Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: Zusammenhang zwischen WDF und VTF: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID117__Sto_Z_3_2.png|right|]]
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:Gegeben ist die Zufallsgröße $x$ mit der Verteilungsfunktion
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Gegeben ist die Zufallsgröße  $x$  mit der Verteilungsfunktion
 
:$$ F_x(r)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} 0.25\cdot {\rm e}^{2\it r}  &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}\it r<\rm 0, \\ 1-0.25\cdot {\rm e}^{-2\it r} & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}\it r\ge\rm 0.  \\\end{array}\right.$$
 
:$$ F_x(r)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} 0.25\cdot {\rm e}^{2\it r}  &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}\it r<\rm 0, \\ 1-0.25\cdot {\rm e}^{-2\it r} & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}\it r\ge\rm 0.  \\\end{array}\right.$$
  
:Diese Funktion ist rechts dargestellt. Es ist zu erkennen, dass an der Sprungstelle $r = 0$ der rechtsseitige Grenzwert g&uuml;ltig ist.
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*Diese Funktion ist rechts dargestellt.  
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*Es ist zu erkennen, dass an der Sprungstelle&nbsp; $r = 0$&nbsp; der rechtsseitige Grenzwert g&uuml;ltig ist.
  
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:<b>Hinweis</b>: Diese Aufgabe bezieht sich auf den gesamten Inhalt von Kapitel 3.1 und Kapitel 3.2.
 
  
:Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das folgende Lernvideo:
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]].
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*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].
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*Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das Lernvideo&nbsp; [[Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF_(Lernvideo)|Zusammenhang zwischen WDF und VTF]].
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{Welche Eigenschaften einer Verteilungsfunktion (VTF) gelten allgemein, also nicht nur bei diesem konkreten Beispiel?
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{Welche Eigenschaften einer Verteilungsfunktion (VTF) gelten, wenn die Zufallsgröße beidseitig unbegrenzt ist?
 
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+ Die VTF steigt von 0 auf 1 zumindest schwach monoton an.
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+ Die VTF steigt von&nbsp; $0$&nbsp; auf&nbsp; $1$&nbsp; zumindest schwach monoton an.
- Die <i>F<sub>x</sub></i>(<i>r</i>)-Werte 0 und 1 sind f&uuml;r endliche <i>r</i>-Werte möglich.
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- Die&nbsp; $F_x(r)$&ndash;Werte&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; sind f&uuml;r endliche&nbsp; $r$&ndash;Werte möglich.
 
+ Ein horizontaler Abschnitt weist darauf hin, dass in diesem Bereich die Zufallsgr&ouml;&szlig;e keine Anteile besitzt.
 
+ Ein horizontaler Abschnitt weist darauf hin, dass in diesem Bereich die Zufallsgr&ouml;&szlig;e keine Anteile besitzt.
 
+Vertikale Abschnitte sind m&ouml;glich.
 
+Vertikale Abschnitte sind m&ouml;glich.
  
  
{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass <i>x</i> positiv ist?
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{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; positiv ist?
 
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$Pr(x > 0)$ = { 0.25 3% }
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${\rm Pr}(x > 0) \ = \ $ { 0.25 3% }
  
  
{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass |<i>x</i>| gr&ouml;&szlig;er ist als 0.5?
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{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}|$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er ist als&nbsp; $0.5$?
 
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$Pr (|x| > 0.5)$ = { 0.184 3% }
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${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| > 0.5) \ =  \ $ { 0.184 3% }
  
  
{Geben Sie die zugeh&ouml;rige WDF <i>f<sub>x</sub></i>(<i>x</i>) allgemein und den Wert für <i>x</i> = 1 an.
+
{Geben Sie die zugeh&ouml;rige WDF&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; allgemein an und den Wert für&nbsp; $x = 1$.
 
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$f_x(x\ =\ 1)$ = { 0.0677 3% }
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$f_x(x =1)\ = \ $ { 0.0677 3% }
  
  
{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeiten, dass <i>x</i> genau gleich 1 ist?
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{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; genau gleich&nbsp; $1$&nbsp; ist?
 
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$Pr(x = 1)$= { 0 3% }
+
${\rm Pr}(x = 1)\ =  \ $ { 0. }
  
  
{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeiten, dass <i>x</i> genau gleich 0 ist?
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{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; genau gleich&nbsp; $0$&nbsp; ist?
 
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$Pr(x = 0)$ = { 0.5 3% }
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${\rm Pr}(x = 0)\ =  \ $ { 0.5 3% }
  
  
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===Musterlösung===
 
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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Die <u>Aussagen 1, 3 und 4</u> sind immer richtig. Ist jedoch <i>x</i> auf den Bereich von <i>x</i><sub>min</sub> bis <i>x</i><sub>max</sub> begrenzt, so ist <i>F<sub>x</sub></i>(<i>r</i>) = 0 f&uuml;r <i>r</i> < <i>x</i><sub>min</sub> und <i>F<sub>x</sub></i>(<i>r</i>) = 1 f&uuml;r <i>r</i> > <i>x</i><sub>max</sub>. In diesem Sonderfall w&auml;re auch die Aussage 2 zutreffend.
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'''(1)'''&nbsp; Die <u>Aussagen 1, 3 und 4</u> sind immer richtig:
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*Ein horizontaler Abschnitt in der VTF weist darauf hin, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e in diesem Bereich keine Werte besitzt.  
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*Dagegen weist ein vertikaler Abschnitt in der VTF auf eine Diracfunktion in der WDF&nbsp; $($an gleicher Stelle&nbsp; $x_0)$&nbsp; hin.
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*Dies bedeutet, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e den Wert&nbsp; $x_0$&nbsp; sehr h&auml;ufig annimmt, n&auml;mlich mit endlicher Wahrscheinlichkeit.
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*Alle anderen Werte treten exakt mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $0$&nbsp; auf.
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*Ist jedoch&nbsp; $x$&nbsp; auf den Bereich von&nbsp; $x_{\rm min}$&nbsp; bis&nbsp; $x_{\rm max}$&nbsp; begrenzt, so ist&nbsp; $F_x(r) = 0$ &nbsp;f&uuml;r&nbsp; $r < x_{\rm min}$&nbsp; und&nbsp; $F_x(r) = 1$ &nbsp;f&uuml;r&nbsp;  $r > x_{\rm max}$.  
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*In diesem Sonderfall w&auml;re auch die zweite Aussage zutreffend.
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:Ein horizontaler Abschnitt in der VTF weist darauf hin, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e in diesem Bereich keine Werte besitzt. Dagegen weist ein vertikaler Abschnitt in der VTF auf eine Diracfunktion in der WDF (an gleicher Stelle <i>x</i><sub>0</sub>) hin. Dies bedeutet, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e den Wert <i>x</i><sub>0</sub> sehr h&auml;ufig annimmt, n&auml;mlich mit endlicher Wahrscheinlichkeit. Alle anderen Werte treten exakt mit der Wahrscheinlichkeit 0 auf.
 
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann man aus der Differenz der VTF-Werte an den Grenzen berechnen:
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'''(2)'''&nbsp; Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann man aus der Differenz der VTF&ndash;Werte an den Grenzen berechnen:
:$$\rm Pr(\it x>\rm 0)=\it F_x(\infty)-\it F_x(\rm 0)
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:$${\rm Pr}( x> 0)=  F_x(\infty)-  F_x(\rm 0)
 
\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.25}.$$
 
\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.25}.$$
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;F&uuml;r die Wahrscheinlichkeit, dass <i>x</i> gr&ouml;&szlig;er als 0.5 ist, gilt:
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:$$\rm Pr(\it x>\rm 0.5)=1- \it F_x(\rm 0.5)=\rm 0.25\cdot e^{-1}
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'''(3)'''&nbsp; F&uuml;r die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $0.5$&nbsp; ist, gilt:
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:$${\rm Pr}(x> 0.5)=1-  F_x(0.5)=\rm 0.25\cdot e^{-1}
 
\hspace{0.15cm}{\approx0.092}. $$
 
\hspace{0.15cm}{\approx0.092}. $$
  
:Aus Symmetriegr&uuml;nden ist Pr(<i>x</i> < &ndash;0.5) genauso gro&szlig;. Daraus folgt:
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*Aus Symmetriegr&uuml;nden ist&nbsp; ${\rm Pr}(x<- 0.5)$&nbsp; genauso gro&szlig;. Daraus folgt:
:$$\rm Pr( |\it x| >\rm 0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.184}.$$
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:$${\rm Pr}( |\hspace{0.05cm} x\hspace{0.05cm}| >\rm 0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.184}.$$
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[[Datei: P_ID116__Sto_Z_3_2_c.png|right|frame|WDF der Laplace-Verteilung]]
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'''(4)'''&nbsp; Die WDF erh&auml;lt man aus der zugeh&ouml;rigen VTF durch Differenzieren der zwei Bereiche.
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*Es ergibt sich eine zweiseitige Exponentialfunktion sowie eine Diracfunktion bei&nbsp; $x = 0$&nbsp;:
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:$$f_x(x)=\rm 0.5\cdot \rm e^{-2\cdot |\hspace{0.05cm}\it x\hspace{0.05cm}|} + \rm 0.5\cdot\delta(\it x).$$
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*Der gesuchte Zahlenwert ist&nbsp; $f_x(x = 1)\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0677}$.
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<i>Hinweis:</i> &nbsp; Die zweiseitige Exponentialverteilung nennt man auch &bdquo;Laplaceverteilung&rdquo;.
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'''(5)'''&nbsp; Im Bereich um&nbsp; $1$&nbsp; beschreibt&nbsp; $x$&nbsp; eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
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*Die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp;  exakt den Wert&nbsp; $1$&nbsp; aufweist, ist deshalb&nbsp; ${\rm Pr}(x = 1)\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0}.$
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Die WDF erh&auml;lt man aus der zugeh&ouml;rigen VTF durch Differenzieren der zwei Bereiche. Es ergibt sich eine zweiseitige Exponentialfunktion sowie eine Diracfunktion bei <i>x</i> = 0:
 
[[Datei: P_ID116__Sto_Z_3_2_c.png|right|]]
 
:$$f_x(x)=\rm 0.5\cdot \rm e^{-2\cdot |\it x|} + \rm 0.5\cdot\delta(\it x).$$
 
  
:F&uuml;r <i>x</i> = 1 ergibt sich der Zahlenwert <u>0.0677</u>.
 
  
:<br><i>Hinweis.</i> Für die zweiseitige Exponentialverteilung ist der Begriff &bdquo;Laplaceverteilung&rdquo; gebräuchlich.
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'''(6)'''&nbsp; In&nbsp; $50\%$&nbsp; der Zeit wird&nbsp; $x = 0$&nbsp; gelten: &nbsp; ${\rm Pr}(x = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.5}.$
  
:<br><b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Im Bereich um 1 beschreibt <i>x</i> eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e. Die Wahrscheinlichkeit, dass <i>x</i> exakt den Wert 1 aufweist, ist deshalb <u>0</u>.
 
  
:<b>6.</b>&nbsp;&nbsp;In 50% der Zeit wird <i>x</i> = 0 gelten: <u>Pr(<i>x</i> = 0) = 0.5</u>. <i>Hinweis</i>: Die WDF eines Sprachsignals wird h&auml;ufig durch eine zweiseitige Exponentialfunktion beschrieben (siehe Lernvideo zu Kap. 3.1). Die Diracfunktion bei <i>x</i> = 0 ber&uuml;cksichtigt vor allem Sprachpausen &ndash; hier in 50% aller Zeiten.
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<i>Hinweise:</i>  
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*Die WDF eines Sprachsignals wird h&auml;ufig durch eine zweiseitige Exponentialfunktion beschrieben.  
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*Die Diracfunktion bei&nbsp; $x = 0$&nbsp; ber&uuml;cksichtigt vor allem Sprachpausen &ndash; hier in&nbsp; $50\%$&nbsp; aller Zeiten.
 
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Version vom 15. November 2019, 13:25 Uhr

Verteilungsfunktion  $ F_x(r)$

Gegeben ist die Zufallsgröße  $x$  mit der Verteilungsfunktion

$$ F_x(r)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} 0.25\cdot {\rm e}^{2\it r} &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}\it r<\rm 0, \\ 1-0.25\cdot {\rm e}^{-2\it r} & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}\it r\ge\rm 0. \\\end{array}\right.$$
  • Diese Funktion ist rechts dargestellt.
  • Es ist zu erkennen, dass an der Sprungstelle  $r = 0$  der rechtsseitige Grenzwert gültig ist.




Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Eigenschaften einer Verteilungsfunktion (VTF) gelten, wenn die Zufallsgröße beidseitig unbegrenzt ist?

Die VTF steigt von  $0$  auf  $1$  zumindest schwach monoton an.
Die  $F_x(r)$–Werte  $0$  und  $1$  sind für endliche  $r$–Werte möglich.
Ein horizontaler Abschnitt weist darauf hin, dass in diesem Bereich die Zufallsgröße keine Anteile besitzt.
Vertikale Abschnitte sind möglich.

2

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  positiv ist?

${\rm Pr}(x > 0) \ = \ $

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}|$  größer ist als  $0.5$?

${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| > 0.5) \ = \ $

4

Geben Sie die zugehörige WDF  $f_x(x)$  allgemein an und den Wert für  $x = 1$.

$f_x(x =1)\ = \ $

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  genau gleich  $1$  ist?

${\rm Pr}(x = 1)\ = \ $

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  genau gleich  $0$  ist?

${\rm Pr}(x = 0)\ = \ $


Musterlösung

(1)  Die Aussagen 1, 3 und 4 sind immer richtig:

  • Ein horizontaler Abschnitt in der VTF weist darauf hin, dass die Zufallsgröße in diesem Bereich keine Werte besitzt.
  • Dagegen weist ein vertikaler Abschnitt in der VTF auf eine Diracfunktion in der WDF  $($an gleicher Stelle  $x_0)$  hin.
  • Dies bedeutet, dass die Zufallsgröße den Wert  $x_0$  sehr häufig annimmt, nämlich mit endlicher Wahrscheinlichkeit.
  • Alle anderen Werte treten exakt mit der Wahrscheinlichkeit  $0$  auf.
  • Ist jedoch  $x$  auf den Bereich von  $x_{\rm min}$  bis  $x_{\rm max}$  begrenzt, so ist  $F_x(r) = 0$  für  $r < x_{\rm min}$  und  $F_x(r) = 1$  für  $r > x_{\rm max}$.
  • In diesem Sonderfall wäre auch die zweite Aussage zutreffend.


(2)  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann man aus der Differenz der VTF–Werte an den Grenzen berechnen:

$${\rm Pr}( x> 0)= F_x(\infty)- F_x(\rm 0) \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.25}.$$


(3)  Für die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  größer als  $0.5$  ist, gilt:

$${\rm Pr}(x> 0.5)=1- F_x(0.5)=\rm 0.25\cdot e^{-1} \hspace{0.15cm}{\approx0.092}. $$
  • Aus Symmetriegründen ist  ${\rm Pr}(x<- 0.5)$  genauso groß. Daraus folgt:
$${\rm Pr}( |\hspace{0.05cm} x\hspace{0.05cm}| >\rm 0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.184}.$$


WDF der Laplace-Verteilung

(4)  Die WDF erhält man aus der zugehörigen VTF durch Differenzieren der zwei Bereiche.

  • Es ergibt sich eine zweiseitige Exponentialfunktion sowie eine Diracfunktion bei  $x = 0$ :
$$f_x(x)=\rm 0.5\cdot \rm e^{-2\cdot |\hspace{0.05cm}\it x\hspace{0.05cm}|} + \rm 0.5\cdot\delta(\it x).$$
  • Der gesuchte Zahlenwert ist  $f_x(x = 1)\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0677}$.


Hinweis:   Die zweiseitige Exponentialverteilung nennt man auch „Laplaceverteilung”.


(5)  Im Bereich um  $1$  beschreibt  $x$  eine kontinuierliche Zufallsgröße.

  • Die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  exakt den Wert  $1$  aufweist, ist deshalb  ${\rm Pr}(x = 1)\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0}.$


(6)  In  $50\%$  der Zeit wird  $x = 0$  gelten:   ${\rm Pr}(x = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.5}.$


Hinweise:

  • Die WDF eines Sprachsignals wird häufig durch eine zweiseitige Exponentialfunktion beschrieben.
  • Die Diracfunktion bei  $x = 0$  berücksichtigt vor allem Sprachpausen – hier in  $50\%$  aller Zeiten.