Aufgaben:Aufgabe 3.3: Vom Signal zum Spektrum: Unterschied zwischen den Versionen

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Betrachtet wird ein Rechteckimpuls $x(t)$ der Dauer $T = 50\,\text{µs}$ und der Höhe $A = 2\,\text{V}$. An den Sprungstellen bei $t = 0$ und $t = T$ ist der Signalwert jeweils $A/2$, was aber für die Lösung der Aufgabe keinen Einfluss hat.
 
Betrachtet wird ein Rechteckimpuls $x(t)$ der Dauer $T = 50\,\text{µs}$ und der Höhe $A = 2\,\text{V}$. An den Sprungstellen bei $t = 0$ und $t = T$ ist der Signalwert jeweils $A/2$, was aber für die Lösung der Aufgabe keinen Einfluss hat.
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In der unteren Grafik ist die dazugehörige Spektralfunktion nach Betrag und Phase qualitativ skizziert. Es gilt:
 
In der unteren Grafik ist die dazugehörige Spektralfunktion nach Betrag und Phase qualitativ skizziert. Es gilt:
  
$$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi ( f )} .$$
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:$$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi ( f )} .$$
 
   
 
   
 
Der analytische Funktionsverlauf von $X(f)$ soll ermittelt werden.
 
Der analytische Funktionsverlauf von $X(f)$ soll ermittelt werden.
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''Hinweise:''  
 
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*Gegeben sind weiterhin folgende trigonometrischen Umformungen:
 
*Gegeben sind weiterhin folgende trigonometrischen Umformungen:
  
$$\sin ^2( \alpha ) = {1}/{2} \cdot \left( {1 - \cos ( {2\alpha } )} \right),\hspace{0.5cm} \tan( {\alpha /2} ) = \frac{ {1 - \cos ( \alpha  )}}{ {\sin ( \alpha  )}}.$$
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:$$\sin ^2( \alpha ) = {1}/{2} \cdot \left( {1 - \cos ( {2\alpha } )} \right),\hspace{0.5cm} \tan( {\alpha /2} ) = \frac{ {1 - \cos ( \alpha  )}}{ {\sin ( \alpha  )}}.$$
  
  
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{Berechnen Sie allgemein die Spektralfunktion $X(f)$. Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f=10\, \text{kHz})$?
 
{Berechnen Sie allgemein die Spektralfunktion $X(f)$. Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f=10\, \text{kHz})$?
 
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${\rm Re}[X(f=10 \,\text{kHz})]$  = { 0. }   $\text{mV/Hz}$
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${\rm Re}[X(f=10 \,\text{kHz})] \ = \ $ { 0. }   $\text{mV/Hz}$
${\rm Re}[X(f=10\, \text{kHz})]$  = { -0.064--0.06 }   $\text{mV/Hz}$
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${\rm Re}[X(f=10\, \text{kHz})]\ = \ $ { -0.064--0.06 }   $\text{mV/Hz}$
  
 
{Berechnen Sie die Betragsfunktion $|X(f)|$ allgemein. Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen $f = 0$ und $f=20 \,\text{kHz})$?
 
{Berechnen Sie die Betragsfunktion $|X(f)|$ allgemein. Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen $f = 0$ und $f=20 \,\text{kHz})$?
 
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$|X(f=0)|$  = { 0.1 3% }   $\text{mV/Hz}$
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$|X(f=0)|\ = \ $ { 0.1 3% }   $\text{mV/Hz}$
$|X(f=20\, \text{kHz})|$  = { 0. }   $\text{mV/Hz}$
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$|X(f=20\, \text{kHz})|\ = \ $ { 0. }   $\text{mV/Hz}$
  
 
{Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich $|X(f)|$ zutreffend?
 
{Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich $|X(f)|$ zutreffend?
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{Berechnen Sie die Phasenfunktion $\varphi (f)$. Welcher Phasenwinkel (in Grad) ergibt sich bei der Frequenz $f=10\, \text{kHz}$?
 
{Berechnen Sie die Phasenfunktion $\varphi (f)$. Welcher Phasenwinkel (in Grad) ergibt sich bei der Frequenz $f=10\, \text{kHz}$?
 
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$\varphi (f=10\, \text{kHz})$  = { 90 1% }   $\text{Grad}$
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$\varphi (f=10\, \text{kHz})\ = \ $ { 90 1% }   $\text{Grad}$
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.''' Mit der Abkürzung $\omega = 2\pi f$ lautet die Spektralfunktion gemäß dem ersten Fourierintegral:
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'''(1)'''  Mit der Abkürzung $\omega = 2\pi f$ lautet die Spektralfunktion gemäß dem ersten Fourierintegral:
 
   
 
   
$$X( f ) = \int_0^T {A \cdot {\rm{e}}^{-{\rm{j}}\omega t} \hspace{0.05cm}{\rm d}t = } \int_0^T {A \cdot \cos \left( {\omega t} \right)\hspace{0.05cm}{\rm d}t  }\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm} {\rm{j}} \cdot \int_{\rm{0}}^T {A \cdot \sin ( {\omega t} )} \hspace{0.05cm}{\rm d}t.$$
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:$$X( f ) = \int_0^T {A \cdot {\rm{e}}^{-{\rm{j}}\omega t} \hspace{0.05cm}{\rm d}t = } \int_0^T {A \cdot \cos \left( {\omega t} \right)\hspace{0.05cm}{\rm d}t  }\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm} {\rm{j}} \cdot \int_{\rm{0}}^T {A \cdot \sin ( {\omega t} )} \hspace{0.05cm}{\rm d}t.$$
  
 
Nach Integration und Einsetzen der Grenzen folgt daraus:
 
Nach Integration und Einsetzen der Grenzen folgt daraus:
 
   
 
   
$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X( f )} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \sin( {\omega T} ),$$
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:$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X( f )} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \sin( {\omega T} ),$$
  
$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( f)} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \left( {\cos ( {\omega T}) - 1} \right) =  - \frac{A}{\omega } \cdot\left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right).$$
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:$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( f)} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \left( {\cos ( {\omega: T}) - 1} \right) =  - \frac{A}{\omega } \cdot\left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right).$$
 
   
 
   
 
Für die Frequenz $f = 1/(2T) = 10\, \text{kHz}$    ⇒    $\omega \cdot T = \pi$  erhält man:
 
Für die Frequenz $f = 1/(2T) = 10\, \text{kHz}$    ⇒    $\omega \cdot T = \pi$  erhält man:
 
   
 
   
$${\mathop{\rm Re}\nolimits}[{X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}} )}] = \frac{A}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0},$$
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:$${\mathop{\rm Re}\nolimits}[{X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}} )}] = \frac{A}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0},$$
  
$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}})} ] = \frac{ { - A}}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \left( {1 - \cos ( {\rm{\pi }} )} \right) = - \frac{ {  A}}{{ {\rm{\pi }}f}}\hspace{0.15 cm}\underline{=  - 0.0637  \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
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:$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}})} ] = \frac{ { - A}}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \left( {1 - \cos ( {\rm{\pi }} )} \right) = - \frac{ {  A}}{{ {\rm{\pi }}f}}\hspace{0.15 cm}\underline{=  - 0.0637  \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
 
   
 
   
'''2.''' Das Betragsquadrat ist die Summe von Real- und Imaginärteil, jeweils quadriert:
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'''(2)'''  Das Betragsquadrat ist die Summe von Real- und Imaginärteil, jeweils quadriert:
 
   
 
   
$$\left| {X( f )} \right|^2  = \frac{ {A^2 }}{ {\omega ^2 }}\left[ {\sin ^2 ( {\omega T} ) + 1 - 2 \cdot \cos ( {\omega T}) + \cos ^2 ( {\omega T} )} \right].$$
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:$$\left| {X( f )} \right|^2  = \frac{ {A^2 }}{ {\omega ^2 }}\left[ {\sin ^2 ( {\omega T} ) + 1 - 2 \cdot \cos ( {\omega T}) + \cos ^2 ( {\omega T} )} \right].$$
  
 
Wegen $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ kann hierfür auch geschrieben werden:
 
Wegen $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ kann hierfür auch geschrieben werden:
 
   
 
   
$$\left| {X( f )} \right|^2  = \frac{ {2A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right) = \frac{ {4A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \sin ^2( {\omega T/2} ).$$
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:$$\left| {X( f )} \right|^2  = \frac{ {2A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right) = \frac{ {4A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \sin ^2( {\omega T/2} ).$$
  
 
Setzt man für $\omega = 2\pi f$ und zieht die Wurzel, so erhält man unter der Voraussetzung $A > 0$:
 
Setzt man für $\omega = 2\pi f$ und zieht die Wurzel, so erhält man unter der Voraussetzung $A > 0$:
 
   
 
   
$$\left| {X( f )} \right| =  \left| \frac{A}{ {\rm\pi }f} \cdot \sin ( {\rm \pi }fT ) \right| = A \cdot T \cdot \left| \frac{\sin ( {\rm\pi }fT )}{ {\rm \pi}fT} \right|.$$
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:$$\left| {X( f )} \right| =  \left| \frac{A}{ {\rm\pi }f} \cdot \sin ( {\rm \pi }fT ) \right| = A \cdot T \cdot \left| \frac{\sin ( {\rm\pi }fT )}{ {\rm \pi}fT} \right|.$$
  
 
Mit der Abkürzung $\text{si}(x) = \sin(x)/x$ lautet das Ergebnis:
 
Mit der Abkürzung $\text{si}(x) = \sin(x)/x$ lautet das Ergebnis:
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Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 1/T = 20$ kHz ergibt sich zu
 
Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 1/T = 20$ kHz ergibt sich zu
 
   
 
   
$$\left| {X( {f = 20\;{\rm{kHz}}} )} \right| = \frac{ {A \cdot T}}{ {\rm{\pi }}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
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:$$\left| {X( {f = 20\;{\rm{kHz}}} )} \right| = \frac{ {A \cdot T}}{ {\rm{\pi }}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
  
 
Bei der Berechnung des Spektralwertes für $f = 0$ erscheint der Quotient „0 durch 0”. Durch Anwendung der [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l%E2%80%99Hospital Regel von l'Hospital] kann dieser Grenzwert berechnet werden:
 
Bei der Berechnung des Spektralwertes für $f = 0$ erscheint der Quotient „0 durch 0”. Durch Anwendung der [https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l%E2%80%99Hospital Regel von l'Hospital] kann dieser Grenzwert berechnet werden:
 
   
 
   
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 } \frac{ {\sin \left( x \right)}}{x} = 1.$$
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:$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 } \frac{ {\sin \left( x \right)}}{x} = 1.$$
  
 
Daraus folgt:
 
Daraus folgt:
 
   
 
   
$$\left| {X( {f = 0} )} \right| = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.1 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
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:$$\left| {X( {f = 0} )} \right| = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.1 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
  
 
Dieses Ergebnis ist einsichtig, da nach dem ersten Fourierintegral der Spektralwert bei $f = 0$ genau der Fläche unter der Zeitfunktion entspricht.
 
Dieses Ergebnis ist einsichtig, da nach dem ersten Fourierintegral der Spektralwert bei $f = 0$ genau der Fläche unter der Zeitfunktion entspricht.
  
  
[[Datei:P_ID563__Sig_A_3_3_c.png|right|Betragsspektrum des Rechteckimpulses]]
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'''3.''' Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
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'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
 
*Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe (2) treten die Nullstellen im Abstand $f_0 = 1/T$ auf. Bei $f_0 = 1/(2T) = f = 10 \;{\rm{kHz}}$  ist zwar der Realteil $0$, aber nicht der Imaginärteil.
 
*Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe (2) treten die Nullstellen im Abstand $f_0 = 1/T$ auf. Bei $f_0 = 1/(2T) = f = 10 \;{\rm{kHz}}$  ist zwar der Realteil $0$, aber nicht der Imaginärteil.
 
*Bei den Argumenten $f \cdot T = 0.5, 1.5, 2.5, ... $ ist die Sinusfunktion jeweils betragsmäßig gleich $1$, und es gilt:
 
*Bei den Argumenten $f \cdot T = 0.5, 1.5, 2.5, ... $ ist die Sinusfunktion jeweils betragsmäßig gleich $1$, und es gilt:
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'''4.''' Nach der Definition auf der Angabenseite kann man die Phasenfunktion wie folgt berechnen:
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'''(4)'''&nbsp; Nach der Definition auf der Angabenseite kann man die Phasenfunktion wie folgt berechnen:
 
   
 
   
$$\varphi ( f ) =  - \arctan \frac{ { {\mathop{\rm Im}\nolimits} ( f )}}{ { {\mathop{\rm Re}\nolimits} ( f )}}.$$
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:$$\varphi ( f ) =  - \arctan \frac{ { {\mathop{\rm Im}\nolimits} ( f )}}{ { {\mathop{\rm Re}\nolimits} ( f )}}.$$
  
 
Mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe (1) gilt somit:
 
Mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe (1) gilt somit:
 
   
 
   
$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ {1 - \cos ( {\omega T} )}}{ {\sin ( {\omega T} )}}} \right).$$
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:$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ {1 - \cos ( {\omega T} )}}{ {\sin ( {\omega T} )}}} \right).$$
  
 
Das Argument dieser Funktion ist entsprechend der Angabe gleich $\tan(\omega T/2) = \tan(\pi fT)$. Daraus folgt ein mit der Frequenz linear ansteigender Verlauf:
 
Das Argument dieser Funktion ist entsprechend der Angabe gleich $\tan(\omega T/2) = \tan(\pi fT)$. Daraus folgt ein mit der Frequenz linear ansteigender Verlauf:
 
   
 
   
$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\tan ( { {\rm{\pi }}fT} )} \right) = {\rm{\pi }}fT.$$
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:$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\tan ( { {\rm{\pi }}fT} )} \right) = {\rm{\pi }}fT.$$
  
 
Mit $f = 10\,\text{kHz}$  und $T = 50\,\text{µs}$  erhält man daraus den Phasenwinkel $\pi /2$ entsprechend $\underline{90^{\circ}}$ .
 
Mit $f = 10\,\text{kHz}$  und $T = 50\,\text{µs}$  erhält man daraus den Phasenwinkel $\pi /2$ entsprechend $\underline{90^{\circ}}$ .

Version vom 16. Januar 2018, 10:12 Uhr

Rechteckimpuls und zugehöriges Spektrum

Betrachtet wird ein Rechteckimpuls $x(t)$ der Dauer $T = 50\,\text{µs}$ und der Höhe $A = 2\,\text{V}$. An den Sprungstellen bei $t = 0$ und $t = T$ ist der Signalwert jeweils $A/2$, was aber für die Lösung der Aufgabe keinen Einfluss hat.

In der unteren Grafik ist die dazugehörige Spektralfunktion nach Betrag und Phase qualitativ skizziert. Es gilt:

$$X( f ) = \left| {X( f )} \right| \cdot {\rm e}^{ - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \varphi ( f )} .$$

Der analytische Funktionsverlauf von $X(f)$ soll ermittelt werden.



Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Sonderfälle impulsartiger Signale.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  • Gegeben sind weiterhin folgende trigonometrischen Umformungen:
$$\sin ^2( \alpha ) = {1}/{2} \cdot \left( {1 - \cos ( {2\alpha } )} \right),\hspace{0.5cm} \tan( {\alpha /2} ) = \frac{ {1 - \cos ( \alpha )}}{ {\sin ( \alpha )}}.$$


Fragebogen

1

Berechnen Sie allgemein die Spektralfunktion $X(f)$. Welcher Wert ergibt sich bei der Frequenz $f=10\, \text{kHz})$?

${\rm Re}[X(f=10 \,\text{kHz})] \ = \ $

  $\text{mV/Hz}$
${\rm Re}[X(f=10\, \text{kHz})]\ = \ $

  $\text{mV/Hz}$

2

Berechnen Sie die Betragsfunktion $|X(f)|$ allgemein. Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen $f = 0$ und $f=20 \,\text{kHz})$?

$|X(f=0)|\ = \ $

  $\text{mV/Hz}$
$|X(f=20\, \text{kHz})|\ = \ $

  $\text{mV/Hz}$

3

Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich $|X(f)|$ zutreffend?

$|X(f)|$ hat Nullstellen bei Vielfachen von $f_0 = 1/T$.
$|X(f)|$ hat Nullstellen bei Vielfachen von $f_0 = 1/(2T)$.
In der Mitte zwischen zwei Nullstellen gilt $|X(f)| = |A/(\pi f)|$.

4

Berechnen Sie die Phasenfunktion $\varphi (f)$. Welcher Phasenwinkel (in Grad) ergibt sich bei der Frequenz $f=10\, \text{kHz}$?

$\varphi (f=10\, \text{kHz})\ = \ $

  $\text{Grad}$


Musterlösung

(1)  Mit der Abkürzung $\omega = 2\pi f$ lautet die Spektralfunktion gemäß dem ersten Fourierintegral:

$$X( f ) = \int_0^T {A \cdot {\rm{e}}^{-{\rm{j}}\omega t} \hspace{0.05cm}{\rm d}t = } \int_0^T {A \cdot \cos \left( {\omega t} \right)\hspace{0.05cm}{\rm d}t }\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm} {\rm{j}} \cdot \int_{\rm{0}}^T {A \cdot \sin ( {\omega t} )} \hspace{0.05cm}{\rm d}t.$$

Nach Integration und Einsetzen der Grenzen folgt daraus:

$${\mathop{\rm Re}\nolimits} [ {X( f )} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \sin( {\omega T} ),$$
$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( f)} ] = \frac{A}{\omega } \cdot \left( {\cos ( {\omega: T}) - 1} \right) = - \frac{A}{\omega } \cdot\left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right).$$

Für die Frequenz $f = 1/(2T) = 10\, \text{kHz}$   ⇒   $\omega \cdot T = \pi$ erhält man:

$${\mathop{\rm Re}\nolimits}[{X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}} )}] = \frac{A}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0},$$
$${\mathop{\rm Im}\nolimits} [ {X( {f = 10 \;{\rm{kHz}}})} ] = \frac{ { - A}}{ {2{\rm{\pi }}f}} \cdot \left( {1 - \cos ( {\rm{\pi }} )} \right) = - \frac{ { A}}{{ {\rm{\pi }}f}}\hspace{0.15 cm}\underline{= - 0.0637 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$

(2)  Das Betragsquadrat ist die Summe von Real- und Imaginärteil, jeweils quadriert:

$$\left| {X( f )} \right|^2 = \frac{ {A^2 }}{ {\omega ^2 }}\left[ {\sin ^2 ( {\omega T} ) + 1 - 2 \cdot \cos ( {\omega T}) + \cos ^2 ( {\omega T} )} \right].$$

Wegen $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ kann hierfür auch geschrieben werden:

$$\left| {X( f )} \right|^2 = \frac{ {2A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \left( {1 - \cos ( {\omega T} )} \right) = \frac{ {4A^2 }}{ {\omega ^2 }} \cdot \sin ^2( {\omega T/2} ).$$

Setzt man für $\omega = 2\pi f$ und zieht die Wurzel, so erhält man unter der Voraussetzung $A > 0$:

$$\left| {X( f )} \right| = \left| \frac{A}{ {\rm\pi }f} \cdot \sin ( {\rm \pi }fT ) \right| = A \cdot T \cdot \left| \frac{\sin ( {\rm\pi }fT )}{ {\rm \pi}fT} \right|.$$

Mit der Abkürzung $\text{si}(x) = \sin(x)/x$ lautet das Ergebnis:

$$\left| {X( f)} \right| = A \cdot T \cdot\left|{\rm si} ( { {\rm{\pi }}fT} ) \right|.$$

Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 1/T = 20$ kHz ergibt sich zu

$$\left| {X( {f = 20\;{\rm{kHz}}} )} \right| = \frac{ {A \cdot T}}{ {\rm{\pi }}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$

Bei der Berechnung des Spektralwertes für $f = 0$ erscheint der Quotient „0 durch 0”. Durch Anwendung der Regel von l'Hospital kann dieser Grenzwert berechnet werden:

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 } \frac{ {\sin \left( x \right)}}{x} = 1.$$

Daraus folgt:

$$\left| {X( {f = 0} )} \right| = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.1 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$

Dieses Ergebnis ist einsichtig, da nach dem ersten Fourierintegral der Spektralwert bei $f = 0$ genau der Fläche unter der Zeitfunktion entspricht.


Betragsspektrum des Rechteckimpulses

(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Entsprechend dem Ergebnis zur Teilaufgabe (2) treten die Nullstellen im Abstand $f_0 = 1/T$ auf. Bei $f_0 = 1/(2T) = f = 10 \;{\rm{kHz}}$ ist zwar der Realteil $0$, aber nicht der Imaginärteil.
  • Bei den Argumenten $f \cdot T = 0.5, 1.5, 2.5, ... $ ist die Sinusfunktion jeweils betragsmäßig gleich $1$, und es gilt:
$$\left| {X( f )} \right| = \frac{A}{ {{\rm{\pi }}\left| f \right|}} = X_{\rm S} ( f ).$$

Bei anderen Frequenzen dient $X_{\rm S}(f)$ als obere Schranke, d. h. es gilt stets ($|Xf)| \geq X_{\rm S}(f)$. In obiger Skizze ist diese Schranke zusätzlich zu $|X(f)|$ als violette Kurve eingezeichnet.


(4)  Nach der Definition auf der Angabenseite kann man die Phasenfunktion wie folgt berechnen:

$$\varphi ( f ) = - \arctan \frac{ { {\mathop{\rm Im}\nolimits} ( f )}}{ { {\mathop{\rm Re}\nolimits} ( f )}}.$$

Mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe (1) gilt somit:

$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\frac{ {1 - \cos ( {\omega T} )}}{ {\sin ( {\omega T} )}}} \right).$$

Das Argument dieser Funktion ist entsprechend der Angabe gleich $\tan(\omega T/2) = \tan(\pi fT)$. Daraus folgt ein mit der Frequenz linear ansteigender Verlauf:

$$\varphi ( f ) = \arctan \left( {\tan ( { {\rm{\pi }}fT} )} \right) = {\rm{\pi }}fT.$$

Mit $f = 10\,\text{kHz}$ und $T = 50\,\text{µs}$ erhält man daraus den Phasenwinkel $\pi /2$ entsprechend $\underline{90^{\circ}}$ .