Aufgaben:Aufgabe 3.4: Charakteristische Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

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*Insbesondere wird auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Charakteristische_Funktion|Charakteristische Funktion]] Bezug genommen.
 
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 
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*Die charakteristische Funktion einer zwischen $\pm a$ gleichverteilten Zufallsgröße $z lautet:
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*Die charakteristische Funktion einer zwischen $\pm a$ gleichverteilten Zufallsgröße $z$ lautet:
 
:$$C_z ( {\it \Omega}  ) = {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {a  {\it \Omega} } )\quad {\rm{mit}}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits}( x ) = \sin ( x )/x.$$
 
:$$C_z ( {\it \Omega}  ) = {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {a  {\it \Omega} } )\quad {\rm{mit}}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits}( x ) = \sin ( x )/x.$$
  
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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;<i>C<sub>x</sub></i>(<i>&Omega;</i>) ist nicht die Fouriertransformierte zu <i>f<sub>x</sub></i>(<i>x</i>), sondern die Fourierrücktransformierte:
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>:
:$$C_x( {\it \Omega  } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x )\cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega x}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x .$$
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* $C_x ( {\it \Omega} )$ ist nicht die Fouriertransformierte zu $f_x(x)$, sondern die Fourierrücktransformierte:
 
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:$$C_x( {\it \Omega  } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x )\cdot {\rm{e}}^{\hspace{0.03cm}{\rm{j}}\hspace{0.03cm}{\it \Omega x}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x .$$
:Auch bei dieser ist der Realteil stets gerade und der Imaginärteil ungerade. Für <i>&Omega;</i> = 0 gilt:
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*Auch bei dieser ist der Realteil stets gerade und der Imaginärteil ungerade. Für ${\it \Omega= 0gilt:
 
:$$C_x( {\it \Omega}  = 0 ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x ) \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = 1.$$
 
:$$C_x( {\it \Omega}  = 0 ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x ) \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = 1.$$
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*Die letzte Alternative trifft nicht immer zu: Eine zweipunktverteilte Zufallsgröße $x \in </i> \{-1, +3\}$ mit den Wahrscheinlichkeiten $0.75$ und $0.25$ ist zwar mittelwertfrei ($m_x = 0$), besitzt aber trotzdem eine komplexe charakteristische Funktion.
  
:Die letzte Alternative trifft nicht immer zu: Eine zweipunktverteilte Zufallsgröße <i>x</i> &#8712; {&ndash;1; +3} mit den Wahrscheinlichkeiten 0.75 und 0.25 ist zwar mittelwertfrei (<i>m<sub>x</sub></i> = 0), besitzt aber trotzdem eine komplexe charakteristische Funktion. Richtig sind somit <u>die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>.
 
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Entsprechend der allgemeinen Definition gilt:
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'''(2)'''&nbsp; Entsprechend der allgemeinen Definition gilt:
:$$C_y( {\it \Omega  } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_y }( y )\cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega y}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y  = 0.5\int_1^3 {{\rm{e}}^{{\rm{j}}\Omega y} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y.} $$
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$$C_y( {\it \Omega  } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_y }( y )\cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega y}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y  = 0.5\int_1^3 {{\rm{e}}^{{\rm{j}}\Omega y} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y.} $$
  
:Nach Lösen dieses Integrals ergibt sich:
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Nach Lösen dieses Integrals ergibt sich:
:$$C_y ( {\it \Omega } ) = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}3{\it \Omega } }  - {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } } }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } }  - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}{\it \Omega }} }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$
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$$C_y ( {\it \Omega } ) = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}3{\it \Omega } }  - {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } } }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } }  - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}{\it \Omega }} }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$
  
:Mit dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden:
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Mit dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden:
:$$C_y ( {\it \Omega }  ) = \frac{{\sin ( {\it \Omega }  )}}{{\it \Omega } } \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$
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$$C_y ( {\it \Omega }  ) = \frac{{\sin ( {\it \Omega }  )}}{{\it \Omega } } \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$
  
:Für <i>&Omega;</i> = &pi;/2 erhält man somit einen rein reellen Zahlenwert:
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Für ${\it \Omega= \pi/2$ erhält man somit einen rein reellen Zahlenwert:
:$${\rm Re}[C_y ({\it \Omega}  = {\rm{\pi }}/2 )] = \frac{{\sin( {{\rm{\pi }}/2})}}{{{\rm{\pi }}/2}} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j\pi }}}  =  - \frac{2}{{\rm{\pi }}}
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$${\rm Re}[C_y ({\it \Omega}  = {\rm{\pi }}/2 )] = \frac{{\sin( {{\rm{\pi }}/2})}}{{{\rm{\pi }}/2}} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j\pi }}}  =  - \frac{2}{{\rm{\pi }}}
 
\hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.637}, \hspace{0.5cm}
 
\hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.637}, \hspace{0.5cm}
 
{\rm Im}[C_y ({\it \Omega}  = {\rm{\pi }}/2 )]  \hspace{0.15cm}\underline{= 0}  .$$
 
{\rm Im}[C_y ({\it \Omega}  = {\rm{\pi }}/2 )]  \hspace{0.15cm}\underline{= 0}  .$$
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Aus der angegebenen Korrespondenz kann abgelesen werden, dass si(3&Omega;) auf eine zwischen &plusmn;3 gleichverteilte Zufallsgröße zurückgeht und si(2&Omega;) die Transformierte einer Gleichverteilung zwischen &plusmn;2 angibt. In der charakteristischen Funktion sind diese beiden Anteile multiplikativ verknüpft. Damit ist die resultierende WDF <i>f<sub>z</sub></i>(<i>z</i>) die Faltung dieser beiden Rechteckfunktionen:
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'''(3)'''&nbsp; Aus der angegebenen Korrespondenz kann abgelesen werden, dass ${\rm si}(3 {\it \Omega} )$ auf eine zwischen $\pm 3$ gleichverteilte Zufallsgröße zurückgeht und ${\rm si}(3 {\it \Omega} )$ die Transformierte einer Gleichverteilung zwischen $\pm 2$ angibt. In der charakteristischen Funktion sind diese beiden Anteile multiplikativ verknüpft. Damit ist die resultierende WDF $f_z(z)$ die Faltung dieser beiden Rechteckfunktionen:
[[Datei:P_ID620__Sto_A_3_4_c_neu.png|center|]]
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[[Datei:P_ID620__Sto_A_3_4_c_neu.png|center|Konstruktion der Trapez-WDF]]
 
:Die drei WDF-Parameter lauten somit:
 
:Die drei WDF-Parameter lauten somit:
 
:$$\hspace{0.15cm}\underline{a = 1},\quad \hspace{0.15cm}\underline{b = 5},
 
:$$\hspace{0.15cm}\underline{a = 1},\quad \hspace{0.15cm}\underline{b = 5},
\quad \hspace{0.15cm}\underline{c = 1/6}.$$
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\quad c = 1/6 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.167}.$$
 
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Version vom 10. März 2017, 10:50 Uhr

Charakteristische Funktion

Gegeben seien hier die drei Zufallsgrößen $x$, $y$ und $z$ durch ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen:

  • Über die Zufallsgröße $x$ ist nichts weiter bekannt: Diese kann sowohl eine diskrete als auch eine kontinuierliche Zufallsgröße sein und eine beliebige WDF $f_x(x)$ besitzen. Der Mittelwert ist allgemein gleich $m_x$.
  • Die Zufallsgröße $y$ kann nur Werte im Bereich zwischen $1$ bis $3$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen  ⇒  Mittelwert $m_y = 2$.
  • Die Zufallsgröße $z$ besitzt die folgende charakteristische Funktion:
$$C_z ({\it \Omega} ) = {\mathop{\rm si}\nolimits}( {3{\it \Omega}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2{\it \Omega} } ).$$
Daneben wird noch der qualitative Verlauf der WDF $f_z(z)$ entsprechend der blauen Skizze als bekannt vorausgesetzt. Zu bestimmen sind die WDF-Parameter $a$, $b$ und $c$ dieser WDF.

Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erwartungswerte und Momente.
  • Insbesondere wird auf die Seite Charakteristische Funktion Bezug genommen.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  • Die charakteristische Funktion einer zwischen $\pm a$ gleichverteilten Zufallsgröße $z$ lautet:
$$C_z ( {\it \Omega} ) = {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {a {\it \Omega} } )\quad {\rm{mit}}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits}( x ) = \sin ( x )/x.$$


Fragebogen

1

Welche Aussagen sind bezüglich der charakteristischen Funktion $C_x ( {\it \Omega} )$ stets – also bei beliebiger WDF – gültig?

$C_x ( {\it \Omega} )$ ist die Fouriertransformierte von $f_x(x)$.
Der Realteil von $C_x ( {\it \Omega} )$ ist eine gerade Funktion in ${\it \Omega}$.
Der Imaginärteil von $C_x ( {\it \Omega} )$ ist eine ungerade Funktion in ${\it \Omega}$.
Der Wert an der Stelle ${\it \Omega} = 0$ ist stets $C_x ( {\it \Omega} ) = 1$.
Bei mittelwertfreier Zufallsgröße ($m_x = 0$) ist $C_x ( {\it \Omega} )$ stets reell.

2

Berechnen Sie die charakteristische Funktion $C_y( {\it \Omega} )$. Wie groß sind Real- und Imaginärteil bei ${\it \Omega} = \pi/2$?

${\rm Re}[C_y(\Omega\ =\ \pi/2)] \ = $

${\rm Im}[C_y(\Omega\ =\ \pi/2)] \ = $

3

Bestimmen Sie die Kenngrößen $a$, $b$ und $c$ der WDF $f_z(z)$.

$a \ = $

$b \ = $

$c \ = $


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4:

  • $C_x ( {\it \Omega} )$ ist nicht die Fouriertransformierte zu $f_x(x)$, sondern die Fourierrücktransformierte:
$$C_x( {\it \Omega } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x )\cdot {\rm{e}}^{\hspace{0.03cm}{\rm{j}}\hspace{0.03cm}{\it \Omega x}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x .$$
  • Auch bei dieser ist der Realteil stets gerade und der Imaginärteil ungerade. Für ${\it \Omega} = 0$ gilt:
$$C_x( {\it \Omega} = 0 ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_x }( x ) \hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = 1.$$
  • Die letzte Alternative trifft nicht immer zu: Eine zweipunktverteilte Zufallsgröße $x \in </i> \{-1, +3\}$ mit den Wahrscheinlichkeiten $0.75$ und $0.25$ ist zwar mittelwertfrei ($m_x = 0$), besitzt aber trotzdem eine komplexe charakteristische Funktion.


(2)  Entsprechend der allgemeinen Definition gilt: $$C_y( {\it \Omega } ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f_y }( y )\cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega y}} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y = 0.5\int_1^3 {{\rm{e}}^{{\rm{j}}\Omega y} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}y.} $$

Nach Lösen dieses Integrals ergibt sich: $$C_y ( {\it \Omega } ) = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}3{\it \Omega } } - {\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } } }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} = \frac{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\it \Omega } } - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}{\it \Omega }} }}{{2{\rm{j}}{\it \Omega } }} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$

Mit dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden: $$C_y ( {\it \Omega } ) = \frac{{\sin ( {\it \Omega } )}}{{\it \Omega } } \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j2}}{\it \Omega } } .$$

Für ${\it \Omega} = \pi/2$ erhält man somit einen rein reellen Zahlenwert: $${\rm Re}[C_y ({\it \Omega} = {\rm{\pi }}/2 )] = \frac{{\sin( {{\rm{\pi }}/2})}}{{{\rm{\pi }}/2}} \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j\pi }}} = - \frac{2}{{\rm{\pi }}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.637}, \hspace{0.5cm} {\rm Im}[C_y ({\it \Omega} = {\rm{\pi }}/2 )] \hspace{0.15cm}\underline{= 0} .$$

(3)  Aus der angegebenen Korrespondenz kann abgelesen werden, dass ${\rm si}(3 {\it \Omega} )$ auf eine zwischen $\pm 3$ gleichverteilte Zufallsgröße zurückgeht und ${\rm si}(3 {\it \Omega} )$ die Transformierte einer Gleichverteilung zwischen $\pm 2$ angibt. In der charakteristischen Funktion sind diese beiden Anteile multiplikativ verknüpft. Damit ist die resultierende WDF $f_z(z)$ die Faltung dieser beiden Rechteckfunktionen:

Konstruktion der Trapez-WDF
Die drei WDF-Parameter lauten somit:
$$\hspace{0.15cm}\underline{a = 1},\quad \hspace{0.15cm}\underline{b = 5}, \quad c = 1/6 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.167}.$$