Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: si-Quadrat-Spektrum mit Diracs: Unterschied zwischen den Versionen

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:* dazu drei diracförmigen Spektrallinien.
 
:* dazu drei diracförmigen Spektrallinien.
  
Der kontinuierliche Anteil lautet mit $f_0 = 200\, \text{kHz}$ und $X_0 = 10–5 \text{V/Hz}$:
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Der kontinuierliche Anteil lautet mit $f_0 = 200\, \text{kHz}$ und $X_0 = 10^{–5} \text{V/Hz}$:
:$$X_1( f ) = X_0  \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {\pi \frac{f}{f_0}} ),\quad \\{\rm wobei}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits} (x) = \frac{\sin (x)}{x}.$$
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:$$X_1( f ) = X_0  \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {\pi {f}/{f_0}} ),\quad {\rm wobei}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits} (x) = {\sin (x)}/{x}.$$
Die Spektrallinie bei $f = 0$ hat das Gewicht $–1V$. Daneben gibt es noch zwei Linien bei den Frequenzen $\pm f_0$, beide mit dem Gewicht $0.5 V$.
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Die Spektrallinie bei $f = 0$ hat das Gewicht $–\hspace{-0.08cm}1\,\text{V}$. Daneben gibt es noch zwei Linien bei den Frequenzen $\pm f_0$, beide mit dem Gewicht $0.5\,\text{V}$.
  
 
<b>Hinweis:</b> Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation Kapitel 3.1]. Als bekannt vorausgesetzt werden kann, dass ein um $t = 0$ symmetrischer Dreieckimpuls $\text{y(t)}$ mit der Amplitude $\text{A}$ und der absoluten Dauer $2T$ (das heißt: die Signalwerte sind nur zwischen $–T$ und $+T$ ungleich $0$) folgende Spektralfunktion besitzt:
 
<b>Hinweis:</b> Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation Kapitel 3.1]. Als bekannt vorausgesetzt werden kann, dass ein um $t = 0$ symmetrischer Dreieckimpuls $\text{y(t)}$ mit der Amplitude $\text{A}$ und der absoluten Dauer $2T$ (das heißt: die Signalwerte sind nur zwischen $–T$ und $+T$ ungleich $0$) folgende Spektralfunktion besitzt:

Version vom 16. Januar 2017, 17:12 Uhr

si-Quadrat-Spektrum mit Diracs

Das skizzierte Spektrum ${X(f)}$ eines Zeitsignals ${x(t)}$ setzt sich zusammen aus

  • einem kontinuierlichen Anteil $X_1(f)$,
  • dazu drei diracförmigen Spektrallinien.

Der kontinuierliche Anteil lautet mit $f_0 = 200\, \text{kHz}$ und $X_0 = 10^{–5} \text{V/Hz}$:

$$X_1( f ) = X_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {\pi {f}/{f_0}} ),\quad {\rm wobei}\quad {\mathop{\rm si}\nolimits} (x) = {\sin (x)}/{x}.$$

Die Spektrallinie bei $f = 0$ hat das Gewicht $–\hspace{-0.08cm}1\,\text{V}$. Daneben gibt es noch zwei Linien bei den Frequenzen $\pm f_0$, beide mit dem Gewicht $0.5\,\text{V}$.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.1. Als bekannt vorausgesetzt werden kann, dass ein um $t = 0$ symmetrischer Dreieckimpuls $\text{y(t)}$ mit der Amplitude $\text{A}$ und der absoluten Dauer $2T$ (das heißt: die Signalwerte sind nur zwischen $–T$ und $+T$ ungleich $0$) folgende Spektralfunktion besitzt:

$$Y( f ) = A \cdot T \cdot {\rm si}^2 ( \pi f T ).$$

Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das folgende Lernvideo:

Unterschiede und Gemeinsamkeiten von kontinuierlichen und diskreten Spektren


Fragebogen

1

Welche Werte besitzen die Parameter $\text{A}$ (Amplitude) und $\text{T}$ (einseitige Dauer) des dreieckförmigen Signalanteils $x_1(t)$?

$A$ =

$\text{V}$
$T$ =

$\text{$\mu$s}$

2

Wie groß ist der Gleichsignalanteil $\text{B}$ des Signals?

$B$ = $-$

$\text{V}$

3

Wie groß ist die Amplitude C des periodischen Anteils von x(t)?

$C$ =

$\text{V}$

4

Wie groß sind der Maximalwert und der Minimalwert des Signals $\text{x(t)}$?

$x_\text{max}$ =

$\text{V}$
$x_\text{min}$ = $-$

$\text{V}$


Musterlösung

P ID498 Sig Z 3 2 a neu.png

1. Die einseitige Dauer des symmetrischen Dreieckimpulses beträgt $T = 1/f_0 = 5 \mu s$. Der Spektralwert $X_0 = X_1(f = 0)$ gibt die Impulsfläche von $x_1(t)$ an; diese ist $\text{A} \cdot \text{T}$. Daraus folgt:

$$A = \frac{X_0 }{T} = \frac{ 10^{-5}\rm V/Hz }{5 \cdot 10^{-6}{\rm s}}\hspace{0.15 cm}\underline{= 2\;{\rm V}}.$$

2. Der Gleichsignalanteil ist durch das Gewicht des Diracs bei der Frequenz $f = 0$ gegeben. Man erhält $\text{B} \underline{= –1 \text{V}}$.

3. Die beiden Spektrallinien bei $\pm f_0$ ergeben zusammen ein Cosinussignal mit der Amplitude $\text{C} \underline{= 1 \text{V}}$.

4. Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt $\text{t} = 0$ auf (Dreieckimpuls und Cosinussignal maximal) und beträgt $x_\text{max} \underline{= \text{A} + \text{B} + \text{C} = 2 \text{V}}$. Die minimalen Werte von $\text{x(t)}$ ergeben sich, wenn der Dreieckimpuls abgeklungen ist und die Cosinusfunktion den Wert $–1$ liefert: $x_\text{min} \underline{= \text{B} – \text{C} = –2 \text{V}}$.