Aufgaben:Aufgabe 3.4Z: Trapez, Rechteck und Dreieck: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
K (Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “)
Zeile 3: Zeile 3:
 
}}
 
}}
  
[[Datei:P_ID510__Sig_Z_3_4.png|right|frame|Trapezimpuls und die Grenzfälle „Rechteck” und „Dreieck” ]]
+
[[Datei:P_ID510__Sig_Z_3_4.png|right|frame|Trapezimpuls und dessen Grenzfälle „Rechteck” und „Dreieck” ]]
Betrachtet werden drei unterschiedliche Impulsformen. Der Impuls ${x(t)}$ ist trapezförmig. Für $| t | < t_1 = 4 \,\text{ms}$ ist der Zeitverlauf konstant ${A} = 1\, \text{V}$. Danach fällt ${x(t)}$ bis zum Zeitpunkt $t_2 = 6\, \text{ms}$ linear bis auf den Wert $0$ ab.
+
Betrachtet werden drei unterschiedliche Impulsformen. Der Impuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; ist trapezförmig. Für&nbsp; $| t | < t_1 = 4 \,\text{ms}$&nbsp; ist der Zeitverlauf konstant gleich&nbsp; ${A} = 1\, \text{V}$. Danach fällt&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; bis zum Zeitpunkt&nbsp; $t_2 = 6\, \text{ms}$&nbsp; linear bis auf den Wert Null ab.
  
 
Mit den beiden abgeleiteten Systemgrößen, nämlich
 
Mit den beiden abgeleiteten Systemgrößen, nämlich
  
* der [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|äquivalenten Impulsdauer]]
+
* der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|äquivalenten Impulsdauer]]&nbsp;
 
:$$\Delta t = t_1  + t_2$$
 
:$$\Delta t = t_1  + t_2$$
  
Zeile 16: Zeile 16:
 
lautet die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
 
lautet die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
 
:$$X( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}  \cdot \Delta t \cdot f} ) \cdot  \hspace{0.1cm}{\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}\cdot \Delta t \cdot  r_t \cdot  f} ).$$
 
:$$X( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}  \cdot \Delta t \cdot f} ) \cdot  \hspace{0.1cm}{\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}\cdot \Delta t \cdot  r_t \cdot  f} ).$$
Weiter sind in der Grafik noch der Rechteckimpuls ${r(t)}$ und der Dreieckimpuls ${d(t)}$ dargestellt, die beide als Grenzfälle des Trapezimpulses ${x(t)}$ interpretiert werden können.
+
Weiter sind in der Grafik noch der Rechteckimpuls&nbsp; ${r(t)}$&nbsp; und der Dreieckimpuls&nbsp; ${d(t)}$&nbsp; dargestellt, die beide als Grenzfälle des Trapezimpulses&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; interpretiert werden können.
 +
 
 +
 
 +
 
  
  
Zeile 23: Zeile 26:
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
+
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
 
   
 
   
*Sie können Ihre Ergebnisse anhand der beiden  interaktiven Applets [[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]] sowie  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]] überprüfen.
+
*Sie können Ihre Ergebnisse anhand der beiden  interaktiven Applets&nbsp; [[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]]&nbsp; sowie&nbsp; [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]]&nbsp; überprüfen.
  
  
Zeile 32: Zeile 35:
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie groß sind die äquivalente Impulsdauer und der Rolloff-Faktor von ${x(t)}$?
+
{Wie groß sind die äquivalente Impulsdauer und der Rolloff-Faktor von&nbsp; ${x(t)}$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$\Delta t \ = \ $ { 10 3% } &nbsp;$\text{ms}$
 
$\Delta t \ = \ $ { 10 3% } &nbsp;$\text{ms}$
Zeile 38: Zeile 41:
  
  
{Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion ${X(f)}$ zutreffend?
+
{Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; zutreffend?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ist gleich $20 \,\text{mV/Hz}$.
+
- Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist gleich&nbsp; $20 \,\text{mV/Hz}$.
+ Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder $\pi$ ($180^{\circ}$) möglich.
+
+ Für die Phasenfunktion sind die Werte&nbsp; $0$&nbsp; oder&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180^{\circ})$&nbsp; möglich.
+ ${X(f)}$ weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von $100 \,\text{Hz}$ auf.
+
+ ${X(f)}$&nbsp; weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von&nbsp; $100 \,\text{Hz}$&nbsp; auf.
  
  
{Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion ${R(f)}$ zutreffend?
+
{Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion&nbsp; ${R(f)}$&nbsp; zutreffend?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ist gleich ${X(f = 0)}$.
+
+ Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist gleich ${X(f = 0)}$.
+ Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder $\pi$ ($180^{\circ}$) möglich.
+
+ Für die Phasenfunktion sind die Werte&nbsp; $0$&nbsp; oder&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180^{\circ})$&nbsp; möglich.
+ ${R(f)}$ weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von $100 \,\text{Hz}$ auf.
+
+ ${R(f)}$&nbsp; weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von&nbsp; $100 \,\text{Hz}$&nbsp; auf.
  
  
{Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion ${D(f)}$ zutreffend?
+
{Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion&nbsp; ${D(f)}$&nbsp; zutreffend?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ist gleich ${X(f = 0)}$.
+
+ Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist gleich&nbsp; ${X(f = 0)}$.
- Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder $\pi$ ($180^{\circ}$) möglich.
+
- Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180^{\circ})$&nbsp; möglich.
+ ${D(f)}$ weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von $100 \,\text{Hz}$ auf.
+
+ ${D(f)}$&nbsp; weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von&nbsp; $100 \,\text{Hz}$ auf.
  
  

Version vom 26. September 2019, 15:43 Uhr

Trapezimpuls und dessen Grenzfälle „Rechteck” und „Dreieck”

Betrachtet werden drei unterschiedliche Impulsformen. Der Impuls  ${x(t)}$  ist trapezförmig. Für  $| t | < t_1 = 4 \,\text{ms}$  ist der Zeitverlauf konstant gleich  ${A} = 1\, \text{V}$. Danach fällt  ${x(t)}$  bis zum Zeitpunkt  $t_2 = 6\, \text{ms}$  linear bis auf den Wert Null ab.

Mit den beiden abgeleiteten Systemgrößen, nämlich

$$\Delta t = t_1 + t_2$$
  • und dem so genannten Rolloff-Faktor (im Zeitbereich)
$$r_t = \frac{t_2 - t_1 }{t_2 + t_1 }$$

lautet die Spektralfunktion des Trapezimpulses:

$$X( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi} \cdot \Delta t \cdot f} ) \cdot \hspace{0.1cm}{\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}\cdot \Delta t \cdot r_t \cdot f} ).$$

Weiter sind in der Grafik noch der Rechteckimpuls  ${r(t)}$  und der Dreieckimpuls  ${d(t)}$  dargestellt, die beide als Grenzfälle des Trapezimpulses  ${x(t)}$  interpretiert werden können.





Hinweise:


Fragebogen

1

Wie groß sind die äquivalente Impulsdauer und der Rolloff-Faktor von  ${x(t)}$?

$\Delta t \ = \ $

 $\text{ms}$
$r_t\hspace{0.3cm} = \ $

2

Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion  ${X(f)}$  zutreffend?

Der Spektralwert bei der Frequenz  $f = 0$  ist gleich  $20 \,\text{mV/Hz}$.
Für die Phasenfunktion sind die Werte  $0$  oder  $\pi$  $(180^{\circ})$  möglich.
${X(f)}$  weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von  $100 \,\text{Hz}$  auf.

3

Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion  ${R(f)}$  zutreffend?

Der Spektralwert bei der Frequenz  $f = 0$  ist gleich ${X(f = 0)}$.
Für die Phasenfunktion sind die Werte  $0$  oder  $\pi$  $(180^{\circ})$  möglich.
${R(f)}$  weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von  $100 \,\text{Hz}$  auf.

4

Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion  ${D(f)}$  zutreffend?

Der Spektralwert bei der Frequenz  $f = 0$  ist gleich  ${X(f = 0)}$.
Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder  $\pi$  $(180^{\circ})$  möglich.
${D(f)}$  weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von  $100 \,\text{Hz}$ auf.


Musterlösung

(1)  Die äquivalente Impulsdauer ist $\Delta t = t_1 + t_2 \;\underline{= 10 \,\text{ms}}$ und der Rolloff-Faktor $r_t = 2/10 \;\underline{= 0.2}$.


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Der Spektralwert bei $f = 0$ beträgt $A \cdot \Delta t = 10 \,\text{mV/Hz}$.
  • Da ${X(f)}$ reell ist und sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, sind nur die zwei Phasenwerte $0$ und $\pi$ möglich.
  • Nullstellen gibt es aufgrund der ersten si-Funktion bei allen Vielfachen von $1/\Delta t = 100\, \text{Hz}$.
  • Die zweite si-Funktion führt zu Nulldurchgängen im Abstand $1/(r_t \cdot \Delta t) = 500 \,\text{Hz}$. Diese fallen exakt mit den Nullstellen der ersten si-Funktion zusammen.


(3)  Alle Lösungsvorschläge sind zutreffend:

  • Mit der äquivalenten Impulsdauer $\Delta t = 10 \,\text{ms}$ und dem Rolloff-Faktor $r_t = 0$ erhält man:   $R( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ).$
  • Daraus folgt $R( f = 0) = A \cdot \Delta t = X( f = 0).$


(4)  Hier sind die Lösungsvorschläge 1 und 3 zutreffend:

  • Beim Dreieckimpuls ist der Rolloff-Faktor $r_t = 1$.
  • Die äquivalente Impulsdauer ist $\Delta t = 10 \,\text{ms}$. Daraus folgt   $D( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} )$ und $D( f = 0) = A \cdot \Delta t = X( f = 0)$.
  • Da ${D(f)}$ nicht negativ werden kann, ist die Phase $[{\rm arc} \; {D(f)}]$ stets $0$. Der Phasenwert $\pi$ ($180°$) ist also bei der Dreieckform nicht möglich.