Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: Optimale Grenzfrequenz bei Gauß-Tiefpass: Unterschied zwischen den Versionen
Aus LNTwww
(Die Seite wurde neu angelegt: „{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Ber%C3%BCcksichtigung_von_Impulsinterferenzen }} Hier Wiki-Artikel einfüge…“) |
|||
| Zeile 2: | Zeile 2: | ||
}} | }} | ||
| + | [[Datei:P_ID1383__Dig_Z_3_2.png|right|frame|Optimale Gauß–Grenzfrequenz]] | ||
| + | Wie in Aufgabe A3.2 wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter $H_G(f)$ betrachtet. Dessen Grenzfrequenz $f_G$ soll so bestimmt werden, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis | ||
| + | :$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
| + | p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}} | ||
| + | \right)$$ | ||
| + | maximal und damit die ungünsigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_U$ minimal wird. Die so optimierte Grenzfrequenz $f_{\rm G, opt}$ führt meist zur minimalen mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S, min}$. | ||
| + | In obiger Gleichung sind folgende Systemgrößen verwendet: | ||
| + | * $\sigma_d^2$ ist die Detektionsrauschleistung. Bei gaußförmigen Empfangsfilter: | ||
| + | :$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} | ||
| + | |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm | ||
| + | G}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | * $\ddot{o}(T_D)$ gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu $T_D = 0$ angenommen. | ||
| + | * Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung $\ddot{o}(T_D)$ allein durch die Amplitude $s_0$ des Sendegrundimpulses (obere Begrenzung im Auge ohne Rauschen) sowie durch den Maximalwert $g_0$ des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden. Die Impulsamplitude $g_0$ ist dabei wie folgt zu berechnen: | ||
| + | :$$g_0 = g_d(t = 0) = s_0 \cdot \left [1- 2 \cdot {\rm Q} \left( | ||
| + | \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T | ||
| + | \right)\right]\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | + | Die Grafik zeigt die Augendiagramme der gesuchten Konfiguration mit optimaler Grenzfrequenz. Im oberen Diagramm sind die Rauschstörungen nicht berücksichtigt. Das untere Diagramm gilt dagegen mit AWGN–Rauschen für $10 \cdot \rm lg \ E_B/N_0 = 10 \ \rm dB". | |
| + | ''Hinweise:'' | ||
| + | * Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Grundlagen_der_codierten_%C3%9Cbertragung|Grundlagen der codierten Übertragung]]. | ||
| + | * Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das folgende Interaktionsmodul: [https://intern.lntwww.de/cgi-bin/extern/uni.pl?uno=hyperlink&due=block&b_id=1706&hyperlink_typ=block_verweis&hyperlink_fenstergroesse=blockverweis_gross| Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen] | ||
| + | ===Fragebogen=== | ||
| + | <quiz display=simple> | ||
| + | {Multiple-Choice | ||
| + | |type="[]"} | ||
| + | + correct | ||
| + | - false | ||
| + | {Input-Box Frage | ||
| + | |type="{}"} | ||
| + | $xyz$ = { 5.4 3% } $ab$ | ||
| + | </quiz> | ||
| − | + | ===Musterlösung=== | |
| − | {{ | + | {{ML-Kopf}} |
| + | '''(1)''' | ||
| + | '''(2)''' | ||
| + | '''(3)''' | ||
| + | '''(4)''' | ||
| + | '''(5)''' | ||
| + | {{ML-Fuß}} | ||
[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.2 Bitfehlerrate mit Impulsinterferenzen^]] | [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.2 Bitfehlerrate mit Impulsinterferenzen^]] | ||
Version vom 25. Oktober 2017, 21:12 Uhr
Optimale Gauß–Grenzfrequenz
Wie in Aufgabe A3.2 wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter $H_G(f)$ betrachtet. Dessen Grenzfrequenz $f_G$ soll so bestimmt werden, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis
- $$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}} \right)$$
maximal und damit die ungünsigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_U$ minimal wird. Die so optimierte Grenzfrequenz $f_{\rm G, opt}$ führt meist zur minimalen mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S, min}$. In obiger Gleichung sind folgende Systemgrößen verwendet:
- $\sigma_d^2$ ist die Detektionsrauschleistung. Bei gaußförmigen Empfangsfilter:
- $$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.$$
- $\ddot{o}(T_D)$ gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu $T_D = 0$ angenommen.
- Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung $\ddot{o}(T_D)$ allein durch die Amplitude $s_0$ des Sendegrundimpulses (obere Begrenzung im Auge ohne Rauschen) sowie durch den Maximalwert $g_0$ des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden. Die Impulsamplitude $g_0$ ist dabei wie folgt zu berechnen:
- $$g_0 = g_d(t = 0) = s_0 \cdot \left [1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]\hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt die Augendiagramme der gesuchten Konfiguration mit optimaler Grenzfrequenz. Im oberen Diagramm sind die Rauschstörungen nicht berücksichtigt. Das untere Diagramm gilt dagegen mit AWGN–Rauschen für $10 \cdot \rm lg \ E_B/N_0 = 10 \ \rm dB".
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Grundlagen der codierten Übertragung.
- Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das folgende Interaktionsmodul: Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen
Fragebogen
Musterlösung
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
