Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: Laplace und Fourier: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID1764__LZI_Z_3_2.png|right|]]
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:Die Fourier&ndash;Transformation kann für jedes deterministische Signal <i>x</i>(<i>t</i>) angewandt werden. Für die Spektralfunktion gilt dann:
+
Die Fourier&ndash;Transformation kann man für jedes deterministische Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; anwenden.&nbsp; Für die Spektralfunktion gilt dann:
:$$X(f) =    \int\limits_{-\infty}^{
+
:$$X(f) =    \int_{-\infty}^{
 
+\infty}
 
+\infty}
 
  { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm
 
  { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm
 
  d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$
 
  d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$
  
:Bei leistungsbegrenzten Signalen &ndash; Kennzeichen: unendlich große Energie &ndash; beinhaltet <i>X</i>(<i>f</i>) auch Distributionen (Diracfunktionen).
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Bei leistungsbegrenzten Signalen &ndash; Kennzeichen: &nbsp; unendlich große Energie &ndash; beinhaltet&nbsp; $X(f)$&nbsp; auch Distributionen&nbsp; (Diracfunktionen).
  
:Bei allen kausalen Signalen (und nur bei diesen) ist daneben auch die Laplace&ndash;Transformation anwendbar:
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Bei allen kausalen Signalen&nbsp; (und nur bei diesen)&nbsp; ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar:
:$$X_{\rm L}(p) =    \int\limits_{0}^{
+
:$$X_{\rm L}(p) =    \int_{0}^{
 
\infty}
 
\infty}
 
  { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm
 
  { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm
 
  d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$
 
  d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$
  
:In der Grafik sehen Sie verschiedene kausale Zeitfunktionen, die in dieser Aufgabe behandelt werden:
+
In der Grafik sehen Sie verschiedene kausale Zeitfunktionen, die in dieser Aufgabe behandelt werden:
  
:* die Diracfunktion <i>a</i>(<i>t</i>),
+
* die Diracfunktion&nbsp; $a(t)$,
  
:* die Sprungfunktion <i>b</i>(<i>t</i>),
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* die Sprungfunktion&nbsp; $b(t)$,
  
:* die Rechteckfunktion <i>c</i>(<i>t</i>),
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* die Rechteckfunktion&nbsp; $c(t)$,
  
:* die Rampenfunktion <i>d</i>(<i>t</i>).
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* die Rampenfunktion&nbsp; $d(t)$.
  
:Die Gesetzmäßigkeiten der Fourier&ndash;Transformation gelten meist (allerdings nicht immer) auch für die Laplace&ndash;Transformation, wobei <i>p</i> = j &middot; 2&pi;<i>f</i> zu setzen ist:
 
  
:* Zum Beispiel lautet der <font color="#cc0000"><span style="font-weight: bold;">Verschiebungssatz</span></font> in Laplace&ndash; bzw. Fourier&ndash;Darstellung:
+
Die&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fourier&ndash;Transformation]]&nbsp; gelten meist&nbsp; (allerdings nicht immer)&nbsp; auch für die Laplace&ndash;Transformation,&nbsp; wobei&nbsp; $p ={\rm j} \cdot 2 \pi f$&nbsp; zu setzen ist:
 +
 
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* Zum Beispiel lautet der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]&nbsp; in Laplace&ndash; bzw. Fourier&ndash;Darstellung:
 
:$$x(t- \tau) \quad
 
:$$x(t- \tau) \quad
 
\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm
 
\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm
 
L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot {\rm
 
L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot {\rm
e}^{-p \tau}\hspace{0.05cm} ,$$
+
e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} ,$$
 
:$$x(t- \tau) \quad
 
:$$x(t- \tau) \quad
 
\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad
 
\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad
X(f)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}2\pi f \tau}\hspace{0.05cm} .$$
+
X(f)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} .$$
  
:* Dagegen ergeben sich beim <font color="#cc0000"><span style="font-weight: bold;">Integrationssatz</span></font> Unterschiede:
+
* Dagegen ergeben sich beim&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatz]]&nbsp; Unterschiede:
 
:$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm
 
:$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm
 
  d}\tau \quad
 
  d}\tau \quad
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  d}\tau \quad
 
  d}\tau \quad
 
\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad
 
\circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad
X(f)\cdot \left [ \frac{1}{2} \cdot{\rm \delta } (f) +
+
X(f)\cdot \left [ {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) +
 
\frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] \hspace{0.05cm} .$$
 
\frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] \hspace{0.05cm} .$$
  
:<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe behandelt die Thematik von Kapitel 3.2.
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Hinweise:  
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].
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*Das Lernvideo &nbsp; [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp;  könnte hilfreich sein .
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{Wie lauten die Spektraltransformationen des Signals <i>a</i>(<i>t</i>) = <i>&delta;</i>(<i>t</i>)?
+
{Wie lauten die Spektraltransformationen des Signals&nbsp; $a(t) = \delta(t)$?
 
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+ <i>A</i><sub>L</sub>(<i>p</i>) = 1.
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+ $A_{\rm L}(p) = 1$.
- <i>A</i>(<i>f</i>) = <i>&delta;</i>(<i>f</i>).
+
- $A(f) = \delta(f)$.
+ <i>A</i>(<i>f</i>) = 1.
+
+ $A(f) = 1$.
  
  
{Wie lauten die Spektraltransformationen der Sprungfunktion <i>b</i>(<i>t</i>) = <i>&gamma;</i>(<i>t</i>)?
+
{Wie lauten die Spektraltransformationen der Sprungfunktion&nbsp; $b(t) = \gamma(t)$?
 
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+ <i>B</i><sub>L</sub>(<i>p</i>) = 1/<i>p</i>.
+
+ $B_{\rm L}(p) = 1/p$.
- <i>B</i>(<i>f</i>) = 1/(j &middot; 2&pi;<i>f</i>).
+
- $B(f) = 1/({\rm j} \cdot 2 \pi f)$
+ <i>B</i>(<i>f</i>) = 1/2 &middot; <i>&delta;</i>(<i>f</i>) &ndash; j/(2&pi;<i>f</i>).
+
+ $B(f) = 1/2 \cdot \delta(f) - {\rm j}/(2 \pi f)$.
  
  
{Wie lauten die Spektraltransformationen der Rechteckfunktion <i>c</i>(<i>t</i>)?
+
{Wie lauten die Spektraltransformationen der Rechteckfunktion&nbsp; $c(t)$?
 
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- <i>C</i><sub>L</sub>(<i>p</i>) = si(<i>p</i><i>T</i>).
+
- $C_{\rm L}(p) = {\rm si}(pT)$.  
+ <i>C</i><sub>L</sub>(<i>p</i>) = [1 &ndash; e<sup>&ndash;<i>pT</i></sup>] / <i>p</i>.
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+ $C_{\rm L}(p) = \big [1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} \big ]/p$.  
+ <i>C</i>(<i>f</i>) = <i>C</i><sub>L</sub>(<i>p</i>) mit <i>p</i> = j &middot; 2&pi;<i>f</i>.
+
+ $C(f) = C_{\rm L}(p)$&nbsp; mit&nbsp; $p = 2 \pi f$.  
  
  
{Wie lauten die Spektraltransformationen der Rampenfunktion <i>d</i>(<i>t</i>)?
+
{Wie lauten die Spektraltransformationen der Rampenfunktion&nbsp; $d(t)$?
 
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+ <i>D</i><sub>L</sub>(<i>p</i>) =  [1 &ndash; e<sup>&ndash;<i>pT</i></sup>] / (<i>p</i><sup>2</sup><i>T</i>).
+
+ $D_{\rm L}(p) =  \big[1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}\big]/(p^2T)$.
- <i>D</i><sub>L</sub>(<i>p</i>) = 1 &ndash; e<sup>&ndash;<i>pT</i></sup>.
+
- $D_{\rm L}(p) = 1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}$.
- <i>D</i>(<i>f</i>) = <i>D</i><sub>L</sub>(<i>p</i>) mit <i>p</i> = j &middot; 2&pi;<i>f</i>.
+
- $D(f) = D_{\rm L}(p)$&nbsp; mit&nbsp; $p = 2 \pi f$.  
  
  
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===Musterlösung===
 
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{{ML-Kopf}}
 
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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Berücksichtigt man, dass die Diracfunktion nur bei <i>t</i> = 0 ungleich 0 ist und das Integral über den Dirac den Wert 1 liefert, solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt <i>t</i> = 0 einschließt, so erhält man:
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
 +
*Berücksichtigt man,&nbsp; dass die Diracfunktion nur bei&nbsp; $t= 0$&nbsp; ungleich Null ist und das Integral über den Dirac den Wert&nbsp; $1$&nbsp; liefert,&nbsp; solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt&nbsp; $t= 0$&nbsp; einschließt,&nbsp; so erhält man:
 
:$$A(f) = 1, \hspace{0.2cm}A_{\rm
 
:$$A(f) = 1, \hspace{0.2cm}A_{\rm
 
  L}(p) = 1  \hspace{0.05cm} .$$
 
  L}(p) = 1  \hspace{0.05cm} .$$
  
:Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
 
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Richtig sind wiederum die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>. Die Sprungfunktion <i>&gamma;</i>(<i>t</i>) ist das Integral über die Diracfunktion <i>&delta;</i>(<i>t</i>), so dass man den Integrationssatz anwenden kann:
+
 
:$$b(t) = \int\limits_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm
+
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind wieder die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
 +
*Die Sprungfunktion&nbsp; $b(t) = \gamma(t)$&nbsp; ist das Integral über die Diracfunktion&nbsp; $a(t) = \delta(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; man kann den&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatz]]&nbsp; anwenden:
 +
:$$b(t) = \int_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm
 
  d}\tau  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm L}(p) =A_{\rm L}(p)\cdot
 
  d}\tau  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm L}(p) =A_{\rm L}(p)\cdot
\frac{1}{p} = \frac{1}{p}\hspace{0.05cm} ,\\
+
{1}/{p} = {1}/{p}\hspace{0.05cm} ,$$
B(f)  =  A(f)\cdot \left [ \frac{1}{2} \cdot{\rm \delta } (f) +
+
:$$B(f)  =  A(f)\cdot \left [ {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) +
\frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] = \frac{1}{2} \cdot{\rm
+
\frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] = {1}/{2} \cdot{\rm
 
\delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm} .$$
 
\delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm} .$$
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Richtig sind die vorgeschlagenen <u>Alternativen 2 und 3</u>. Nachdem die (kausale) Rechteckfunktion als Differenz zweier Sprungfunktionen dargestellt werden kann, erhält man mit dem Verschiebungssatz:
+
 
 +
 
 +
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 +
*Nachdem die (kausale) Rechteckfunktion als Differenz zweier Sprungfunktionen dargestellt werden kann,&nbsp; erhält man mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]:
 
:$$c(t)= b(t) - b(t-T)  \hspace{0.3cm}
 
:$$c(t)= b(t) - b(t-T)  \hspace{0.3cm}
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm L}(p) =B_{\rm L}(p)- B_{\rm L}(p)
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm L}(p) =B_{\rm L}(p)- B_{\rm L}(p)
  \cdot {\rm e}^{-p T} = \frac{1}{p} \cdot \left [ 1- {\rm e}^{-p T} \right ]
+
  \cdot {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} = {1}/{p} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} \big ]
 
  \hspace{0.05cm} .$$
 
  \hspace{0.05cm} .$$
  
:Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt, gilt für das Fourierspektrum:
+
*Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt,&nbsp; gilt für das&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fourierspektrum]]:
 
:$$C(f) =  C_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it
 
:$$C(f) =  C_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it
  f}} =  \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \left [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \cdot 2\pi f T} \right ]
+
  f}} =  \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi f T} \big ]
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
+
*Nach einigen trigonometrischen Umformungen kann hierfür auch geschrieben werden:
:Nach einigen trigonometrischen Umformungen kann hierfür auch geschrieben werden:
 
 
:$$C(f) =  T \cdot {\rm si} (2 \pi  f{T})+ {\rm j} \cdot \frac{{\rm cos} (2 \pi  f{T})-1}{2\pi f}
 
:$$C(f) =  T \cdot {\rm si} (2 \pi  f{T})+ {\rm j} \cdot \frac{{\rm cos} (2 \pi  f{T})-1}{2\pi f}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Richtig ist der <u>erste Lösungsvorschlag</u>. Es gilt:
+
 
 +
 
 +
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>,&nbsp; da gilt:
 
:$$d(t) = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{-\infty}^t {c(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm
 
:$$d(t) = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{-\infty}^t {c(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm
 
  d}\tau  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_{\rm L}(p) =C_{\rm L}(p)\cdot
 
  d}\tau  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_{\rm L}(p) =C_{\rm L}(p)\cdot
\frac{1}{p \cdot  T} = \frac{1- {\rm e}^{-p T}}{p^2 \cdot
+
\frac{1}{p \cdot  T} = \frac{1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}}{p^2 \cdot
 
T}\hspace{0.05cm} .$$
 
T}\hspace{0.05cm} .$$
 
+
*Da sich&nbsp; $d(t)$&nbsp; bis ins Unendliche erstreckt,&nbsp; ist der einfache Zusammenhang zwischen&nbsp; $D_{\rm L}(p)$&nbsp; und&nbsp; $D(f)$&nbsp; gemäß Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.  
:Da sich <i>d</i>(<i>t</i>) bis ins Unendliche erstreckt, ist der einfache Zusammenhang zwischen <i>D</i><sub>L</sub>(<i>p</i>) und <i>D</i>(<i>f</i>) entsprechend dem Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben. <i>D</i>(<i>f</i>) beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz <i>f</i> = 0.
+
*$D(f)$&nbsp; beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^3.2 Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion^]]
+
[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^3.2 Laplace–Transformation^]]

Aktuelle Version vom 13. Oktober 2021, 13:04 Uhr

Vier kausale Zeitsignale

Die Fourier–Transformation kann man für jedes deterministische Signal  $x(t)$  anwenden.  Für die Spektralfunktion gilt dann:

$$X(f) = \int_{-\infty}^{ +\infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$

Bei leistungsbegrenzten Signalen – Kennzeichen:   unendlich große Energie – beinhaltet  $X(f)$  auch Distributionen  (Diracfunktionen).

Bei allen kausalen Signalen  (und nur bei diesen)  ist daneben auch die Laplace-Transformation anwendbar:

$$X_{\rm L}(p) = \int_{0}^{ \infty} { x(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-p t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm} .$$

In der Grafik sehen Sie verschiedene kausale Zeitfunktionen, die in dieser Aufgabe behandelt werden:

  • die Diracfunktion  $a(t)$,
  • die Sprungfunktion  $b(t)$,
  • die Rechteckfunktion  $c(t)$,
  • die Rampenfunktion  $d(t)$.


Die  Gesetzmäßigkeiten der Fourier–Transformation  gelten meist  (allerdings nicht immer)  auch für die Laplace–Transformation,  wobei  $p ={\rm j} \cdot 2 \pi f$  zu setzen ist:

  • Zum Beispiel lautet der  Verschiebungssatz  in Laplace– bzw. Fourier–Darstellung:
$$x(t- \tau) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} ,$$
$$x(t- \tau) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X(f)\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau}\hspace{0.05cm} .$$
$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X_{\rm L}(p)\cdot \frac{1}{p}\hspace{0.05cm} ,$$
$$\int {x(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.05cm}}\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\bullet\quad X(f)\cdot \left [ {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] \hspace{0.05cm} .$$




Hinweise:


Fragebogen

1

Wie lauten die Spektraltransformationen des Signals  $a(t) = \delta(t)$?

$A_{\rm L}(p) = 1$.
$A(f) = \delta(f)$.
$A(f) = 1$.

2

Wie lauten die Spektraltransformationen der Sprungfunktion  $b(t) = \gamma(t)$?

$B_{\rm L}(p) = 1/p$.
$B(f) = 1/({\rm j} \cdot 2 \pi f)$
$B(f) = 1/2 \cdot \delta(f) - {\rm j}/(2 \pi f)$.

3

Wie lauten die Spektraltransformationen der Rechteckfunktion  $c(t)$?

$C_{\rm L}(p) = {\rm si}(pT)$.
$C_{\rm L}(p) = \big [1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} \big ]/p$.
$C(f) = C_{\rm L}(p)$  mit  $p = 2 \pi f$.

4

Wie lauten die Spektraltransformationen der Rampenfunktion  $d(t)$?

$D_{\rm L}(p) = \big[1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}\big]/(p^2T)$.
$D_{\rm L}(p) = 1-{\rm e}^{-p\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T}$.
$D(f) = D_{\rm L}(p)$  mit  $p = 2 \pi f$.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Berücksichtigt man,  dass die Diracfunktion nur bei  $t= 0$  ungleich Null ist und das Integral über den Dirac den Wert  $1$  liefert,  solange das Integrationsintervall den Zeitpunkt  $t= 0$  einschließt,  so erhält man:
$$A(f) = 1, \hspace{0.2cm}A_{\rm L}(p) = 1 \hspace{0.05cm} .$$


(2)  Richtig sind wieder die  Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Die Sprungfunktion  $b(t) = \gamma(t)$  ist das Integral über die Diracfunktion  $a(t) = \delta(t)$   ⇒   man kann den  Integrationssatz  anwenden:
$$b(t) = \int_{-\infty}^t {a(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm L}(p) =A_{\rm L}(p)\cdot {1}/{p} = {1}/{p}\hspace{0.05cm} ,$$
$$B(f) = A(f)\cdot \left [ {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \right ] = {1}/{2} \cdot{\rm \delta } (f) + \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm} .$$


(3)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Nachdem die (kausale) Rechteckfunktion als Differenz zweier Sprungfunktionen dargestellt werden kann,  erhält man mit dem  Verschiebungssatz:
$$c(t)= b(t) - b(t-T) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm L}(p) =B_{\rm L}(p)- B_{\rm L}(p) \cdot {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} = {1}/{p} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}T} \big ] \hspace{0.05cm} .$$
  • Da die Rechteckfunktion eine endliche Energie besitzt,  gilt für das  Fourierspektrum:
$$C(f) = C_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f}} = \frac{1}{{\rm j} \cdot 2\pi f} \cdot \big [ 1- {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi f T} \big ] \hspace{0.05cm}.$$
  • Nach einigen trigonometrischen Umformungen kann hierfür auch geschrieben werden:
$$C(f) = T \cdot {\rm si} (2 \pi f{T})+ {\rm j} \cdot \frac{{\rm cos} (2 \pi f{T})-1}{2\pi f} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 1,  da gilt:

$$d(t) = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{-\infty}^t {c(\tau)} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_{\rm L}(p) =C_{\rm L}(p)\cdot \frac{1}{p \cdot T} = \frac{1- {\rm e}^{-p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T}}{p^2 \cdot T}\hspace{0.05cm} .$$
  • Da sich  $d(t)$  bis ins Unendliche erstreckt,  ist der einfache Zusammenhang zwischen  $D_{\rm L}(p)$  und  $D(f)$  gemäß Lösungsvorschlag 3 nicht gegeben.
  • $D(f)$  beinhaltet vielmehr auch eine Diracfunktion bei der Frequenz  $f = 0$.