Aufgaben:Aufgabe 3.3: Vom Signal zum Spektrum: Unterschied zwischen den Versionen

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Betrachtet wird ein Rechteckimpuls $x(t)$ der Dauer $T = 50$ µs und der Höhe $A = 2$ V. An den Sprungstellen bei $t = 0$ und $t = T$ ist der Signalwert jeweils $A/2$, was aber für die Lösung der Aufgabe keinen Einfluss hat.
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In der unteren Grafik ist die dazugehörige Spektralfunktion nach Betrag und Phase qualitativ skizziert. Es gilt:
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$$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi ( f )} .$$
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Der analytische Funktionsverlauf von $X(f)$ soll ermittelt werden.
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Hinweis: Diese Übungsaufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.1 und Kapitel 3.2. Gegeben sind weiterhin folgende trigonometrischen Umformungen:
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$$\sin ^2( \alpha ) = {1}/{2} \cdot \left( {1 - \cos ( {2\alpha } )} \right),$$
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$$\tan( {\alpha /2} ) = \frac{{1 - \cos ( \alpha  )}}{{\sin ( \alpha  )}}.$$
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
  
 
<quiz display=simple>
 
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{Multiple-Choice Frage
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{Berechnen Sie allgemein die Spektralfunktion $X(f)$. Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 10$ kHz?
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$Re[X(f=10 \text{kHz})] =$ { 00 } mV/Hz
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$Im[X(f=10 \text{kHz})] =$ { -0.0637 3% } mV/Hz
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{Berechnen Sie die Betragsfunktion $|X(f)|$ allgemein. Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen $f = 0$ und $f = 20$ kHz?
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|type="{}"}
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$|X(f=0)| =$ { 0.1 3% } mV/Hz
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$|X(f= 20 \text{kHz})| =$ { 00 } mV/Hz
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{Welche der nachfolgenden Aussagen sind bezüglich $|X(f)|$ zutreffend?
 
|type="[]"}
 
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- Falsch
+
+ $|X(f)|$ hat Nullstellen bei Vielfachen von $f_0 = 1/T$.
+ Richtig
+
- $|X(f)|$ hat Nullstellen bei Vielfachen von $f_0 = 1/(2T)$.
 
+
+ In der Mitte zwischen zwei Nullstellen ist $|X(f)| = |A/(\pi f)|$.
  
{Input-Box Frage
+
{Berechnen Sie die Phasenfunktion $\phi (f)$. Welcher Phasenwinkel (in Grad) ergibt sich bei der Frequenz $f = 10$ kHz?
 
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<math> \alpha = </math> { 0.3 _5 }
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$\phi (f = 10 \text{kHz}) =$ { 90 } Grad
 
 
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
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'''1.'''  Antwort 1
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'''1.''' Mit der Abkürzung $\omega = 2\pi f$ lautet die Spektralfunktion gemäß dem ersten Fourierintegral:
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$$X( f ) = \int_0^T {A \cdot {\rm{e}}^{-{\rm{j}}\omega t} \hspace{0.05cm}{\rm d}t = } \int_0^T {A \cdot \cos \left( {\omega t} \right)\hspace{0.05cm}{\rm d}t  }\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm} {\rm{j}} \cdot \int_{\rm{0}}^T {A \cdot \sin ( {\omega t} )} \hspace{0.05cm}{\rm d}t.$$
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Nach Integration und Einsetzen der Grenzen folgt daraus:
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$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X( f )} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \sin( {\omega T} ),$$
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$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( f)} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \left( {\cos ( {\omega T}) - 1} \right) =  - \frac{A}{\omega }\left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right).$$
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Für die Frequenz $f = 1/(2T) = 10$ kHz (also $\omega \cdot T = \pi$ ) erhält man:
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$${\mathop{\rm Re}\nolimits}[{X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}} )}] = \frac{A}{{2{\rm{\pi }}f}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0},$$
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$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}})} ] = \frac{{ - A}}{{2{\rm{\pi }}f}} \cdot \left( {1 - \cos ( {\rm{\pi }} )} \right) = - \frac{{  A}}{{{\rm{\pi }}f}}\hspace{0.15 cm}\underline{=  - 6.37 \cdot 10^{ - 5} \;{\rm{V/Hz}}}{\rm{.}}$$
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'''2.''' Das Betragsquadrat ist die Summe von Real- und Imaginärteil, jeweils quadriert:
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$$\left| {X( f )} \right|^2  = \frac{{A^2 }}{{\omega ^2 }}\left[ {\sin ^2 ( {\omega T} ) + 1 - 2 \cdot \cos ( {\omega T}) + \cos ^2 ( {\omega T} )} \right].$$
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Wegen $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ kann hierfür auch geschrieben werden:
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$$\left| {X( f )} \right|^2  = \frac{{2A^2 }}{{\omega ^2 }}\left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right) = \frac{{4A^2 }}{{\omega ^2 }} \cdot \sin ^2( {\omega T/2} ).$$
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Setzt man für $\omega = 2\pi f$ und zieht die Wurzel, so erhält man unter der Voraussetzung $A > 0$:
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$$\left| {X( f )} \right| =  \left| \frac{A}{{\rm\pi }f} \cdot \sin ( {\rm \pi }fT ) \right| = A \cdot T \cdot \left| \frac{\sin ( {\rm\pi }fT )}{ {\rm \pi}fT} \right|.$$
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Mit der Abkürzung $\text{si}(x) = \sin(x)/x$ lautet das Ergebnis:
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$$\left| {X( f)} \right| = A \cdot T \cdot\left|{\rm si} ( {{\rm{\pi }}fT} ) \right|.$$
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Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 1/T = 20$ kHz ergibt sich zu
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$$\left| {X( {f = 20\;{\rm{kHz}}} )} \right| = \frac{{A \cdot T}}{{\rm{\pi }}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
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Bei der Berechnung des Spektralwertes für $f = 0$ erscheint der Quotient „0 durch 0”. Durch Anwendung der Regel von l'Hospital kann dieser Grenzwert berechnet werden:
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$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 } \frac{{\sin \left( x \right)}}{x} = 1.$$
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Daraus folgt:
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$$\left| {X( {f = 0} )} \right| = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 10^{ - 4} \;{\rm{V/Hz}}}{\rm{.}}$$
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Dieses Ergebnis ist einsichtig, da nach dem ersten Fourierintegral der Spektralwert bei $f = 0$ genau der Fläche unter der Zeitfunktion entspricht.
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[[Datei:P_ID563__Sig_A_3_3_c.png|250px|right|Betragsspektrum des Rechteckimpulses (ML zu Aufgabe A3.3)]]
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'''3.''' Entsprechend dem Ergebnis 2.) treten die Nullstellen im Abstand $f_0 = 1/T$ auf. Bei $f_0 = 1/(2T) = 10$ kHz ist zwar der Realteil 0, aber nicht der Imaginärteil.
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Bei den Argumenten $f \cdot T$ = 0.5, 1.5, 2.5, ... ist die Sinusfunktion jeweils betragsmäßig gleich 1, und es gilt:
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$$\left| {X( f )} \right| = \frac{A}{{{\rm{\pi }}\left| f \right|}} = X_{\rm S} ( f ).$$
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Bei anderen Frequenzen dient XS(f) als obere Schranke, d. h. es gilt stets $|X(f)| \geq X_S(f)$. In obiger Skizze ist diese Schranke zusätzlich zu $|X(f)|$ eingezeichnet (violette Kurve).
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Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 3.
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'''4.''' Nach der Definition auf der Angabenseite kann man die Phasenfunktion wie folgt berechnen:
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$$\varphi ( f ) =  - \arctan \frac{{{\mathop{\rm Im}\nolimits} ( f )}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} ( f )}}.$$
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Mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe 1.) gilt somit:
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$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{{1 - \cos ( {\omega T} )}}{{\sin ( {\omega T} )}}} \right).$$
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Das Argument dieser Funktion ist entsprechend der Angabe gleich $\tan(\omega T/2) = \tan(\pi fT)$. Daraus folgt ein mit der Frequenz linear ansteigender Verlauf:
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$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\tan ( {{\rm{\pi }}fT} )} \right) = {\rm{\pi }}fT.$$
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Mit $f = 10$ kHz und $T = 50$ µs erhält man daraus den Phasenwinkel $\pi /2$ (90°).
 
{{ML-Fuß}}
 
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]
 
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Version vom 17. April 2016, 22:27 Uhr

Rechteckimpuls und Spektrum (Aufgabe A3.3)

Betrachtet wird ein Rechteckimpuls $x(t)$ der Dauer $T = 50$ µs und der Höhe $A = 2$ V. An den Sprungstellen bei $t = 0$ und $t = T$ ist der Signalwert jeweils $A/2$, was aber für die Lösung der Aufgabe keinen Einfluss hat. In der unteren Grafik ist die dazugehörige Spektralfunktion nach Betrag und Phase qualitativ skizziert. Es gilt:

$$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi ( f )} .$$

Der analytische Funktionsverlauf von $X(f)$ soll ermittelt werden. Hinweis: Diese Übungsaufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.1 und Kapitel 3.2. Gegeben sind weiterhin folgende trigonometrischen Umformungen:

$$\sin ^2( \alpha ) = {1}/{2} \cdot \left( {1 - \cos ( {2\alpha } )} \right),$$

$$\tan( {\alpha /2} ) = \frac[[:Vorlage:1 - \cos ( \alpha )]][[:Vorlage:\sin ( \alpha )]].$$

Fragebogen

1

Berechnen Sie allgemein die Spektralfunktion $X(f)$. Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f = 10$ kHz?

$Re[X(f=10 \text{kHz})] =$

mV/Hz
$Im[X(f=10 \text{kHz})] =$

mV/Hz

2

Berechnen Sie die Betragsfunktion $|X(f)|$ allgemein. Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen $f = 0$ und $f = 20$ kHz?

$|X(f=0)| =$

mV/Hz
$|X(f= 20 \text{kHz})| =$

mV/Hz

3

Welche der nachfolgenden Aussagen sind bezüglich $|X(f)|$ zutreffend?

$|X(f)|$ hat Nullstellen bei Vielfachen von $f_0 = 1/T$.
$|X(f)|$ hat Nullstellen bei Vielfachen von $f_0 = 1/(2T)$.
In der Mitte zwischen zwei Nullstellen ist $|X(f)| = |A/(\pi f)|$.

4

Berechnen Sie die Phasenfunktion $\phi (f)$. Welcher Phasenwinkel (in Grad) ergibt sich bei der Frequenz $f = 10$ kHz?

$\phi (f = 10 \text{kHz}) =$

Grad


Musterlösung

1. Mit der Abkürzung $\omega = 2\pi f$ lautet die Spektralfunktion gemäß dem ersten Fourierintegral:

$$X( f ) = \int_0^T {A \cdot {\rm{e}}^{-{\rm{j}}\omega t} \hspace{0.05cm}{\rm d}t = } \int_0^T {A \cdot \cos \left( {\omega t} \right)\hspace{0.05cm}{\rm d}t }\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm} {\rm{j}} \cdot \int_{\rm{0}}^T {A \cdot \sin ( {\omega t} )} \hspace{0.05cm}{\rm d}t.$$

Nach Integration und Einsetzen der Grenzen folgt daraus:

$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X( f )} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \sin( {\omega T} ),$$

$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( f)} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \left( {\cos ( {\omega T}) - 1} \right) = - \frac{A}{\omega }\left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right).$$

Für die Frequenz $f = 1/(2T) = 10$ kHz (also $\omega \cdot T = \pi$ ) erhält man:

$${\mathop{\rm Re}\nolimits}[{X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}} )}] = \frac{A}{{2{\rm{\pi }}f}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0},$$

$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}})} ] = \frac[[:Vorlage:- A]]{{2{\rm{\pi }}f}} \cdot \left( {1 - \cos ( {\rm{\pi }} )} \right) = - \frac[[:Vorlage:A]]{{{\rm{\pi }}f}}\hspace{0.15 cm}\underline{= - 6.37 \cdot 10^{ - 5} \;{\rm{V/Hz}}}{\rm{.}}$$

2. Das Betragsquadrat ist die Summe von Real- und Imaginärteil, jeweils quadriert:

$$\left| {X( f )} \right|^2 = \frac[[:Vorlage:A^2]][[:Vorlage:\omega ^2]]\left[ {\sin ^2 ( {\omega T} ) + 1 - 2 \cdot \cos ( {\omega T}) + \cos ^2 ( {\omega T} )} \right].$$

Wegen $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ kann hierfür auch geschrieben werden:

$$\left| {X( f )} \right|^2 = \frac[[:Vorlage:2A^2]][[:Vorlage:\omega ^2]]\left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right) = \frac[[:Vorlage:4A^2]][[:Vorlage:\omega ^2]] \cdot \sin ^2( {\omega T/2} ).$$

Setzt man für $\omega = 2\pi f$ und zieht die Wurzel, so erhält man unter der Voraussetzung $A > 0$:

$$\left| {X( f )} \right| = \left| \frac{A}{{\rm\pi }f} \cdot \sin ( {\rm \pi }fT ) \right| = A \cdot T \cdot \left| \frac{\sin ( {\rm\pi }fT )}{ {\rm \pi}fT} \right|.$$

Mit der Abkürzung $\text{si}(x) = \sin(x)/x$ lautet das Ergebnis:

$$\left| {X( f)} \right| = A \cdot T \cdot\left|{\rm si} ( {{\rm{\pi }}fT} ) \right|.$$

Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 1/T = 20$ kHz ergibt sich zu

$$\left| {X( {f = 20\;{\rm{kHz}}} )} \right| = \frac[[:Vorlage:A \cdot T]]{{\rm{\pi }}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$

Bei der Berechnung des Spektralwertes für $f = 0$ erscheint der Quotient „0 durch 0”. Durch Anwendung der Regel von l'Hospital kann dieser Grenzwert berechnet werden:

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 } \frac[[:Vorlage:\sin \left( x \right)]]{x} = 1.$$

Daraus folgt:

$$\left| {X( {f = 0} )} \right| = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 10^{ - 4} \;{\rm{V/Hz}}}{\rm{.}}$$

Dieses Ergebnis ist einsichtig, da nach dem ersten Fourierintegral der Spektralwert bei $f = 0$ genau der Fläche unter der Zeitfunktion entspricht.

Betragsspektrum des Rechteckimpulses (ML zu Aufgabe A3.3)

3. Entsprechend dem Ergebnis 2.) treten die Nullstellen im Abstand $f_0 = 1/T$ auf. Bei $f_0 = 1/(2T) = 10$ kHz ist zwar der Realteil 0, aber nicht der Imaginärteil. Bei den Argumenten $f \cdot T$ = 0.5, 1.5, 2.5, ... ist die Sinusfunktion jeweils betragsmäßig gleich 1, und es gilt:

$$\left| {X( f )} \right| = \frac{A}{{{\rm{\pi }}\left| f \right|}} = X_{\rm S} ( f ).$$

Bei anderen Frequenzen dient XS(f) als obere Schranke, d. h. es gilt stets $|X(f)| \geq X_S(f)$. In obiger Skizze ist diese Schranke zusätzlich zu $|X(f)|$ eingezeichnet (violette Kurve). Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 3.

4. Nach der Definition auf der Angabenseite kann man die Phasenfunktion wie folgt berechnen:

$$\varphi ( f ) = - \arctan \frac{{{\mathop{\rm Im}\nolimits} ( f )}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} ( f )}}.$$

Mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe 1.) gilt somit:

$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{{1 - \cos ( {\omega T} )}}{{\sin ( {\omega T} )}}} \right).$$

Das Argument dieser Funktion ist entsprechend der Angabe gleich $\tan(\omega T/2) = \tan(\pi fT)$. Daraus folgt ein mit der Frequenz linear ansteigender Verlauf:

$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\tan ( {{\rm{\pi }}fT} )} \right) = {\rm{\pi }}fT.$$

Mit $f = 10$ kHz und $T = 50$ µs erhält man daraus den Phasenwinkel $\pi /2$ (90°).