Aufgaben:Aufgabe 3.3: Entropie von Ternärgrößen: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID2754__Inf_A_3_3.png|right|Vorgegebene Entropiefunktionen]]
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Rechts sehen Sie die Entropiefunktionen $H_{\rm R}(p)$, $H_{\rm B}(p)$ und $H_{\rm G}(p)$, wobei „R” für „Rot” steht, „B” für „Blau” und „G” für „Grün” . Die Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten für alle Zufallsgrößen:
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Rechts sehen Sie die Entropiefunktionen  $H_{\rm R}(p)$,  $H_{\rm B}(p)$  und  $H_{\rm G}(p)$, wobei  $\rm R$  für „Rot” steht,  $\rm B$  für „Blau” und  $\rm G$  für „Grün”.  Die Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten für alle Zufallsgrößen:
:$$P_X(X) = [\hspace{0.05cm}p_1\hspace{0.05cm}, p_2\hspace{0.05cm}, p_3\hspace{0.05cm}]\hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} |X| = 3\hspace{0.05cm}.$$
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:$$P_X(X) = [\hspace{0.05cm}p_1\hspace{0.05cm},\ p_2\hspace{0.05cm},\ p_3\hspace{0.05cm}]\hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} |X| = 3\hspace{0.05cm}.$$
Es gilt der Zusammenhang $p_1 = p$ und $p_2 = 1 - p_3- p$.
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Für den Fragebogen gilt der Zusammenhang  $p_1 = p$  und  $p_2 = 1 - p_3- p$.
  
 
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsgröße
 
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsgröße
:$$X = \{\hspace{0.05cm}x_1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} x_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.1cm} ,\hspace{0.05cm} x_{\mu}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm} , \hspace{0.05cm} x_{M}\hspace{0.05cm}\}$$
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:$$X = \big \{\hspace{0.05cm}x_1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} x_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} \text{...}\hspace{0.1cm} ,\hspace{0.15cm} x_{\mu}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , \hspace{0.15cm} x_{M}\hspace{0.05cm}\big  \}$$
mit dem Symbolumfang $|X| = M$ lautet allgemein:
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mit dem Symbolumfang  $|X| = M$  lautet allgemein:
:$$P_X(X) = [\hspace{0.05cm}p_1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} p_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.1cm} ,\hspace{0.05cm} p_{\mu}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm} , \hspace{0.05cm} p_{M}\hspace{0.05cm}]\hspace{0.05cm}.$$
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:$$P_X(X) = [\hspace{0.05cm}p_1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} p_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.1cm} ,\hspace{0.15cm} p_{\mu}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm} , \hspace{0.15cm} p_{M}\hspace{0.05cm}]\hspace{0.05cm}.$$
 
Die Entropie (Unsicherheit) dieser Zufallsgröße berechnet sich entsprechend der Gleichung
 
Die Entropie (Unsicherheit) dieser Zufallsgröße berechnet sich entsprechend der Gleichung
:$$H(X) = {\rm E} \left [\log_2 \hspace{0.05cm} {1}/{P_X(X)} \right ]\hspace{0.05cm},$$
+
:$$H(X) = {\rm E} \big [\log_2 \hspace{0.05cm} {1}/{P_X(X)} \big ]\hspace{0.05cm},$$
und liegt stets im Bereich $0 \le H(X)  \le  \log_2 \hspace{0.05cm}  |X|$.  
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und liegt stets im Bereich  $0 \le H(X)  \le  \log_2 \hspace{0.05cm}  |X|$.  
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*Die untere Schranke  $H(X) = 0$  ergibt sich, wenn eine beliebige Wahrscheinlichkeit  $p_\mu = 1$  ist und alle anderen Null sind.
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*Die obere Schranke soll hier wie in der Vorlesung „Information Theory” von  [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._sc._techn._Gerhard_Kramer_.28seit_2010.29|Gerhard Kramer]]  an der TU München hergeleitet werden:
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[[Datei:P_ID2755__Inf_A_3_3_B_neu.png|right|frame|Obere Abschätzung für den natürlichen Logarithmus]]
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:* Durch Erweiterung obiger Gleichung um  $|X|$  in Zähler und Nenner erhält man unter Verwendung von  $\log_2 \hspace{0.05cm}x= \ln(x)/\ln(2)$:
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::$$H(X) = \frac{1}{{\rm ln}(2)}\cdot {\rm E} \left [{\rm ln} \hspace{0.1cm} \frac{1}{|X| \cdot P_X(X)} \right ] + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}|X| \hspace{0.05cm}.$$
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:* Wie aus nebenstehender Grafik hervorgeht, gilt die Abschätzung  $\ln(x) \le x-1$  mit der Identität für  $x=1$.  Somit kann geschrieben werden:
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::$$H(X) \le \frac{1}{{\rm ln}(2)}\cdot {\rm E} \left [\frac{1}{|X| \cdot P_X(X)} -1 \right ] + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}|X| \hspace{0.05cm}.$$
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:* In der  [[Aufgaben:3.2_Erwartungswertberechnungen|Aufgabe 3.2]]  wurde für den Fall  $p_\mu \ne 0$  für alle  $\mu$  der Erwartungswert  ${\rm E} \big [\log_2 \hspace{0.05cm} {1}/{P_X(X)} \big ] =|X|$  berechnet.  Damit verschwindet der erste Term und man erhält das bekannte Ergebnis:
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::$$H(X) \le {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}|X| \hspace{0.05cm}.$$
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Die untere Schranke $H(X) = 0$ ergibt sich, wenn eine beliebige Wahrscheinlichkeit $p_\mu = 1$ ist und alle anderen $0$ sind. Die obere Schranke soll hier wie in der Vorlesung „Information Theory” von [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._sc._techn._Gerhard_Kramer_.28seit_2010.29|Gerhard Kramer]] an der TU München hergeleitet werden:
 
[[Datei:P_ID2755__Inf_A_3_3_B_neu.png|right|Obere Abschätzung für den natürlichen Logarithmus]]
 
* Durch Erweiterung obiger Gleichung um $X|$ in Zähler und Nenner erhält man unter Verwendung von $\log_2 \hspace{0.05cm}x= \ln(x)/ln(2)$:
 
:$$H(X) = \frac{1}{{\rm ln}(2)}\cdot {\rm E} \left [{\rm ln} \hspace{0.1cm} \frac{1}{|X| \cdot P_X(X)} \right ] + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}|X| \hspace{0.05cm}.$$
 
* Wie aus nebenstehender Grafik hervorgeht, gilt die Abschätzung $\ln(x) \le x-1$ mit der Identität für $x=1$. Somit kann geschrieben werden:
 
:$$H(X) \le \frac{1}{{\rm ln}(2)}\cdot {\rm E} \left [\frac{1}{|X| \cdot P_X(X)} -1 \right ] + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}|X| \hspace{0.05cm}.$$
 
* In [[Aufgaben:3.2_Erwartungswertberechnungen|Aufgabe 3.2]] wurde für den Fall$p_\mu \ne 0$ für alle $\mu$ der Erwartungswert ${\rm E} [\log_2 \hspace{0.05cm} {1}/{P_X(X)}] =|X|$ berechnet. Damit verschwindet der erste Term und man erhält das bekannte Ergebnis:
 
:$$H(X) \le {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}|X| \hspace{0.05cm}.$$
 
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].
*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Entropie|Wahrscheinlichkeitsfunktion undEntropie]].
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*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite  [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Entropie|Wahrscheinlichkeitsfunktion undEntropie]].
*Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in [[Aufgaben:3.02_Erwartungswertberechnungen|Aufgabe 3.2]].
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*Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in der  [[Aufgaben:Aufgabe_3.2:_Erwartungswertberechnungen|Aufgabe 3.2]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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*Die Gleichung der binären Entropiefunktion lautet:
 
*Die Gleichung der binären Entropiefunktion lautet:
 
:$$H_{\rm bin}(p) =  p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p} +  
 
:$$H_{\rm bin}(p) =  p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p} +  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Welche Aussagen gelten für die rote Entropiefunktion $H_{\rm R}(p)$?
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{Welche Aussagen gelten für die rote Entropiefunktion&nbsp; $H_{\rm R}(p)$?
 
|type="[]"}
 
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+ $H_{\rm R}(p)$ ergibt sich z.B. mit $p_1 = p$, $p_2 = 1- p$  und $p_3 = 0$.
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+ $H_{\rm R}(p)$&nbsp; ergibt sich zum Beispiel mit &nbsp;$p_1 = p$, &nbsp;$p_2 = 1- p$  &nbsp;und&nbsp; $p_3 = 0$.
+ $H_{\rm R}(p)$ ist identisch mit der binären Entropiefunktion $H_{\rm bin}(p)$.
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+ $H_{\rm R}(p)$&nbsp; ist identisch mit der binären Entropiefunktion&nbsp; $H_{\rm bin}(p)$.
  
  
{Welche Eigenschaften weist die binäre Entropiefunktion $H_{\rm bin}(p)$auf?
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{Welche Eigenschaften weist die binäre Entropiefunktion&nbsp; $H_{\rm bin}(p)$&nbsp; auf?
 
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+ $H_{\rm bin}(p)$ ist konkav hinsichtlich des Parameters $p$.
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+ $H_{\rm bin}(p)$&nbsp; ist konkav hinsichtlich des Parameters&nbsp; $p$.
- Es gilt $\text {Max} [H_{\rm bin}(p)] = 2 \ \rm bit$.
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- Es gilt&nbsp; $\text {Max } [H_{\rm bin}(p)] = 2$&nbsp; bit.
  
  
{Welche Aussagen gelten für die blaue Entropiefunktion $H_{\rm B}(p)$?
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{Welche Aussagen gelten für die blaue Entropiefunktion&nbsp; $H_{\rm B}(p)$?
 
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+ <i>H</i><sub>B</sub>(<i>p</i>) ergibt sich beispielsweise  mit $p_1 = p$, $p_2 = 1/2- p$  und $p_3 = 1/2$.
+
+ $H_{\rm B}(p)$&nbsp; ergibt sich beispielsweise  mit &nbsp;$p_1 = p$, &nbsp;$p_2 = 1/2- p$  &nbsp;und&nbsp; $p_3 = 1/2$.
+ Es gilt $H_{\rm B}(p = 0)= 1 \ \rm bit.$
+
+ Es gilt&nbsp; $H_{\rm B}(p = 0)= 1$&nbsp; bit.  
- Es gilt Es gilt $\text {Max} [H_{\rm B}(p)] =  \log_2 \hspace{0.1cm} (3) \ \rm bit$.
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- Es gilt&nbsp; $\text {Max } [H_{\rm B}(p)] =  \log_2 \hspace{0.1cm} (3)$&nbsp; bit.
  
  
{Welche Aussagen gelten für die grüne Entropiefunktion $H_{\rm G}(p)$?
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{Welche Aussagen gelten für die grüne Entropiefunktion&nbsp; $H_{\rm G}(p)$?
 
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+ $H_{\rm G}(p)$ ergibt sich beispielsweise  mit $p_1 = p$, $p_2 = 2/3- p$  und $p_3 = 1/3$.
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+ $H_{\rm G}(p)$&nbsp; ergibt sich beispielsweise  mit &nbsp;$p_1 = p$, &nbsp;$p_2 = 2/3- p$  &nbsp;und&nbsp; $p_3 = 1/3$.
- Es gilt $H_{\rm G}(p = 0)= 1 \ \rm bit.$
+
- Es gilt&nbsp; $H_{\rm G}(p = 0)= 1$&nbsp; bit.
+ Es gilt $\text {Max} [H_{\rm G}(p)] =  \log_2 \hspace{0.1cm} (3) \ \rm bit$.
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+ Es gilt&nbsp; $\text {Max } [H_{\rm G}(p)] =  \log_2 \hspace{0.1cm} (3)$ bit.
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen sind richtig.</u> Setzt man <i>p</i><sub>3</sub> = 0 und formal <i>p</i><sub>1</sub> = <i>p</i> &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>p</i><sub>2</sub> = 1 &ndash; <i>p</i>, so ergibt sich die binäre Entropiefunktion
+
'''(1)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen sind richtig:</u>  
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*Setzt man &nbsp;$p_3 = 0$ und formal &nbsp;$p_1 = p$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &nbsp;$p_2 = 1- p$, so ergibt sich die binäre Entropiefunktion
 
:$$H_{\rm bin}(p) =  p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p} +  
 
:$$H_{\rm bin}(p) =  p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p} +  
 
  (1-p) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1-p} \hspace{0.05cm}.$$
 
  (1-p) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1-p} \hspace{0.05cm}.$$
  
'''(2)'''&nbsp; Man kann die binäre Entropiefunktion wegen log<sub>2</sub>(<i>x</i>) = ln(<i>x</i>)/ln(2) auch in die folgende Form bringen:
+
 
:$$H_{\rm bin}(p) = \frac{-1}{{\rm ln}(2)} \cdot \left [  p \cdot {\rm ln}(p)  +  
+
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist allein der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
  (1-p) \cdot {\rm ln}(1-p) \right ] \hspace{0.05cm}.$$
+
*Man kann die binäre Entropiefunktion wegen&nbsp; $\log(x) = \ln(x)/\ln(2)$&nbsp; auch in die folgende Form bringen:
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:$$H_{\rm bin}(p) = \frac{-1}{{\rm ln}(2)} \cdot \big [  p \cdot {\rm ln}(p)  +  
 +
  (1-p) \cdot {\rm ln}(1-p) \big ] \hspace{0.05cm}.$$
 
*Die erste Ableitung führt zum Ergebnis
 
*Die erste Ableitung führt zum Ergebnis
:$$\frac {{\rm d}H_{\rm bin}(p)}{{\rm d}p} = \frac{-1}{{\rm ln}(2)} \cdot \left [  {\rm ln}(p)  + p \cdot \frac{1}{p} -  
+
:$$\frac {{\rm d}H_{\rm bin}(p)}{{\rm d}p} = \frac{-1}{{\rm ln}(2)} \cdot \big [  {\rm ln}(p)  + p \cdot \frac{1}{p} -  
   {\rm ln}(1-p) - (1-p) \cdot \frac{1}{1-p} \right ] =
+
   {\rm ln}(1-p) - (1-p) \cdot \frac{1}{1-p} \big ] =
\frac{1}{{\rm ln}(2)} \cdot \left [ {\rm ln}(1-p) - {\rm ln}(p)  \right ] = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1-p}{p} \hspace{0.05cm}.$$
+
\frac{1}{{\rm ln}(2)} \cdot \big [ {\rm ln}(1-p) - {\rm ln}(p)  \big ] = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1-p}{p} \hspace{0.05cm}.$$
*Durch Nullsetzen dieser Ableitung erhält man den Abszissenwert <i>p</i> = 0.5, der zum Maximum der Entropiefunktion führt: <i>H</i><sub>bin</sub>(<i>p</i> = 0.5) = 1 bit &nbsp;&#8658;&nbsp; Lösungsvorschlag 2 ist falsch.
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*Durch Nullsetzen dieser Ableitung erhält man den Abszissenwert&nbsp; $p = 0.5$, der zum Maximum der Entropiefunktion führt: &nbsp; $H_{\rm bin}(p =0.5) = 1$ bit <br>&#8658; &nbsp; der Lösungsvorschlag 2 ist falsch.
 
*Durch nochmaliges Differenzieren erhält man für die zweite Ableitung:
 
*Durch nochmaliges Differenzieren erhält man für die zweite Ableitung:
 
:$$\frac {{\rm d}^2H_{\rm bin}(p)}{{\rm d}p^2} = \frac{1}{{\rm ln}(2)} \cdot \left
 
:$$\frac {{\rm d}^2H_{\rm bin}(p)}{{\rm d}p^2} = \frac{1}{{\rm ln}(2)} \cdot \left
 
  [  \frac{-1}{1-p}  - \frac{1}{p}    \right ] =
 
  [  \frac{-1}{1-p}  - \frac{1}{p}    \right ] =
 
\frac{-1}{{\rm ln}(2) \cdot p \cdot (1-p)}  \hspace{0.05cm}.$$
 
\frac{-1}{{\rm ln}(2) \cdot p \cdot (1-p)}  \hspace{0.05cm}.$$
*Diese Funktion ist im gesamten Definitionsgebiet 0 &#8804; <i>p</i> &#8804; 1 negativ &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>H</i><sub>bin</sub>(<i>p</i>) ist konkav &nbsp;&#8658;&nbsp; Richtig ist allein der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
+
*Diese Funktion ist im gesamten Definitionsgebiet&nbsp; $0 &#8804; p &#8804; 1$&nbsp; negativ &nbsp; &#8658; &nbsp; $H_{\rm bin}(p)$ ist konkav &nbsp; &#8658; &nbsp; der Lösungsvorschlag 1 ist richtig.
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[[Datei:P_ID2756__Inf_A_3_3_ML.png|right|Drei Entropiefunktionen mit <i>M</i> = 3]]
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[[Datei:P_ID2756__Inf_A_3_3_ML.png|right|frame|Drei Entropiefunktionen mit&nbsp; $M = 3$]]
 
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind hier die <u>Aussagen 1 und 2</u>:
 
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind hier die <u>Aussagen 1 und 2</u>:
* Für <i>p</i> = 0 erhält man die Wahrscheinlichkeitsfunktion <i>P<sub>X</sub></i>(<i>X</i>) = [0, 1/2, 1/2] &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>H</i>(<i>X</i>) = 1 bit.
+
* Für&nbsp; $p = 0$&nbsp; erhält man die Wahrscheinlichkeitsfunktion&nbsp; $P_X(X) = \big  [\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} 1/2\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} 1/2 \hspace{0.05cm} \big ]$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $H(X) = 1$&nbsp; bit.
* Das Maximum unter der Voraussetzung <i>p</i><sub>3</sub> = 1/2 ergibt sich für <i>p</i><sub>1</sub> = <i>p</i><sub>2</sub> = 1/4:
+
* Das Maximum unter der Voraussetzung&nbsp; $p_3 = 1/2$&nbsp; ergibt sich für&nbsp; $p_1 = p_2 = 1/4$:
:$$P_X(X) = [\hspace{0.05cm}1/4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1/4\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1/2 \hspace{0.05cm}]
+
:$$P_X(X) = \big  [\hspace{0.05cm}1/4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1/4\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1/2 \hspace{0.05cm} \big ]
 
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
{\rm Max} [H_{\rm B}(p)] = 1.5\,{\rm bit}
+
{\rm Max} \ [H_{\rm B}(p)] = 1.5 \ \rm bit
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
*In kompakter Form lässt sich <i>H</i><sub>B</sub>(<i>p</i>) mit der Einschränkung 0 &#8804; <i>p</i> &#8804; 1/2 wie folgt darstellen:
+
*In kompakter Form lässt sich&nbsp; $H_{\rm B}(p)$&nbsp; mit der Einschränkung&nbsp; $0 &#8804; p &#8804; 1/2$&nbsp; wie folgt darstellen:
 
:$$H_{\rm B}(p) = 1.0\,{\rm bit} + {1}/{2} \cdot H_{\rm bin}(2p)  
 
:$$H_{\rm B}(p) = 1.0\,{\rm bit} + {1}/{2} \cdot H_{\rm bin}(2p)  
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u> erste und letzte Aussage</u>:
+
 
* Der grüne Kurvenzug beinhaltet mit <i>p</i> = 1/3 auch die Gleichverteilung aller Wahrscheinlichkeiten &#8658; Max[<i>H</i><sub>G</sub>(<i>p</i>)] = log<sub>2</sub> (3) bit. Allgemein lässt sich der gesamte Kurvenverlauf im Bereich 0 &#8804; <i>p</i> &#8804; 2/3 wie folgt ausdrücken:
+
'''(4)'''&nbsp; Richtig sind hier die <u> erste und letzte Aussage</u>:
 +
* Der grüne Kurvenzug beinhaltet mit&nbsp; $p = 1/3$&nbsp; auch die Gleichverteilung aller Wahrscheinlichkeiten  
 +
:$$ {\rm Max} \ [H_{\rm G}(p)] = \log_2 (3)\ \text{bit}.$$
 +
*Allgemein lässt sich der gesamte Kurvenverlauf im Bereich&nbsp; $0 &#8804; p &#8804; 2/3$&nbsp; wie folgt ausdrücken:
 
:$$H_{\rm G}(p) = H_{\rm G}(p= 0) + {2}/{3} \cdot H_{\rm bin}(3p/2)  
 
:$$H_{\rm G}(p) = H_{\rm G}(p= 0) + {2}/{3} \cdot H_{\rm bin}(3p/2)  
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
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H_{\rm G}(p= 0) = 1.585 - 0.667 = 0.918 \,{\rm bit}
 
H_{\rm G}(p= 0) = 1.585 - 0.667 = 0.918 \,{\rm bit}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
*Der zweite Lösungsvorschlag 2 ist somit falsch. Zum gleichen Ergebnis gelangt man über die Gleichung
+
*Der zweite Lösungsvorschlag ist somit falsch.&nbsp; Zum gleichen Ergebnis gelangt man über die Gleichung
 
:$$H_{\rm G}(p = 0) = {1}/{3} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.01cm} (3)
 
:$$H_{\rm G}(p = 0) = {1}/{3} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.01cm} (3)
 
+{2}/{3} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.01cm} (3/2) = {\rm log}_2 \hspace{0.01cm} (3) -2/3 \cdot  
 
+{2}/{3} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.01cm} (3/2) = {\rm log}_2 \hspace{0.01cm} (3) -2/3 \cdot  

Version vom 30. Januar 2020, 15:46 Uhr

Vorgegebene Entropiefunktionen

Rechts sehen Sie die Entropiefunktionen  $H_{\rm R}(p)$,  $H_{\rm B}(p)$  und  $H_{\rm G}(p)$, wobei  $\rm R$  für „Rot” steht,  $\rm B$  für „Blau” und  $\rm G$  für „Grün”.  Die Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten für alle Zufallsgrößen:

$$P_X(X) = [\hspace{0.05cm}p_1\hspace{0.05cm},\ p_2\hspace{0.05cm},\ p_3\hspace{0.05cm}]\hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} |X| = 3\hspace{0.05cm}.$$

Für den Fragebogen gilt der Zusammenhang  $p_1 = p$  und  $p_2 = 1 - p_3- p$.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsgröße

$$X = \big \{\hspace{0.05cm}x_1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} x_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} \text{...}\hspace{0.1cm} ,\hspace{0.15cm} x_{\mu}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , \hspace{0.15cm} x_{M}\hspace{0.05cm}\big \}$$

mit dem Symbolumfang  $|X| = M$  lautet allgemein:

$$P_X(X) = [\hspace{0.05cm}p_1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} p_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.1cm} ,\hspace{0.15cm} p_{\mu}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm} , \hspace{0.15cm} p_{M}\hspace{0.05cm}]\hspace{0.05cm}.$$

Die Entropie (Unsicherheit) dieser Zufallsgröße berechnet sich entsprechend der Gleichung

$$H(X) = {\rm E} \big [\log_2 \hspace{0.05cm} {1}/{P_X(X)} \big ]\hspace{0.05cm},$$

und liegt stets im Bereich  $0 \le H(X) \le \log_2 \hspace{0.05cm} |X|$.

  • Die untere Schranke  $H(X) = 0$  ergibt sich, wenn eine beliebige Wahrscheinlichkeit  $p_\mu = 1$  ist und alle anderen Null sind.
  • Die obere Schranke soll hier wie in der Vorlesung „Information Theory” von  Gerhard Kramer  an der TU München hergeleitet werden:
Obere Abschätzung für den natürlichen Logarithmus
  • Durch Erweiterung obiger Gleichung um  $|X|$  in Zähler und Nenner erhält man unter Verwendung von  $\log_2 \hspace{0.05cm}x= \ln(x)/\ln(2)$:
$$H(X) = \frac{1}{{\rm ln}(2)}\cdot {\rm E} \left [{\rm ln} \hspace{0.1cm} \frac{1}{|X| \cdot P_X(X)} \right ] + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}|X| \hspace{0.05cm}.$$
  • Wie aus nebenstehender Grafik hervorgeht, gilt die Abschätzung  $\ln(x) \le x-1$  mit der Identität für  $x=1$.  Somit kann geschrieben werden:
$$H(X) \le \frac{1}{{\rm ln}(2)}\cdot {\rm E} \left [\frac{1}{|X| \cdot P_X(X)} -1 \right ] + {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}|X| \hspace{0.05cm}.$$
  • In der  Aufgabe 3.2  wurde für den Fall  $p_\mu \ne 0$  für alle  $\mu$  der Erwartungswert  ${\rm E} \big [\log_2 \hspace{0.05cm} {1}/{P_X(X)} \big ] =|X|$  berechnet.  Damit verschwindet der erste Term und man erhält das bekannte Ergebnis:
$$H(X) \le {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}|X| \hspace{0.05cm}.$$




Hinweise:

  • Die Gleichung der binären Entropiefunktion lautet:
$$H_{\rm bin}(p) = p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p} + (1-p) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1-p} \hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die rote Entropiefunktion  $H_{\rm R}(p)$?

$H_{\rm R}(p)$  ergibt sich zum Beispiel mit  $p_1 = p$,  $p_2 = 1- p$  und  $p_3 = 0$.
$H_{\rm R}(p)$  ist identisch mit der binären Entropiefunktion  $H_{\rm bin}(p)$.

2

Welche Eigenschaften weist die binäre Entropiefunktion  $H_{\rm bin}(p)$  auf?

$H_{\rm bin}(p)$  ist konkav hinsichtlich des Parameters  $p$.
Es gilt  $\text {Max } [H_{\rm bin}(p)] = 2$  bit.

3

Welche Aussagen gelten für die blaue Entropiefunktion  $H_{\rm B}(p)$?

$H_{\rm B}(p)$  ergibt sich beispielsweise mit  $p_1 = p$,  $p_2 = 1/2- p$  und  $p_3 = 1/2$.
Es gilt  $H_{\rm B}(p = 0)= 1$  bit.
Es gilt  $\text {Max } [H_{\rm B}(p)] = \log_2 \hspace{0.1cm} (3)$  bit.

4

Welche Aussagen gelten für die grüne Entropiefunktion  $H_{\rm G}(p)$?

$H_{\rm G}(p)$  ergibt sich beispielsweise mit  $p_1 = p$,  $p_2 = 2/3- p$  und  $p_3 = 1/3$.
Es gilt  $H_{\rm G}(p = 0)= 1$  bit.
Es gilt  $\text {Max } [H_{\rm G}(p)] = \log_2 \hspace{0.1cm} (3)$ bit.


Musterlösung

(1)  Beide Aussagen sind richtig:

  • Setzt man  $p_3 = 0$ und formal  $p_1 = p$   ⇒    $p_2 = 1- p$, so ergibt sich die binäre Entropiefunktion
$$H_{\rm bin}(p) = p \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p} + (1-p) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1-p} \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Richtig ist allein der Lösungsvorschlag 1:

  • Man kann die binäre Entropiefunktion wegen  $\log(x) = \ln(x)/\ln(2)$  auch in die folgende Form bringen:
$$H_{\rm bin}(p) = \frac{-1}{{\rm ln}(2)} \cdot \big [ p \cdot {\rm ln}(p) + (1-p) \cdot {\rm ln}(1-p) \big ] \hspace{0.05cm}.$$
  • Die erste Ableitung führt zum Ergebnis
$$\frac {{\rm d}H_{\rm bin}(p)}{{\rm d}p} = \frac{-1}{{\rm ln}(2)} \cdot \big [ {\rm ln}(p) + p \cdot \frac{1}{p} - {\rm ln}(1-p) - (1-p) \cdot \frac{1}{1-p} \big ] = \frac{1}{{\rm ln}(2)} \cdot \big [ {\rm ln}(1-p) - {\rm ln}(p) \big ] = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1-p}{p} \hspace{0.05cm}.$$
  • Durch Nullsetzen dieser Ableitung erhält man den Abszissenwert  $p = 0.5$, der zum Maximum der Entropiefunktion führt:   $H_{\rm bin}(p =0.5) = 1$ bit
    ⇒   der Lösungsvorschlag 2 ist falsch.
  • Durch nochmaliges Differenzieren erhält man für die zweite Ableitung:
$$\frac {{\rm d}^2H_{\rm bin}(p)}{{\rm d}p^2} = \frac{1}{{\rm ln}(2)} \cdot \left [ \frac{-1}{1-p} - \frac{1}{p} \right ] = \frac{-1}{{\rm ln}(2) \cdot p \cdot (1-p)} \hspace{0.05cm}.$$
  • Diese Funktion ist im gesamten Definitionsgebiet  $0 ≤ p ≤ 1$  negativ   ⇒   $H_{\rm bin}(p)$ ist konkav   ⇒   der Lösungsvorschlag 1 ist richtig.


Drei Entropiefunktionen mit  $M = 3$

(3)  Richtig sind hier die Aussagen 1 und 2:

  • Für  $p = 0$  erhält man die Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_X(X) = \big [\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} 1/2\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} 1/2 \hspace{0.05cm} \big ]$   ⇒   $H(X) = 1$  bit.
  • Das Maximum unter der Voraussetzung  $p_3 = 1/2$  ergibt sich für  $p_1 = p_2 = 1/4$:
$$P_X(X) = \big [\hspace{0.05cm}1/4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1/4\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1/2 \hspace{0.05cm} \big ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Max} \ [H_{\rm B}(p)] = 1.5 \ \rm bit \hspace{0.05cm}.$$
  • In kompakter Form lässt sich  $H_{\rm B}(p)$  mit der Einschränkung  $0 ≤ p ≤ 1/2$  wie folgt darstellen:
$$H_{\rm B}(p) = 1.0\,{\rm bit} + {1}/{2} \cdot H_{\rm bin}(2p) \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richtig sind hier die erste und letzte Aussage:

  • Der grüne Kurvenzug beinhaltet mit  $p = 1/3$  auch die Gleichverteilung aller Wahrscheinlichkeiten
$$ {\rm Max} \ [H_{\rm G}(p)] = \log_2 (3)\ \text{bit}.$$
  • Allgemein lässt sich der gesamte Kurvenverlauf im Bereich  $0 ≤ p ≤ 2/3$  wie folgt ausdrücken:
$$H_{\rm G}(p) = H_{\rm G}(p= 0) + {2}/{3} \cdot H_{\rm bin}(3p/2) \hspace{0.05cm}.$$
  • Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man auch, dass folgende Bedingung erfüllt sein muss:
$$H_{\rm G}(p = 0) + {2}/{3}= {\rm log}_2 \hspace{0.01cm} (3) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm G}(p= 0) = 1.585 - 0.667 = 0.918 \,{\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$
  • Der zweite Lösungsvorschlag ist somit falsch.  Zum gleichen Ergebnis gelangt man über die Gleichung
$$H_{\rm G}(p = 0) = {1}/{3} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.01cm} (3) +{2}/{3} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.01cm} (3/2) = {\rm log}_2 \hspace{0.01cm} (3) -2/3 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.01cm} (2) \hspace{0.05cm}.$$