Aufgaben:Aufgabe 3.3Z: Kenngrößenbestimmung: Unterschied zwischen den Versionen
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Wir betrachten die Phasenmodulation der harmonischen Schwingung | Wir betrachten die Phasenmodulation der harmonischen Schwingung | ||
:$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}) \hspace{0.05cm},$$ | :$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}) \hspace{0.05cm},$$ | ||
| − | die bei Voraussetzung einer normierten Trägeramplitude ( | + | die bei Voraussetzung einer normierten Trägeramplitude $(A_{\rm T} = 1)$ zu folgendem Sendesignal führt: |
| − | :$$ s(t) = \cos \ | + | :$$ s(t) = \cos \hspace{-0.1cm}\big[\omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t) \big]\hspace{0.05cm}.$$ |
| − | Das Spektrum des dazugehörigen analytischen Signals $s_{\rm TP}(t)$ lautet allgemein: | + | Das Spektrum des dazugehörigen analytischen Signals $s_{\rm TP}(t)$ lautet allgemein: |
:$$S_{\rm TP}(f) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\phi_{\rm N}\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} 90^\circ) }\cdot \hspace{0.05cm} \delta (f - n \cdot f_{\rm N})\hspace{0.05cm}$$ | :$$S_{\rm TP}(f) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\phi_{\rm N}\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} 90^\circ) }\cdot \hspace{0.05cm} \delta (f - n \cdot f_{\rm N})\hspace{0.05cm}$$ | ||
| − | Hierbei bezeichnet man $η = K_{\rm PM} · A_{\rm N}$ als den Modulationsindex. | + | Hierbei bezeichnet man $η = K_{\rm PM} · A_{\rm N}$ als den Modulationsindex. |
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| + | In der Grafik ist das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$ getrennt nach Real- und Imaginärteil dargestellt. Aus diesem sollen die Kenngrößen $f_{\rm T}$, $f_{\rm N}$, $ϕ_{\rm N}$ und $η$ ermittelt werden. | ||
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]]. |
| − | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]]. | + | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]]. |
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*Zur Berechnung des Modulationsindex können Sie folgende Eigenschaft der Besselfunktion ausnutzen: | *Zur Berechnung des Modulationsindex können Sie folgende Eigenschaft der Besselfunktion ausnutzen: | ||
:$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm J}_{2} (\eta)= {2}/{\eta} \cdot {\rm J}_{1} (\eta) - {\rm J}_{0} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$ | :$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm J}_{2} (\eta)= {2}/{\eta} \cdot {\rm J}_{1} (\eta) - {\rm J}_{0} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| − | {Wie groß sind die Frequenzen $ | + | {Wie groß sind die Frequenzen $f_{\rm T}$ und $f_{\rm N}$? |
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$f_{\rm T} \ = \ $ { 40 3% } $\ \rm kHz$ | $f_{\rm T} \ = \ $ { 40 3% } $\ \rm kHz$ | ||
$f_{\rm N} \ = \ $ { 3 3% } $\ \rm kHz$ | $f_{\rm N} \ = \ $ { 3 3% } $\ \rm kHz$ | ||
| − | {Berechnen Sie den Betrag und die Phase von $S_{\rm TP}(f = 3 \ \rm kHz)$. | + | {Berechnen Sie den Betrag und die Phase von $S_{\rm TP}(f = 3 \ \rm kHz)$. |
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$|S_{\rm TP}(f = 3 \ \rm kHz)| \ = \ $ { 0.558 3% } | $|S_{\rm TP}(f = 3 \ \rm kHz)| \ = \ $ { 0.558 3% } | ||
| − | $arc \ S_{\rm TP}(f = 3\ \rm kHz) \ = \ $ { 60 3% } $\ \rm Grad$ | + | ${\rm arc} \ S_{\rm TP}(f = 3\ \rm kHz) \ = \ $ { 60 3% } $\ \rm Grad$ |
| − | {Berechnen Sie den Betrag und die Phase von $S_{\rm TP}(f = 6 \ \rm kHz)$. | + | {Berechnen Sie den Betrag und die Phase von $S_{\rm TP}(f = 6 \ \rm kHz)$. |
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$|S_{\rm TP}(f = 6 \ \rm kHz)| \ = \ $ { 0.232 3% } | $|S_{\rm TP}(f = 6 \ \rm kHz)| \ = \ $ { 0.232 3% } | ||
| − | $arc \ S_{\rm TP}(f = 6\ \rm kHz) \ = \ $ { 120 3% } $\ \rm Grad$ | + | ${\rm arc} \ S_{\rm TP}(f = 6\ \rm kHz) \ = \ $ { 120 3% } $\ \rm Grad$ |
| − | {Wie groß ist die Phase des Quellensignals $q(t)$? | + | {Wie groß ist die Phase des Quellensignals $q(t)$? |
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$ϕ_{\rm N} \ = \ $ { -30.9--29.1 } $\ \rm Grad$ | $ϕ_{\rm N} \ = \ $ { -30.9--29.1 } $\ \rm Grad$ | ||
| − | {Wie groß ist der Modulationsindex $η$? | + | {Wie groß ist der Modulationsindex $η$ ? |
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$η \ = \ $ { 1.5 3% } | $η \ = \ $ { 1.5 3% } | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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| − | '''1 | + | '''(1)''' Bezüglich $|S_+(f)|$ gibt es eine Symmetrie zur Trägerfrequenz $f_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline { = 40 \ \rm kHz}$. Der Abstand zwischen den Spektrallinien beträgt $f_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \ \rm kHz}$. |
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| + | '''(2)''' Unter Berücksichtigung von $S_{\rm TP}(f = 3{\ \rm kHz}) = S_+(f = 43 \ \rm kHz)$ gilt: | ||
| + | :$$|S_{\rm TP}(f = 3\,{\rm kHz})| = \sqrt{0.279^2 + 0.483^2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.558}\hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | :$$ {\rm arc}\hspace{0.15cm} S_{\rm TP}(f = 3\,{\rm kHz}) = \arctan \frac{0.483}{0.279} = \arctan 1.732\hspace{0.15cm}\underline { = 60^\circ} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | '''(3)''' In analoger Weise zur Teilaufgabe '''(2)''' erhält man für die Frequenz $f = 6 \ \rm kHz$: | ||
| + | :$$|S_{\rm TP}(f = 6\,{\rm kHz})| = \sqrt{(-0.116)^2 + 0.201^2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.232}\hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | :$${\rm arc}\hspace{0.15cm} S_{\rm TP}(f = 6\,{\rm kHz}) = \arctan \frac{-0.116}{0.201} = 180^\circ - \arctan 1.732 \hspace{0.15cm}\underline {= 120^\circ} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| − | ''' | + | '''(4)''' Die Phase lautet für $n = 1$ ⇒ $f = 3 \ \rm kHz$ entsprechend Teilaufgabe '''(2)''': |
| − | $$ | + | :$$ \phi_{\rm N} + 90^\circ = 60^\circ \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi_{\rm N} = -30^\circ\hspace{0.05cm}.$$ |
| − | $$ | + | *Die Überprüfung dieses Ergebnisses mit $n = 2$ ⇒ $f = 6 \ \rm kHz$ entsprechend Teilaufgabe '''(3)''' liefert den gleichen Wert: |
| + | :$$ 2\cdot (\phi_{\rm N} + 90^\circ) = 120^\circ \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= -30^\circ}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| − | '''5 | + | '''(5)''' Die angegebene Gleichung kann wie folgt umgeformt werden: |
| − | $$\eta = \frac{2 \cdot {\rm J}_{1}{(\eta)}}{{\rm J}_{0}(\eta) + {\rm J}_{2}(\eta)} \hspace{0.05cm}.$$ | + | :$$\eta = \frac{2 \cdot {\rm J}_{1}{(\eta)}}{{\rm J}_{0}(\eta) + {\rm J}_{2}(\eta)} \hspace{0.05cm}.$$ |
| − | Mit $ | + | *Mit ${\rm J}_0(η) = 0.512$, ${\rm J}_1(η) = 0.558$ und ${\rm J}_2(η) = 0.232$ erhält man somit: |
| − | $$ \eta = \frac{2 \cdot 0.558}{0.512 + 0.232}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$ | + | :$$ \eta = \frac{2 \cdot 0.558}{0.512 + 0.232}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$ |
Aktuelle Version vom 25. März 2020, 16:06 Uhr
Spektrum des analytischen Signals
Wir betrachten die Phasenmodulation der harmonischen Schwingung
- $$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}) \hspace{0.05cm},$$
die bei Voraussetzung einer normierten Trägeramplitude $(A_{\rm T} = 1)$ zu folgendem Sendesignal führt:
- $$ s(t) = \cos \hspace{-0.1cm}\big[\omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t) \big]\hspace{0.05cm}.$$
Das Spektrum des dazugehörigen analytischen Signals $s_{\rm TP}(t)$ lautet allgemein:
- $$S_{\rm TP}(f) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\phi_{\rm N}\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} 90^\circ) }\cdot \hspace{0.05cm} \delta (f - n \cdot f_{\rm N})\hspace{0.05cm}$$
Hierbei bezeichnet man $η = K_{\rm PM} · A_{\rm N}$ als den Modulationsindex.
In der Grafik ist das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$ getrennt nach Real- und Imaginärteil dargestellt. Aus diesem sollen die Kenngrößen $f_{\rm T}$, $f_{\rm N}$, $ϕ_{\rm N}$ und $η$ ermittelt werden.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Phasenmodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation.
- Zur Berechnung des Modulationsindex können Sie folgende Eigenschaft der Besselfunktion ausnutzen:
- $${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm J}_{2} (\eta)= {2}/{\eta} \cdot {\rm J}_{1} (\eta) - {\rm J}_{0} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Bezüglich $|S_+(f)|$ gibt es eine Symmetrie zur Trägerfrequenz $f_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline { = 40 \ \rm kHz}$. Der Abstand zwischen den Spektrallinien beträgt $f_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \ \rm kHz}$.
(2) Unter Berücksichtigung von $S_{\rm TP}(f = 3{\ \rm kHz}) = S_+(f = 43 \ \rm kHz)$ gilt:
- $$|S_{\rm TP}(f = 3\,{\rm kHz})| = \sqrt{0.279^2 + 0.483^2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.558}\hspace{0.05cm},$$
- $$ {\rm arc}\hspace{0.15cm} S_{\rm TP}(f = 3\,{\rm kHz}) = \arctan \frac{0.483}{0.279} = \arctan 1.732\hspace{0.15cm}\underline { = 60^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
(3) In analoger Weise zur Teilaufgabe (2) erhält man für die Frequenz $f = 6 \ \rm kHz$:
- $$|S_{\rm TP}(f = 6\,{\rm kHz})| = \sqrt{(-0.116)^2 + 0.201^2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.232}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm arc}\hspace{0.15cm} S_{\rm TP}(f = 6\,{\rm kHz}) = \arctan \frac{-0.116}{0.201} = 180^\circ - \arctan 1.732 \hspace{0.15cm}\underline {= 120^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Die Phase lautet für $n = 1$ ⇒ $f = 3 \ \rm kHz$ entsprechend Teilaufgabe (2):
- $$ \phi_{\rm N} + 90^\circ = 60^\circ \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi_{\rm N} = -30^\circ\hspace{0.05cm}.$$
- Die Überprüfung dieses Ergebnisses mit $n = 2$ ⇒ $f = 6 \ \rm kHz$ entsprechend Teilaufgabe (3) liefert den gleichen Wert:
- $$ 2\cdot (\phi_{\rm N} + 90^\circ) = 120^\circ \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= -30^\circ}\hspace{0.05cm}.$$
(5) Die angegebene Gleichung kann wie folgt umgeformt werden:
- $$\eta = \frac{2 \cdot {\rm J}_{1}{(\eta)}}{{\rm J}_{0}(\eta) + {\rm J}_{2}(\eta)} \hspace{0.05cm}.$$
- Mit ${\rm J}_0(η) = 0.512$, ${\rm J}_1(η) = 0.558$ und ${\rm J}_2(η) = 0.232$ erhält man somit:
- $$ \eta = \frac{2 \cdot 0.558}{0.512 + 0.232}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$
