Aufgabe 3.2Z: Laplace und Fourier

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P ID1764 LZI Z 3 2.png
Die Fourier–Transformation kann für jedes deterministische Signal $x(t)$ angewandt werden. Für die Spektralfunktion gilt dann:
$$X(f) = \int\limits_{-\infty}^{ +\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$
Bei leistungsbegrenzten Signalen – Kennzeichen: unendlich große Energie – beinhaltet $X(F)$ auch Distributionen (Diracfunktionen).
Bei allen kausalen Signalen (und nur bei diesen) ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar:
$$X_{\rm L}(p) = \int\limits_{0}^{ \infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$
In der Grafik sehen Sie verschiedene kausale Zeitfunktionen, die in dieser Aufgabe behandelt werden:
  • die Diracfunktion a(t),
  • die Sprungfunktion b(t),
  • die Rechteckfunktion c(t),
  • die Rampenfunktion d(t).
Die Gesetzmäßigkeiten der Fourier–Transformation gelten meist (allerdings nicht immer) auch für die Laplace–Transformation, wobei $p = j \cdot 2 \pi f$ zu setzen ist:
  • Zum Beispiel lautet der Verschiebungssatz in Laplace– bzw. Fourier–Darstellung:
$$x(t- \tau) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{-p \tau}\hspace{0.05cm} ,$$
$$x(t- \tau) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X(f)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f \tau}\hspace{0.05cm} .$$
  • Dagegen ergeben sich beim Integrationssatz Unterschiede:
$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot \frac{1}{p}\hspace{0.05cm} ,$$
$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X(f)\cdot \left [ \frac{1}{2} \cdot{\rm \delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] \hspace{0.05cm} .$$
Hinweis: Die Aufgabe behandelt die Thematik von Kapitel 3.2.


Fragebogen

1

Wie lauten die Spektraltransformationen des Signals a(t) = δ(t)?

AL(p) = 1.
A(f) = δ(f).
A(f) = 1.

2

Wie lauten die Spektraltransformationen der Sprungfunktion b(t) = γ(t)?

BL(p) = 1/p.
B(f) = 1/(j · 2πf).
B(f) = 1/2 · δ(f) – j/(2πf).

3

Wie lauten die Spektraltransformationen der Rechteckfunktion c(t)?

CL(p) = si(pT).
CL(p) = [1 – epT] / p.
C(f) = CL(p) mit p = j · 2πf.

4

Wie lauten die Spektraltransformationen der Rampenfunktion d(t)?

DL(p) = [1 – epT] / (p2T).
DL(p) = 1 – epT.
D(f) = DL(p) mit p = j · 2πf.


Musterlösung

1.  Berücksichtigt man, dass die Diracfunktion nur bei t = 0 ungleich 0 ist und das Integral über den Dirac den Wert 1 liefert, solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt t = 0 einschließt, so erhält man:
$$A(f) = 1, \hspace{0.2cm}A_{\rm L}(p) = 1 \hspace{0.05cm} .$$
Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3.
2.  Richtig sind wiederum die Lösungsvorschläge 1 und 3. Die Sprungfunktion γ(t) ist das Integral über die Diracfunktion δ(t), so dass man den Integrationssatz anwenden kann:
$$b(t) = \int\limits_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm L}(p) =A_{\rm L}(p)\cdot \frac{1}{p} = \frac{1}{p}\hspace{0.05cm} ,\\ B(f) = A(f)\cdot \left [ \frac{1}{2} \cdot{\rm \delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] = \frac{1}{2} \cdot{\rm \delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm} .$$
3.  Richtig sind die vorgeschlagenen Alternativen 2 und 3. Nachdem die (kausale) Rechteckfunktion als Differenz zweier Sprungfunktionen dargestellt werden kann, erhält man mit dem Verschiebungssatz:
$$c(t)= b(t) - b(t-T) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm L}(p) =B_{\rm L}(p)- B_{\rm L}(p) \cdot {\rm e}^{-p T} = \frac{1}{p} \cdot \left [ 1- {\rm e}^{-p T} \right ] \hspace{0.05cm} .$$
Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt, gilt für das Fourierspektrum:
$$C(f) = C_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f}} = \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \left [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \cdot 2\pi f T} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
Nach einigen trigonometrischen Umformungen kann hierfür auch geschrieben werden:
$$C(f) = T \cdot {\rm si} (2 \pi f{T})+ {\rm j} \cdot \frac{{\rm cos} (2 \pi f{T})-1}{2\pi f} \hspace{0.05cm}.$$
4.  Richtig ist der erste Lösungsvorschlag. Es gilt:
$$d(t) = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{-\infty}^t {c(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_{\rm L}(p) =C_{\rm L}(p)\cdot \frac{1}{p \cdot T} = \frac{1- {\rm e}^{-p T}}{p^2 \cdot T}\hspace{0.05cm} .$$
Da sich d(t) bis ins Unendliche erstreckt, ist der einfache Zusammenhang zwischen DL(p) und D(f) entsprechend dem Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben. D(f) beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz f = 0.