Aufgabe 3.3: Summe zweier Schwingungen

Zwei verschiedene Besselspektren

Das äquivalente Tiefpass–Signal bei Phasenmodulation lautet

$$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$

wenn eine Normierung auf die Trägeramplitude vorgenommen wird ($A_{\rm T = 1}$). Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu $K_{PM} = \rm 1/V$ angenommen.

Die obere Grafik zeigt die dazugehörige Spektralfunktion $B_1(f)$, wenn das Quellensignal

$$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$

anliegt. Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit $η_1 = 0.9$ wie folgt:

$${\rm J}_0 (0.9) = 0.808 \approx 0.8,\hspace{1cm} {\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$

$${\rm J}_2 (0.9) = 0.095 \approx 0.1,\hspace{1cm} {\rm J}_3 (0.9) \approx {\rm J}_4 (0.9) \approx\ \text{ ...} \ \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$

Verwenden Sie zur Vereinfachung der Berechnungen die in der Skizze angegebenen Näherungswerte.

Die Besselfunktion $B_2(f)$ ergibt sich für das Quellensignal

$$q_2(t) = 0.65\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)$$

Die Zahlenwerte der Diraclinien erhält man hier aus folgender Angabe:

$${\rm J}_0 (0.65) = 0.897 \approx 0.9,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 (0.65) = 0.308 \approx 0.3, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 (0.65) = 0.051 \approx 0\hspace{0.05cm}.$$

Aus der Grafik ist zu erkennen, dass aufgrund des cosinusförmigen Quellensignals $q_2(t)$ und des cosinusförmigen Trägersignals $z(t)$ die Spektrallinien bei $±3 \ \rm kHz$ jeweils positiv–imaginär sind.

Im Rahmen dieser Aufgabe soll nun der Fall untersucht werden, dass das Quellensignal

$$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$$

am Eingang des Phasenmodulators anliegt. Zu erwähnen ist, dass $|q(t)| < q_{max} = 1.45 \ \rm V$ gilt. Dieser Maximalwert ist etwas kleiner als die Summe $A_1 + A_2$ der Einzelamplituden, wenn eine Sinus– und eine Cosinusfunktion mit den gegebenen Amplituden aufaddiert werden.

Im Fragebogen bezeichnen

$S_{\rm TP}(f)$ die Spektralfunktion des äquivalenten TP–Signals,
$S_+(f)$ die Spektralfunktionen des analytischem Signals,

jeweils unter der Annahme, dass $q(t) = q_1(t) + q_2(t)$ anliegt und die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ beträgt.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Phasenmodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation.
Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form.
Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das Interaktionsmodul Werte der Besselfunktion erster Art und n–ter Ordnung nutzen.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

	Die Ortskurve ist eine Ellipse.
	Die Ortskurve ist ein Kreis.
	Die Ortskurve ist näherungsweise ein Halbkreis.
	Die Ortskurve ist ein Kreisbogen, etwa mit Öffnungswinkel $90^\circ$.

$f_{\rm min} \ = \ $

$\ \rm kHz$

$f_{\rm max} \ = \ $

$\ \rm kHz$

${\rm Re}[S_{\rm TP}(f = 0)] \ = \ $

${\rm Im}[S_{\rm TP}(f = 0)] \ = \ $

${\rm Re}[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm kHz)] \ = \ $

${\rm Im}[S_{\rm TP}(f = 1 \ \rm kHz)] \ = \ $

${\rm Re}[S_{\rm +}(f = 98 \ \rm kHz)] \ = \ $

${\rm Im}[S_{\rm +}(f = 98 \ \rm kHz)] \ = \ $

Musterlösung

1.Bei Winkelmodulation bewegt sich der komplexe Zeiger $s_{TP}(t)$ stets auf einem Kreisbogen, dessen Öffnungswinkel $2 · K_{PM} · q_{max} = 2.9 (≈ π = 180 °)$ beträgt. Richtig ist somit die dritte Alternative.

2. Es gilt $S_{TP}(f) = B_1(f) ∗ B_2(f)$. Da $B_1(f)$ auf Frequenzen $|f| ≤ 2 kHz$ und $B_2(f)$ auf den Bereich $±3 kHz$ begrenzt sind, ist das Faltungsprodukt auf $|f| ≤ 5$ kHz beschränkt: $f_{min} = –5 kHz$, $f_{max} = 5 kHz$.

3.Das Faltungsprodukt für $f = 0$ ergibt sich durch Multiplikation von $B_1(f)$ mit $B_2(f)$ und anschließender Summation. Nur für $f = 0$ sind sowohl $B_1(f)$ als auch $B_2(f)$ von Null verschieden. Damit erhält man: $$ S_{\rm TP}(f = 0) = B_{1}(f = 0) \cdot B_{2}(f = 0)= 0.8 \cdot 0.9 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.72}\hspace{0.2cm}{\rm (rein \hspace{0.15cm} reell)} \hspace{0.05cm}.$$

4. Nun muss vor der Multiplikation und Summation noch eine Frequenzverschiebung von $B_2(f)$ nach rechts – oder von $B_1(f)$ nach links – um 1 kHz erfolgen. Somit erhält man: $$S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz}) = B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 3\,{\rm kHz}) +$$ $$ + B_{1}(f = 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0)=$$ $$ = 0.1 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 + 0.4 \cdot 0.9\hspace{0.15cm} = 0.36 + {\rm j} \cdot 0.03$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.36} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.03} \hspace{0.05cm}.$$

5. Die Diraclinie $S_+(f = 98 kHz)$ entspricht der $S_{TP}(f)$–Linie bei $f = –2 kHz$. Diese ist $$S_{\rm TP}(f = -2\,{\rm kHz}) = B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0) +$$ $$ + B_{1}(f = 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = -3\,{\rm kHz})=$$ $$= 0.1 \cdot 0.9 + 0.4 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}= 0.09 + {\rm j} \cdot 0.12$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12} \hspace{0.05cm}.$$