Aufgabe 3.3Z: Hoch- und Tiefpässe in p-Form

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P ID1767 LZI Z 3 3.png
Die Grafik zeigt einige einfache Filterkonfigurationen mit Tiefpass– bzw. Hochpasscharakteristik, die aus diskreten Bauelementen zusammengesetzt sind. Für die Bauelemente der Schaltungen 1 und 2 gelte:
$$R = 100\,{\rm \Omega}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} L = 10\,{\rm \mu H}\hspace{0.05cm}.$$
Die Vierpol–Schaltungen (1), ... , (4) sollen durch ihre p–Übertragungsfunktionen HL(p) charakterisiert werden. Daraus ergibt sich – bei dieser Aufgabe, nicht allgemein – der Frequenzgang entsprechend der Gleichung
$$H(f) = H_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f}} \hspace{0.05cm}.$$
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 3.2.


Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die p–Übertragungsfunktion eines Vierpols?

Für einen Tiefpass erster Ordnung gilt: HTP(p) = K/(p + px),
Für einen Hochpass erster Ordnung gilt: HHP(p) = K · p/(p + px).

2

Wie lauten die Parameter K und px der Übertragungsfunktion von Vierpol (1)?

$K$ =

$p_x$ = -

$\cdot 10^{-7}\ 1/s$

3

Bei welcher Frequenz fG ist die Leistungsübertragungsfunktion |H(f)|2 gegenüber dem Maximalwert auf die Hälfte abgesunken?

$f_G$ =

$MHz$

4

Welcher der beiden RC–Vierpole führt bei richtiger Wahl der Kapazität C zur gleichen Übertragungsfunktion wie Vierpol (1)?

Vierpol (3),
Vierpol (4),

5

Es gelte R = 100 Ω. Wie muss dabei C gewählt werden, damit der Pol px mit dem des Vierpols (1) übereinstimmt?

$C$ =

$nF$


Musterlösung

1.  Für die beiden Vierpole gelten folgende Grenzwerte:
$$\lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0} H_{\rm TP}(p)\hspace{0.2cm} = \hspace{0.1cm}\lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{K}{p + p_{\rm x}} \hspace{0.15cm} { =K /{p_{\rm x}}}, \hspace{0.2cm} \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} H_{\rm TP}(p)= 0\hspace{0.05cm},\\ \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}H_{\rm HP}(p) \hspace{0.2cm} = \hspace{0.1cm}0, \hspace{0.4cm} \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} H_{\rm HP}(p)= \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}\frac{K\cdot p}{p + p_{\rm x}} = K \hspace{0.05cm}.$$
Man erkennt, dass HTP(p) für sehr hohe Frequenzen sperrt und HHP(p) für sehr niedrige Frequenzen. Das bedeutet, dass beide Aussagen zutreffen.
2.  Wir betrachten den Vierpol (1). Der Spannungsteiler liefert das Ergebnis
$$H_{\rm L}(p)= \frac { p L} {R + pL}= \frac { p } {p +{R}/{L}} \hspace{0.05cm} .$$
Es handelt sich um einen Hochpass mit dem Kennparameter K = 1 und der Nullstelle bei
$$p_{\rm x}= -\frac{R}{L}= -\frac{100\,{\rm \Omega}}{10^{-5 }\,{\rm \Omega s}}\hspace{0.15cm}\underline{= -10^{-7 }\,{1}/{\rm s}} \hspace{0.05cm} .$$
3.  Zur Übertragungsfunktion kommt man mit der Substitution p = j · 2πf:
$$H(f)= \frac { {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f } {{\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f +p_{\rm o}}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} |H(f)|^2 = \frac { (2\pi \hspace{-0.05cm}f)^2 } {(2\pi \hspace{-0.05cm}f)^2 +p_{\rm o}^2}\hspace{0.05cm} .$$
Aus der Bedingung |H(fG)|2 = 0.5 erhält man die Bedingung:
$$(2\pi \hspace{-0.05cm}f_{\rm G})^2 = p_{\rm o}^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} f_{\rm G} = -\frac { p_{\rm o}} {2 \pi}= \frac { 10^{-7 }\, 1/s} {2 \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.59\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm} .$$
4.  Für ein Gleichsignal ist eine Kapazität C ein unendlich großer Widerstand, für hohe Frequenzen wirkt C wie ein Kurzschluss ⇒ der Vierpol (3) beschreibt ebenfalls einen Hochpass. Dagegen zeigen die Schaltungen 2 und 4 Tiefpassverhalten.
e)  Die p–Übertragungsfunktion von Vierpol (3) lautet:
$$H_{\rm L}(p)= \frac { R } {{1}/{(pC)} + R}= \frac { p } {p +{1}/{(RC)}}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm x}= -{1}/(RC)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C = -\frac{1}{p_{\rm x} \cdot R}= \frac{-1}{-10^{-7 }\, 1/s \cdot 100\,{\rm \Omega}}\hspace{0.15cm}\underline{ = 1\,{\rm nF}} \hspace{0.05cm} .$$