Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: Zusammenhang zwischen WDF und VTF: Unterschied zwischen den Versionen

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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Die <u>Aussagen 1, 3 und 4</u> sind immer richtig. Ist jedoch <i>x</i> auf den Bereich von <i>x</i><sub>min</sub> bis <i>x</i><sub>max</sub> begrenzt, so ist <i>F<sub>x</sub></i>(<i>r</i>) = 0 f&uuml;r <i>r</i> < <i>x</i><sub>min</sub> und <i>F<sub>x</sub></i>(<i>r</i>) = 1 f&uuml;r <i>r</i> > <i>x</i><sub>max</sub>. In diesem Sonderfall w&auml;re auch die Aussage 2 zutreffend.
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'''(1)'''&nbsp; Die <u>Aussagen 1, 3 und 4</u> sind immer richtig:
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*Ein horizontaler Abschnitt in der VTF weist darauf hin, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e in diesem Bereich keine Werte besitzt.  
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*Dagegen weist ein vertikaler Abschnitt in der VTF auf eine Diracfunktion in der WDF (an gleicher Stelle $x_0$) hin. Dies bedeutet, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e den Wert $x_0$ sehr h&auml;ufig annimmt, n&auml;mlich mit endlicher Wahrscheinlichkeit. Alle anderen Werte treten exakt mit der Wahrscheinlichkeit $0$ auf.
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*Ist jedoch $x$ auf den Bereich von $x_{\rm min}$ bis $x_{\rm max}$ begrenzt, so ist $F_x(r) = 0$ f&uuml;r $r < x_{\rm min}$ und $F_x(r) = 1$ f&uuml;r $r > x_{\rm max}$. In diesem Sonderfall w&auml;re auch die zweite Aussage zutreffend.
  
:Ein horizontaler Abschnitt in der VTF weist darauf hin, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e in diesem Bereich keine Werte besitzt. Dagegen weist ein vertikaler Abschnitt in der VTF auf eine Diracfunktion in der WDF (an gleicher Stelle <i>x</i><sub>0</sub>) hin. Dies bedeutet, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e den Wert <i>x</i><sub>0</sub> sehr h&auml;ufig annimmt, n&auml;mlich mit endlicher Wahrscheinlichkeit. Alle anderen Werte treten exakt mit der Wahrscheinlichkeit 0 auf.
 
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann man aus der Differenz der VTF-Werte an den Grenzen berechnen:
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'''(2)'''&nbsp; Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann man aus der Differenz der VTF-Werte an den Grenzen berechnen:
:$$\rm Pr(\it x>\rm 0)=\it  F_x(\infty)-\it  F_x(\rm 0)
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$${\rm Pr}( x> 0)=\it  F_x(\infty)-\it  F_x(\rm 0)
 
\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.25}.$$
 
\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.25}.$$
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;F&uuml;r die Wahrscheinlichkeit, dass <i>x</i> gr&ouml;&szlig;er als 0.5 ist, gilt:
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'''(3)'''&nbsp; F&uuml;r die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ gr&ouml;&szlig;er als $0.5$ ist, gilt:
:$$\rm Pr(\it x>\rm 0.5)=1- \it F_x(\rm 0.5)=\rm 0.25\cdot e^{-1}
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$${\rm Pr}(x> 0.5)=1-  F_x(0.5)=\rm 0.25\cdot e^{-1}
 
\hspace{0.15cm}{\approx0.092}. $$
 
\hspace{0.15cm}{\approx0.092}. $$
  
:Aus Symmetriegr&uuml;nden ist Pr(<i>x</i> < &ndash;0.5) genauso gro&szlig;. Daraus folgt:
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Aus Symmetriegr&uuml;nden ist ${\rm Pr}(x<- 0.5)$ genauso gro&szlig;. Daraus folgt:
:$$\rm Pr( |\it x| >\rm 0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.184}.$$
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$${\rm Pr}( | x| >\rm 0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.184}.$$
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Die WDF erh&auml;lt man aus der zugeh&ouml;rigen VTF durch Differenzieren der zwei Bereiche. Es ergibt sich eine zweiseitige Exponentialfunktion sowie eine Diracfunktion bei <i>x</i> = 0:
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[[Datei: P_ID116__Sto_Z_3_2_c.png|right|Laplace-Verteilung]]
[[Datei: P_ID116__Sto_Z_3_2_c.png|right|]]
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'''(4)'''&nbsp; Die WDF erh&auml;lt man aus der zugeh&ouml;rigen VTF durch Differenzieren der zwei Bereiche. Es ergibt sich eine zweiseitige Exponentialfunktion sowie eine Diracfunktion bei $x = 0$:
:$$f_x(x)=\rm 0.5\cdot \rm e^{-2\cdot |\it x|} + \rm 0.5\cdot\delta(\it x).$$
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$$f_x(x)=\rm 0.5\cdot \rm e^{-2\cdot |\it x|} + \rm 0.5\cdot\delta(\it x).$$
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Der gesuchte Zahlenwert ist $f_x(x = 1)\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0677}$.
  
:F&uuml;r <i>x</i> = 1 ergibt sich der Zahlenwert <u>0.0677</u>.
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<i>Hinweis:</i> Für die zweiseitige Exponentialverteilung ist der Begriff &bdquo;Laplaceverteilung&rdquo; gebräuchlich.
  
:<br><i>Hinweis.</i> Für die zweiseitige Exponentialverteilung ist der Begriff &bdquo;Laplaceverteilung&rdquo; gebräuchlich.
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'''(5)'''&nbsp; Im Bereich um $1$ beschreibt $x$ eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e. Die Wahrscheinlichkeit, dass $x$  exakt den Wert $1$ aufweist, ist deshalb ${\rm Pr}(x = 1)\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0}.$
  
:<br><b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Im Bereich um 1 beschreibt <i>x</i> eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e. Die Wahrscheinlichkeit, dass <i>x</i> exakt den Wert 1 aufweist, ist deshalb <u>0</u>.
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'''(6)'''&nbsp; In $50\%$ der Zeit wird $x = 0$ gelten:  ${\rm Pr}(x = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.5}.$
  
:<b>6.</b>&nbsp;&nbsp;In 50% der Zeit wird <i>x</i> = 0 gelten: <u>Pr(<i>x</i> = 0) = 0.5</u>. <i>Hinweis</i>: Die WDF eines Sprachsignals wird h&auml;ufig durch eine zweiseitige Exponentialfunktion beschrieben (siehe Lernvideo zu Kap. 3.1). Die Diracfunktion bei <i>x</i> = 0 ber&uuml;cksichtigt vor allem Sprachpausen &ndash; hier in 50% aller Zeiten.
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<i>Hinweise:</i> :  
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*Die WDF eines Sprachsignals wird h&auml;ufig durch eine zweiseitige Exponentialfunktion beschrieben.  
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*Die Diracfunktion bei $x = 0$ ber&uuml;cksichtigt vor allem Sprachpausen &ndash; hier in $50\%$ aller Zeiten.
 
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Version vom 8. März 2017, 17:56 Uhr

Gegebene Verteilungsfunktion

Gegeben ist die Zufallsgröße $x$ mit der Verteilungsfunktion $$ F_x(r)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} 0.25\cdot {\rm e}^{2\it r} &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}\it r<\rm 0, \\ 1-0.25\cdot {\rm e}^{-2\it r} & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}\it r\ge\rm 0. \\\end{array}\right.$$

Diese Funktion ist rechts dargestellt. Es ist zu erkennen, dass an der Sprungstelle $r = 0$ der rechtsseitige Grenzwert gültig ist.


Hinweise:


Fragebogen

1

Welche Eigenschaften einer Verteilungsfunktion (VTF) gelten allgemein, also nicht nur bei diesem konkreten Beispiel?

Die VTF steigt von $0$ auf $1$ zumindest schwach monoton an.
Die $F_x(r)$–Werte $0$ und $1$ sind für endliche $r$–Werte möglich.
Ein horizontaler Abschnitt weist darauf hin, dass in diesem Bereich die Zufallsgröße keine Anteile besitzt.
Vertikale Abschnitte sind möglich.

2

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ positiv ist?

${\rm Pr}(x > 0) \ = $

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $|x|$ größer ist als $0.5$?

${\rm Pr}(|x| > 0.5) \ = $

4

Geben Sie die zugehörige WDF $f_x(x)$ allgemein und den Wert für $x = 1$ an.

$f_x(x =1)\ = $

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeiten, dass $x$ genau gleich $1$ ist?

${\rm Pr}(x = 1)\ = $

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeiten, dass $x$ genau gleich $0$ ist?

${\rm Pr}(x = 0)\ = $


Musterlösung

(1)  Die Aussagen 1, 3 und 4 sind immer richtig:

  • Ein horizontaler Abschnitt in der VTF weist darauf hin, dass die Zufallsgröße in diesem Bereich keine Werte besitzt.
  • Dagegen weist ein vertikaler Abschnitt in der VTF auf eine Diracfunktion in der WDF (an gleicher Stelle $x_0$) hin. Dies bedeutet, dass die Zufallsgröße den Wert $x_0$ sehr häufig annimmt, nämlich mit endlicher Wahrscheinlichkeit. Alle anderen Werte treten exakt mit der Wahrscheinlichkeit $0$ auf.
  • Ist jedoch $x$ auf den Bereich von $x_{\rm min}$ bis $x_{\rm max}$ begrenzt, so ist $F_x(r) = 0$ für $r < x_{\rm min}$ und $F_x(r) = 1$ für $r > x_{\rm max}$. In diesem Sonderfall wäre auch die zweite Aussage zutreffend.


(2)  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann man aus der Differenz der VTF-Werte an den Grenzen berechnen: $${\rm Pr}( x> 0)=\it F_x(\infty)-\it F_x(\rm 0) \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.25}.$$

(3)  Für die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ größer als $0.5$ ist, gilt: $${\rm Pr}(x> 0.5)=1- F_x(0.5)=\rm 0.25\cdot e^{-1} \hspace{0.15cm}{\approx0.092}. $$

Aus Symmetriegründen ist ${\rm Pr}(x<- 0.5)$ genauso groß. Daraus folgt: $${\rm Pr}( | x| >\rm 0.5) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.184}.$$

Laplace-Verteilung

(4)  Die WDF erhält man aus der zugehörigen VTF durch Differenzieren der zwei Bereiche. Es ergibt sich eine zweiseitige Exponentialfunktion sowie eine Diracfunktion bei $x = 0$: $$f_x(x)=\rm 0.5\cdot \rm e^{-2\cdot |\it x|} + \rm 0.5\cdot\delta(\it x).$$ Der gesuchte Zahlenwert ist $f_x(x = 1)\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0677}$.

Hinweis: Für die zweiseitige Exponentialverteilung ist der Begriff „Laplaceverteilung” gebräuchlich.

(5)  Im Bereich um $1$ beschreibt $x$ eine kontinuierliche Zufallsgröße. Die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ exakt den Wert $1$ aufweist, ist deshalb ${\rm Pr}(x = 1)\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0}.$

(6)  In $50\%$ der Zeit wird $x = 0$ gelten: ${\rm Pr}(x = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.5}.$

Hinweise: :

  • Die WDF eines Sprachsignals wird häufig durch eine zweiseitige Exponentialfunktion beschrieben.
  • Die Diracfunktion bei $x = 0$ berücksichtigt vor allem Sprachpausen – hier in $50\%$ aller Zeiten.