Aufgaben:Aufgabe 3.3Z: Optimierung eines Koaxialkabelsystems: Unterschied zwischen den Versionen
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Wir betrachten ein redundanzfreies binäres Übertragungssystem mit folgenden Spezifikationen: | Wir betrachten ein redundanzfreies binäres Übertragungssystem mit folgenden Spezifikationen: | ||
| − | * Die Sendeimpulse sind NRZ–rechteckförmig und besitzen die Energie $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$. | + | * Die Sendeimpulse sind NRZ–rechteckförmig und besitzen die Energie $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$. |
| − | * Der Kanal ist ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung $a_* = 40 \, {\rm dB}$. | + | * Der Kanal ist ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung $a_* = 40 \, {\rm dB}$. |
| − | * Es liegt AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0 = 0.0001 \cdot E_{\rm B}$ vor. | + | * Es liegt AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0 = 0.0001 \cdot E_{\rm B}$ vor. |
| − | * Der Empfängerfrequenzgang $H_{\rm E}(f)$ beinhaltet einen idealen Kanalentzerrer $H_{\rm K}^{\rm -1}(f)$ und einen Gaußtiefpass $H_{\rm G}(f)$ mit Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ zur Rauschleistungsbegrenzung. | + | * Der Empfängerfrequenzgang $H_{\rm E}(f)$ beinhaltet einen idealen Kanalentzerrer $H_{\rm K}^{\rm -1}(f)$ und einen Gaußtiefpass $H_{\rm G}(f)$ mit Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ zur Rauschleistungsbegrenzung. |
| − | Die Tabelle zeigt die Augenöffnung $\ddot{o}(T_{\rm D})$ sowie den Detektionsrauscheffektivwert $\sigma_{\rm d}$ – jeweils normiert auf die Sendeamplitude $s_0$ – für verschiedene Grenzfrequenzen $f_{\rm G}$. Die Grenzfrequenz ist so zu wählen, dass die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit möglichst klein ist, wobei folgende Definition gilt: | + | Die Tabelle zeigt die Augenöffnung $\ddot{o}(T_{\rm D})$ sowie den Detektionsrauscheffektivwert $\sigma_{\rm d}$ – jeweils normiert auf die Sendeamplitude $s_0$ – für verschiedene Grenzfrequenzen $f_{\rm G}$. Die Grenzfrequenz ist so zu wählen, dass die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit möglichst klein ist, wobei folgende Definition gilt: |
:$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})/2}{ \sigma_d} | :$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})/2}{ \sigma_d} | ||
\right) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}}\right)$$ | \right) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}}\right)$$ | ||
| − | *Diese stellt eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ dar: $p_{\rm S} \le p_{\rm U}$. | + | *Diese Größe stellt eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ dar: $p_{\rm S} \le p_{\rm U}$. |
| − | *Für $f_{\rm G} \cdot T ≥ 0.4$ kann auch eine untere Schranke angegeben werden: $p_{\rm S} \ge p_{\rm U}/4$. | + | *Für $f_{\rm G} \cdot T ≥ 0.4$ kann auch eine untere Schranke angegeben werden: $p_{\rm S} \ge p_{\rm U}/4$. |
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ber%C3%BCcksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung|Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ber%C3%BCcksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung|Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung]]. |
| − | * Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]. | + | * Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]. |
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$\hspace{4.07cm}p_{\rm U} \ = \ $ { 3.1 3% } $\ \rm \%$ | $\hspace{4.07cm}p_{\rm U} \ = \ $ { 3.1 3% } $\ \rm \%$ | ||
| − | {Auf welchen Wert müsste man die Rauschleistungsdichte $N_0$ (bezogen auf die Signalenergie) verringern, damit $p_{\rm U}$ nicht größer ist als $10^{\rm -6}$? | + | {Auf welchen Wert müsste man die Rauschleistungsdichte $N_0$ (bezogen auf die Signalenergie) verringern, damit $p_{\rm U}$ nicht größer ist als $10^{\rm -6}$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$N_0/E_{\rm B} \ = \ $ { 1.53 3% } $\ \cdot 10^{\rm -5}$ | $N_0/E_{\rm B} \ = \ $ { 1.53 3% } $\ \cdot 10^{\rm -5}$ | ||
| − | {Geben Sie für den unter (3) getroffenen Annahmen eine untere und eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ an. | + | {Geben Sie für den unter '''(3)''' getroffenen Annahmen eine untere und eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ an. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$p_\text{ S, min}\hspace{0.02cm} \ = \ $ { 0.25 3% } $\ \cdot 10^{\rm -6}$ | $p_\text{ S, min}\hspace{0.02cm} \ = \ $ { 0.25 3% } $\ \cdot 10^{\rm -6}$ | ||
Version vom 19. Februar 2019, 18:23 Uhr
Normierte Systemgrößen für verschiedene Grenzfrequenzen
Wir betrachten ein redundanzfreies binäres Übertragungssystem mit folgenden Spezifikationen:
- Die Sendeimpulse sind NRZ–rechteckförmig und besitzen die Energie $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$.
- Der Kanal ist ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung $a_* = 40 \, {\rm dB}$.
- Es liegt AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0 = 0.0001 \cdot E_{\rm B}$ vor.
- Der Empfängerfrequenzgang $H_{\rm E}(f)$ beinhaltet einen idealen Kanalentzerrer $H_{\rm K}^{\rm -1}(f)$ und einen Gaußtiefpass $H_{\rm G}(f)$ mit Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ zur Rauschleistungsbegrenzung.
Die Tabelle zeigt die Augenöffnung $\ddot{o}(T_{\rm D})$ sowie den Detektionsrauscheffektivwert $\sigma_{\rm d}$ – jeweils normiert auf die Sendeamplitude $s_0$ – für verschiedene Grenzfrequenzen $f_{\rm G}$. Die Grenzfrequenz ist so zu wählen, dass die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit möglichst klein ist, wobei folgende Definition gilt:
- $$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})/2}{ \sigma_d} \right) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}}\right)$$
- Diese Größe stellt eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ dar: $p_{\rm S} \le p_{\rm U}$.
- Für $f_{\rm G} \cdot T ≥ 0.4$ kann auch eine untere Schranke angegeben werden: $p_{\rm S} \ge p_{\rm U}/4$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung.
- Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Für die Optimierung genügt es , den Quotienten $\ddot{o}(T_{\rm D})/\sigma_d$ zu maximieren:
- Dieser ist von den in der Tabelle gegebenen Werten für die Grenzfrequenz $f_{\rm G, opt} \cdot T \underline {= 0.4}$ mit $0.735/0.197 \approx 3.73$ maximal.
- Zum Vergleich: Für $f_{\rm G} \cdot T = 0.3$ ergibt sich aufgrund der kleineren Augenöffnung $0.192/0.094 \approx 2.04$ und für $f_{\rm G} \cdot T = 0.5$ ist der Quotient ebenfalls kleiner als beim Optimum: $1.159/0.379 \approx 3.05$.
- Eine noch größere Grenzfrequenz führt zu einem sehr großen Störeffektivwert, ohne dass gleichzeitig die vertikale Augenöffnung in gleicher Weise vergrößert wird.
(2) Mit dem Ergebnis aus (1) erhält man weiter:
- $$\rho_{\rm U} = \left ( {3.73}/{2} \right )^2 \approx 3.48 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline { = 5.41\,{\rm dB}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q}\left ( {3.73}/{2} \right) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.031} \hspace{0.05cm}.$$
(3)
- Mit dem gegebenen $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 40 \ \rm dB$, also $E_{\rm B}/N_0 = 10^4$ hat sich der ungünstigste Störabstand zu $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} \approx 5.41 \, {\rm dB}$ ergeben.
- Für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} = 10^{\rm -6}$ muss aber $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} > 13.55 \, {\rm dB}$ sein.
- Dies erreicht man, indem man den Quotienten $E_{\rm B}/N_0$ entsprechend erhöht:
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} = 40\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}13.55\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}5.41\,{\rm dB}= 48.14\,{\rm dB}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm B}}/{N_0} = 10^{4.814}\approx 65163 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {N_0}/{E_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.53 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$
(4)
- Die obere Schranke für $p_{\rm S}$ ist gleich der ungünstigsten Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} = \underline {10^{\rm -6}}$.
- Die untere Schranke liegt bei $\underline {0.25 \cdot 10^{\rm -6}}$, ist also um den Faktor 4 kleiner.
