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u> zutreffend:
:$$D( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ).$$
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*Beim Dreieckimpuls ist der Rolloff-Faktor&nbsp; $r_t = 1$.  
Da $\text{D(f)}$ nicht negativ werden kann, ist die Phasenfunktion arc[$\text{D(f)}$] stets $0$. Der Phasenwert $\pi$ ($180°$) ist also bei der Dreieckform nicht möglich. Die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u> sind dagegen zutreffend.
+
*Die äquivalente Impulsdauer ist&nbsp; $\Delta t = 10 \,\text{ms}$.&nbsp; Daraus folgt &nbsp; $D( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} )$&nbsp; und&nbsp; $D( f = 0) = A \cdot \Delta t  = X( f = 0)$.
 +
*Da&nbsp; ${D(f)}$&nbsp; nicht negativ werden kann, ist die Phase&nbsp; $[{\rm arc} \; {D(f)}]$&nbsp; stets Null.&nbsp; Der Phasenwert&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180°)$&nbsp; ist also bei der Dreieckform nicht möglich.  
 
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Aktuelle Version vom 26. April 2021, 15:59 Uhr

Trapezimpuls und dessen Grenzfälle „Rechteck” und „Dreieck”

Betrachtet werden drei unterschiedliche Impulsformen.  Der Impuls  ${x(t)}$  ist trapezförmig.  Für  $| t | < t_1 = 4 \,\text{ms}$  ist der Zeitverlauf konstant gleich  ${A} = 1\, \text{V}$.  Danach fällt  ${x(t)}$  bis zum Zeitpunkt  $t_2 = 6\, \text{ms}$  linear bis auf den Wert Null ab.

Mit den beiden abgeleiteten Systemgrößen, nämlich

$$\Delta t = t_1 + t_2$$
  • und dem so genannten Rolloff-Faktor (im Zeitbereich)
$$r_t = \frac{t_2 - t_1 }{t_2 + t_1 }$$
lautet die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
$$X( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi} \cdot \Delta t \cdot f} ) \cdot \hspace{0.1cm}{\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}\cdot \Delta t \cdot r_t \cdot f} ).$$

Weiter sind in der Grafik noch der Rechteckimpuls  ${r(t)}$  und der Dreieckimpuls  ${d(t)}$  dargestellt, die beide als Grenzfälle des Trapezimpulses  ${x(t)}$  interpretiert werden können.





Hinweise:


Fragebogen

1

Wie groß sind die äquivalente Impulsdauer und der Rolloff-Faktor von  ${x(t)}$?

$\Delta t \ = \ $

 $\text{ms}$
$r_t\hspace{0.3cm} = \ $

2

Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion  ${X(f)}$  zutreffend?

Der Spektralwert bei der Frequenz  $f = 0$  ist gleich  $20 \,\text{mV/Hz}$.
Für die Phasenfunktion sind die Werte  $0$  oder  $\pi$  $(180^{\circ})$  möglich.
${X(f)}$  weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von  $100 \,\text{Hz}$  auf.

3

Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion  ${R(f)}$  zutreffend?

Der Spektralwert bei der Frequenz  $f = 0$  ist gleich ${X(f = 0)}$.
Für die Phasenfunktion sind die Werte  $0$  oder  $\pi$  $(180^{\circ})$  möglich.
${R(f)}$  weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von  $100 \,\text{Hz}$  auf.

4

Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion  ${D(f)}$  zutreffend?

Der Spektralwert bei der Frequenz  $f = 0$  ist gleich  ${X(f = 0)}$.
Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder  $\pi$  $(180^{\circ})$  möglich.
${D(f)}$  weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von  $100 \,\text{Hz}$ auf.


Musterlösung

(1)  Die äquivalente Impulsdauer ist  $\Delta t = t_1 + t_2 \;\underline{= 10 \,\text{ms}}$  und der Rolloff-Faktor  $r_t = 2/10 \;\underline{= 0.2}$.


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Der Spektralwert bei  $f = 0$  beträgt  $A \cdot \Delta t = 10 \,\text{mV/Hz}$.
  • Da  ${X(f)}$  reell ist und sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, sind nur die zwei Phasenwerte  $0$  und  $\pi$  möglich.
  • Nullstellen gibt es aufgrund der ersten si-Funktion bei allen Vielfachen von  $1/\Delta t = 100\, \text{Hz}$.
  • Die zweite si-Funktion führt zu Nulldurchgängen im Abstand  $1/(r_t \cdot \Delta t) = 500 \,\text{Hz}$.  Diese fallen exakt mit den Nullstellen der ersten si-Funktion zusammen.


(3)  Alle Lösungsvorschläge sind zutreffend:

  • Mit der äquivalenten Impulsdauer  $\Delta t = 10 \,\text{ms}$  und dem Rolloff-Faktor  $r_t = 0$  erhält man:   $R( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ).$
  • Daraus folgt  $R( f = 0) = A \cdot \Delta t = X( f = 0).$


(4)  Hier sind die Lösungsvorschläge 1 und 3 zutreffend:

  • Beim Dreieckimpuls ist der Rolloff-Faktor  $r_t = 1$.
  • Die äquivalente Impulsdauer ist  $\Delta t = 10 \,\text{ms}$.  Daraus folgt   $D( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} )$  und  $D( f = 0) = A \cdot \Delta t = X( f = 0)$.
  • Da  ${D(f)}$  nicht negativ werden kann, ist die Phase  $[{\rm arc} \; {D(f)}]$  stets Null.  Der Phasenwert  $\pi$  $(180°)$  ist also bei der Dreieckform nicht möglich.