Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: si-Quadrat-Spektrum mit Diracs: Unterschied zwischen den Versionen

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Das skizzierte Spektrum ${X(f)}$ eines Zeitsignals ${x(t)}$ setzt sich zusammen aus
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Das skizzierte Spektrum  ${X(f)}$  eines Zeitsignals  ${x(t)}$  setzt sich zusammen aus
  
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* einem kontinuierlichen Anteil  $X_1(f)$,
  
:* dazu drei diracförmigen Spektrallinien.
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* dazu drei diracförmigen Spektrallinien.
  
Der kontinuierliche Anteil lautet mit $f_0 = 200\, \text{kHz}$ und $X_0 = 10^{–5} \text{V/Hz}$:
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Der kontinuierliche Anteil lautet mit  $f_0 = 200\, \text{kHz}$  und  $X_0 = 10^{–5} \text{ V/Hz}$:
 
:$$X_1( f ) = X_0  \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {\pi {f}/{f_0}} ),\quad {\rm wobei}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits} (x) = {\sin (x)}/{x}.$$
 
:$$X_1( f ) = X_0  \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {\pi {f}/{f_0}} ),\quad {\rm wobei}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits} (x) = {\sin (x)}/{x}.$$
Die Spektrallinie bei $f = 0$ hat das Gewicht $–\hspace{-0.08cm}1\,\text{V}$. Daneben gibt es noch zwei Linien bei den Frequenzen $\pm f_0$, beide mit dem Gewicht $0.5\,\text{V}$.
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Die Spektrallinie bei  $f = 0$  hat das Gewicht  $–\hspace{-0.08cm}1\,\text{V}$.  Daneben gibt es noch zwei Linien bei den Frequenzen  $\pm f_0$, beide mit dem Gewicht  $0.5\,\text{V}$.
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und -rücktransformation]].
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation|Fouriertransformation und –rücktransformation]].
*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo [[Unterschiede und Gemeinsamkeiten von kontinuierlichen und diskreten Spektren]].
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*Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo  [[Kontinuierliche_und_diskrete_Spektren_(Lernvideo)|Kontinuierliche und diskrete Spektren]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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*Als bekannt vorausgesetzt werden kann, dass ein um $t = 0$ symmetrischer Dreieckimpuls $\text{y(t)}$ mit der Amplitude ${A}$ und der absoluten Dauer $2T$ (das heißt: die Signalwerte sind nur zwischen $–T$ und $+T$ ungleich $0$) folgende Spektralfunktion besitzt:
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*Als bekannt vorausgesetzt werden kann, dass ein um  $t = 0$  symmetrischer Dreieckimpuls  $y(t)$  mit der Amplitude  ${A}$  und der absoluten Dauer  $2T$  $($das heißt:  die Signalwerte sind nur zwischen  $–T$  und  $+T$  ungleich $0)$  folgende Spektralfunktion besitzt:
 
:$$Y( f ) = A  \cdot T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T ).$$
 
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{Welche Werte besitzen die Parameter $\text{A}$ (Amplitude) und $\text{T}$ (einseitige Dauer) des dreieckförmigen Signalanteils $x_1(t)$?
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{Wie groß ist die Amplitude&nbsp; $C$&nbsp; des periodischen Anteils von&nbsp; $x(t)$?
 
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$C$ = { 1 3% } $\text{V}$
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$C\ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
  
  
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{Wie groß sind der Maximalwert und der Minimalwert des Signals&nbsp; $x(t)$?
 
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$x_\text{max}$ = { 2 3% } $\text{V}$
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$x_\text{min}\hspace{0.2cm} = \ $ { -2.06--1.94 } &nbsp;$\text{V}$
  
  
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'''1.'''  Die einseitige Dauer des symmetrischen Dreieckimpulses beträgt $T = 1/f_0 = 5 \mu s$. Der Spektralwert $X_0 = X_1(f = 0)$ gibt die Impulsfläche von $x_1(t)$ an; diese ist $\text{A} \cdot \text{T}$. Daraus folgt:
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'''(1)'''&nbsp; Die einseitige Dauer des symmetrischen Dreieckimpulses beträgt&nbsp; $T = 1/f_0\hspace{0.15 cm}\underline{ = 5 \,{\rm &micro; s}}$.  
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*Der Spektralwert&nbsp; $X_0 = X_1(f = 0)$&nbsp; gibt die Impulsfläche von&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; an.
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*Diese ist gleich&nbsp; ${A} \cdot {T}$.&nbsp; Daraus folgt:
 
:$$A = \frac{X_0 }{T}  = \frac{ 10^{-5}\rm V/Hz }{5 \cdot 10^{-6}{\rm s}}\hspace{0.15 cm}\underline{= 2\;{\rm V}}.$$
 
:$$A = \frac{X_0 }{T}  = \frac{ 10^{-5}\rm V/Hz }{5 \cdot 10^{-6}{\rm s}}\hspace{0.15 cm}\underline{= 2\;{\rm V}}.$$
  
'''2.'''  Der Gleichsignalanteil ist durch das Gewicht des Diracs bei der Frequenz $f = 0$ gegeben. Man erhält $\text{B} \underline{= –1 \text{V}}$.
 
  
'''3.'''  Die beiden Spektrallinien bei $\pm f_0$ ergeben zusammen ein Cosinussignal mit der Amplitude $\text{C} \underline{= 1 \text{V}}$.
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'''(2)'''&nbsp;  Der Gleichsignalanteil ist durch das Diracgewicht bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; gegeben.&nbsp; Man erhält&nbsp; ${B} \hspace{0.15 cm}\underline{= -1 \,\text{V}}$.
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'''(3)'''&nbsp; Die beiden Spektrallinien bei&nbsp; $\pm f_0$&nbsp; ergeben zusammen ein Cosinussignal mit der Amplitude&nbsp; ${C} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1 \text{V}}$.
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'''(4)'''&nbsp;  Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt&nbsp; ${t} = 0$&nbsp; auf&nbsp; (hier sind Dreieckimpuls und Cosinussignal maximal):
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:$$x_{\text{max}} = A + B + C \hspace{0.15 cm}\underline{= +2 \text{V}}.$$  
  
'''4.'''  Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt $\text{t} = 0$ auf (Dreieckimpuls und Cosinussignal maximal) und beträgt $x_\text{max} \underline{= \text{A} + \text{B} + \text{C} = 2 \text{V}}$. Die minimalen Werte von $\text{x(t)}$ ergeben sich, wenn der Dreieckimpuls abgeklungen ist und die Cosinusfunktion den Wert $–1$ liefert: $x_\text{min} \underline{= \text{B} \text{C} = –2 \text{V}}$.
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*Die minimalen Werte von&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; ergeben sich dann, wenn der Dreieckimpuls abgeklungen ist und die Cosinusfunktion den Wert&nbsp; $–\hspace{-0.08 cm}1 \,\text{V}$&nbsp; liefert:  
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:$$x_\text{min} = {B} - {C}\hspace{0.15 cm}\underline{ = -2\, \text{V}}.$$
 
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Aktuelle Version vom 21. April 2021, 15:37 Uhr

$\rm si^2$–Spektrum mit Diracs

Das skizzierte Spektrum  ${X(f)}$  eines Zeitsignals  ${x(t)}$  setzt sich zusammen aus

  • einem kontinuierlichen Anteil  $X_1(f)$,
  • dazu drei diracförmigen Spektrallinien.


Der kontinuierliche Anteil lautet mit  $f_0 = 200\, \text{kHz}$  und  $X_0 = 10^{–5} \text{ V/Hz}$:

$$X_1( f ) = X_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {\pi {f}/{f_0}} ),\quad {\rm wobei}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits} (x) = {\sin (x)}/{x}.$$

Die Spektrallinie bei  $f = 0$  hat das Gewicht  $–\hspace{-0.08cm}1\,\text{V}$.  Daneben gibt es noch zwei Linien bei den Frequenzen  $\pm f_0$, beide mit dem Gewicht  $0.5\,\text{V}$.




Hinweise:

  • Als bekannt vorausgesetzt werden kann, dass ein um  $t = 0$  symmetrischer Dreieckimpuls  $y(t)$  mit der Amplitude  ${A}$  und der absoluten Dauer  $2T$  $($das heißt:  die Signalwerte sind nur zwischen  $–T$  und  $+T$  ungleich $0)$  folgende Spektralfunktion besitzt:
$$Y( f ) = A \cdot T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T ).$$


Fragebogen

1

Welche Werte besitzen die Parameter  ${A}$  (Amplitude) und  ${T}$  (einseitige Dauer) des dreieckförmigen Signalanteils  $x_1(t)$?

$A\ = \ $

 $\text{V}$
$T\ = \ $

 $\text{$µ$s}$

2

Wie groß ist der Gleichsignalanteil  ${B}$  des Signals?

$B\ = \ $

 $\text{V}$

3

Wie groß ist die Amplitude  $C$  des periodischen Anteils von  $x(t)$?

$C\ = \ $

 $\text{V}$

4

Wie groß sind der Maximalwert und der Minimalwert des Signals  $x(t)$?

$x_\text{max}\ = \ $

 $\text{V}$
$x_\text{min}\hspace{0.2cm} = \ $

 $\text{V}$


Musterlösung

Fläche des Dreieckimpulses

(1)  Die einseitige Dauer des symmetrischen Dreieckimpulses beträgt  $T = 1/f_0\hspace{0.15 cm}\underline{ = 5 \,{\rm µ s}}$.

  • Der Spektralwert  $X_0 = X_1(f = 0)$  gibt die Impulsfläche von  $x_1(t)$  an.
  • Diese ist gleich  ${A} \cdot {T}$.  Daraus folgt:
$$A = \frac{X_0 }{T} = \frac{ 10^{-5}\rm V/Hz }{5 \cdot 10^{-6}{\rm s}}\hspace{0.15 cm}\underline{= 2\;{\rm V}}.$$


(2)  Der Gleichsignalanteil ist durch das Diracgewicht bei  $f = 0$  gegeben.  Man erhält  ${B} \hspace{0.15 cm}\underline{= -1 \,\text{V}}$.


(3)  Die beiden Spektrallinien bei  $\pm f_0$  ergeben zusammen ein Cosinussignal mit der Amplitude  ${C} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1 \text{V}}$.


(4)  Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt  ${t} = 0$  auf  (hier sind Dreieckimpuls und Cosinussignal maximal):

$$x_{\text{max}} = A + B + C \hspace{0.15 cm}\underline{= +2 \text{V}}.$$
  • Die minimalen Werte von  ${x(t)}$  ergeben sich dann, wenn der Dreieckimpuls abgeklungen ist und die Cosinusfunktion den Wert  $–\hspace{-0.08 cm}1 \,\text{V}$  liefert:
$$x_\text{min} = {B} - {C}\hspace{0.15 cm}\underline{ = -2\, \text{V}}.$$