Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: Besselspektrum: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID1083__Mod_Z_3_2.png|right|]]
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[[Datei:P_ID1083__Mod_Z_3_2.png|right|frame|Verlauf der Besselfunktionen]]
 
Wir betrachten das komplexe Signal
 
Wir betrachten das komplexe Signal
$$x(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) }\hspace{0.05cm}.$$
+
:$$x(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) }\hspace{0.05cm}.$$
Beispielsweise kann man das äquivalente TP–Signal am Ausgang eines Winkelmodulators (PM, FM) in dieser Form darstellen, wenn man geeignete Normierungen vornimmt.
+
Beispielsweise kann man das äquivalente Tiefpass–Signal am Ausgang eines Winkelmodulators (PM, FM) in dieser Form darstellen, wenn man geeignete Normierungen vornimmt.
Die Fourierreihendarstellung lautet mit $T_0 = 2π/ω_0$:
 
$$x(t)  =  \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_n \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.05cm},$$
 
$$ D_n  =  \frac{1}{T_0}\cdot \int\limits_{- T_0/2}^{+T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
 
Diese komplexen Fourierkoeffizienten können mit Hilfe der Besselfunktionen erster Art und n–ter Ordnung ausgedrückt werden:
 
$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int\limits_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
 
Diese sind in der Grafik im Bereich $0 ≤ η ≤ 5$ dargestellt. Für negative Werte von $n$ erhält man:
 
$${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)\hspace{0.05cm}.$$
 
Die Reihendarstellung der Besselfunktionen lautet:
 
$${\rm J}_n (\eta) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (\eta/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$
 
Sind die Funktionswerte für $n = 0$ und $n = 1$ bekannt, so können die Besselfunktionen für $n ≥ 2$ iterativ ermittelt werden:
 
$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$
 
  
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite '''Besselfunktionen erster Art und n–ter Ordnung'''.
+
*Die Fourierreihendarstellung lautet mit  $T_0 = 2π/ω_0$:
Sie können auch folgendes Interaktionsmodul nutzen:
+
:$$x(t)  =  \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_n \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.05cm},$$
 +
:$$ D_n  =  \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Diese komplexen Fourierkoeffizienten können mit Hilfe der Besselfunktionen erster Art und  $n$–ter Ordnung ausgedrückt werden:
 +
:$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Diese sind in der Grafik im Bereich  $0 ≤ η ≤ 5$  dargestellt.  Für negative Werte von  $n$  erhält man:
 +
:$${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Die Reihendarstellung der Besselfunktionen lautet:
 +
:$${\rm J}_n (\eta) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (\eta/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Sind die Funktionswerte für  $n = 0$  und  $n = 1$  bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für  $n ≥ 2$  iterativ ermittelt werden:
 +
:$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$
  
Werte der Besselfunktion erster Art und n–ter Ordnung
 
  
'''Besselfunktionen erster Art und n–ter Ordnung:''' 
 
Diese von dem Astronomen Friedrich Wilhelm Bessel 1844 eingeführten mathematischen Funktionen sind wie folgt definiert:
 
$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int\limits_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
 
Für die Berechnung einer Besselfunktion ist allerdings die Reihendarstellung besser geeignet:
 
$${\rm J}_n (\eta) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (\eta/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$
 
Sind die Funktionswerte für $n = 0$ und $n = 1$ bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für $n ≥ 2$ iterativ ermittelt werden:
 
$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$
 
Die nachfolgende Grafik zeigt die jeweils ersten drei Summanden (k = 0, 1, 2) dieser Reihen.
 
  
[[Datei:P_ID1078__Mod_T_3_1_A1.png|right|]]
 
Der grau hinterlegte Term – gültig für $n = 3$ und $k = 2$ – lautet beispielsweise in ausgeschriebener Form:
 
$$\frac{(-1)^2 \cdot (\eta/2)^{3 \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}2}}{2\hspace{0.05cm}! \cdot (3+2)\hspace{0.05cm}!} = \frac{1}{240}\cdot (\eta/2)^7 \hspace{0.05cm}.$$
 
Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen  in tabellarischer Form. Sie können auch mit dem nachfolgenden Berechnungsmodul ermittelt werden:
 
  
  
Werte der Besselfunktion erster Art
 
  
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''Hinweise:''
 +
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite   [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation]].
 +
*Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen  in tabellarischer Form.
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*Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet  [[Applets:Besselfunktionen_erster_Art| Besselfunktion erster Art]]  benutzen.
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
  
{Welche Eigenschaften besitzt das Signal x(t)?
+
{Welche Eigenschaften besitzt das Signal &nbsp;$x(t)$?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- $x(t)$ ist für alle Zeiten t imaginär.
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- $x(t)$&nbsp; ist für alle Zeiten &nbsp;$t$&nbsp; imaginär.
+ x(t) ist für alle Zeiten t imaginär.
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+ $x(t)$&nbsp; ist periodisch.
- Die Spektralfunktion $X(f)$ erhält man über das fourierintegral
+
- Die Spektralfunktion &nbsp;$X(f)$&nbsp; erhält man über das Fourierintegral.
  
{Schreiben Sie die Fourierkoeffizienten $D_n$ mit den Besselfunktionen erster Art. Welche Zusammenhänge sind zu erkennen?
+
{Schreiben Sie die Fourierkoeffizienten &nbsp;$D_n$&nbsp; mit den Besselfunktionen erster Art &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm J}_n(η)$.&nbsp; Welche Zusammenhänge sind zu erkennen?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Alle $D_n$ sind gleich $J_η(0)$.
+
- Alle &nbsp;$D_n$&nbsp; sind gleich &nbsp;${\rm J}_η(0)$.
+ Es gilt $D_n = J_n(η)$.
+
+ Es gilt &nbsp;$D_n = {\rm J}_n(η)$.
- Es gilt $D_n = –J_η(n)$.
+
- Es gilt &nbsp;$D_n = -{\rm J}_η(n)$.
  
 
{ Welche Eigenschaften besitzen die Fourierkoeffizienten?
 
{ Welche Eigenschaften besitzen die Fourierkoeffizienten?
|type="[]"}
+
|type="()"}
+  Alle $D_n$ sind rein reell.
+
+  Alle&nbsp; $D_n$&nbsp; sind rein reell.
-  Alle $D_n$ sind rein imaginär.
+
-  Alle&nbsp; $D_n$&nbsp; sind rein imaginär.
  
{Für $η = 2$ lauten die Koeffizienten $D_0 = 0.224$ und $D_1 = 0.577$. Berechnen Sie hieraus die Koeffizienten $D_2$ und $D_3$.
+
{Für &nbsp;$η = 2$&nbsp; lauten die Koeffizienten &nbsp;$D_0 = 0.224$&nbsp; und &nbsp;$D_1 = 0.577$.&nbsp; Berechnen Sie hieraus die Koeffizienten &nbsp;$D_2$&nbsp; und &nbsp;$D_3$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$D_2$ = { 0.353 3% }  
+
$D_2 \ = \ $ { 0.353 3% }  
$D_3$ = { 0.129 3% }  
+
$D_3 \ = \ $ { 0.129 3% }  
  
{Wie lauten die Fourierkoeffizienten $D_{–2}$ und $D_{–3}$ ?
+
{Wie lauten die Fourierkoeffizienten &nbsp;$D_{-2}$&nbsp; und &nbsp;$D_{-3}$ ?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$D_{–2}$ = { 0.353 3% }  
+
$D_{-2} \ = \ $ { 0.353 3% }  
$D_{–3}$ = { -0.129 3% }  
+
$D_{-3} \ = \ $ { -0.133--0.125 }  
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.''' $x(t)$ ist ein komplexes Signal, das nur in Ausnahmefällen reell wird, zum Beispiel zur Zeit $t = 0$. Ein rein imaginärer Wert (zu gewissen Zeiten) kann sich nur dann ergeben, wenn $η ≥ π/2$ ist.
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
Mit $T_0 = 2π/ω_0$ gilt beispielsweise:
+
*$x(t)$&nbsp; ist ein komplexes Signal, das nur in Ausnahmefällen reell wird, zum Beispiel zur Zeit&nbsp; $t = 0$.  
$$ x(t + k \cdot T_0)  =  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_0)) } =$$
+
*Ein rein imaginärer Wert (zu gewissen Zeiten) kann sich nur dann ergeben, wenn&nbsp; $η ≥ π/2$&nbsp; ist &nbsp; &rArr; &nbsp;  Antwort 1 ist falsch.
$$ =  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi) } ={\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} ) } = x(t)\hspace{0.05cm}.$$
+
*Mit&nbsp; $T_0 = 2π/ω_0$&nbsp; gilt beispielsweise:
Dieses Signal ist somit periodisch. Zur Berechnung der Spektralfunktion muss deshalb die Fourierreihe und nicht das Fourierintegral herangezogen werden. Richtig ist also nur der zweite Lösungsvorschlag.
+
:$$ x(t + k \cdot T_0)  =  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_0)) } =
 +
  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi) } ={\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} ) } = x(t)\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Dieses Signal ist periodisch.&nbsp; Zur Berechnung der Spektralfunktion muss die Fourierreihe und nicht das Fourierintegral herangezogen werden.  
 +
 
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 +
'''(2)'''&nbsp; Die Fourierkoeffizienten lauten:
 +
:$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t) }\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Durch Zusammenfassen der beiden Terme und nach der Substitution&nbsp; $α = ω_0 · t$&nbsp; erhält man:
 +
:$$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm} = {\rm J}_n (\eta) .$$
 +
*Richtig ist also der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
  
  
'''2.'''Die Fourierkoeffizienten lauten:
 
$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t) }\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
 
Durch Zusammenfassen der beiden Terme und nach der Substitution $α = ω_0 · t$ erhält man:
 
$$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm} = {\rm J}_n (\eta) .$$
 
Richtig ist also der zweite Lösungsvorschlag.
 
  
 +
'''(3)'''&nbsp; Mit dem Satz von Euler können die Fourierkoeffizienten wie folgt dargestellt werden:
 +
:$$D_n  =  \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha +
 +
\frac{\rm  j}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Der Integrand des ersten Integrals ist eine gerade Funktion von&nbsp; $\alpha$:
 +
:$$I_1 (-\alpha)  =  {\cos( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\cos( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=
 +
  {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = I_1 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Dagegen ist der zweite Integrand eine ungerade Funktion:
 +
:$$I_2 (-\alpha)  =  {\sin( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\sin( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=
 +
  -{\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = -I_2 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Somit verschwindet das zweite Integral und man erhält unter Berücksichtigung der Symmetrie:
 +
:$$D_n = \frac{1}{\pi}\cdot \int_{0}^{\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
  
'''3.'''Mit dem Satz von Euler können die Fourierkoeffizienten wie folgt dargestellt werden:
 
$$D_n  =  \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha +$$
 
$$ +  \frac{ j}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
 
Der Integrand des ersten Integrals ist eine gerade Funktion von α:
 
$$I_1 (-\alpha)  =  {\cos( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\cos( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=$$
 
$$=  {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = I_1 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
 
Dagegen ist der zweite Integrand eine ungerade Funktion:
 
$$I_2 (-\alpha)  =  {\sin( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\sin( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=$$
 
$$ =  -{\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = -I_2 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
 
Somit verschwindet das zweite Integral und man erhält unter Berücksichtigung der Symmetrie:
 
$$D_n = \frac{1}{\pi}\cdot \int_{0}^{\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
 
Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 1.
 
  
  
'''4.'''Entsprechend der iterativen Berechnungsformel gilt für $η = 2$:
+
'''(4)'''&nbsp; Entsprechend der iterativen Berechnungsformel gilt für&nbsp; $η = 2$:
$$ D_2  =  D_1 - D_0 = 0.577 - 0.224 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$   
+
:$$ D_2  =  D_1 - D_0 = 0.577 - 0.224 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$   
$$D_3  =  2 \cdot D_2 - D_1 = 2 \cdot 0.353 - 0.577 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.129} \hspace{0.05cm}.$$
+
:$$D_3  =  2 \cdot D_2 - D_1 = 2 \cdot 0.353 - 0.577 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.129} \hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''5.''' Aufgrund der angegebenen Symmetriebeziehung ist $D{–2} = D_2 = 0.353$ und $D{–3} = D_3 = –0.129$.
+
'''(5)'''&nbsp; Aufgrund der angegebenen Symmetriebeziehung gilt weiter:
 +
:$$ D_{–2} = D_2\hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$ 
 +
:$$D_{–3} = -D_3 \hspace{0.15cm}\underline {= -0.129} \hspace{0.05cm}.$$
  
  

Aktuelle Version vom 10. Juni 2020, 09:03 Uhr

Verlauf der Besselfunktionen

Wir betrachten das komplexe Signal

$$x(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) }\hspace{0.05cm}.$$

Beispielsweise kann man das äquivalente Tiefpass–Signal am Ausgang eines Winkelmodulators (PM, FM) in dieser Form darstellen, wenn man geeignete Normierungen vornimmt.

  • Die Fourierreihendarstellung lautet mit  $T_0 = 2π/ω_0$:
$$x(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_n \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.05cm},$$
$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
  • Diese komplexen Fourierkoeffizienten können mit Hilfe der Besselfunktionen erster Art und  $n$–ter Ordnung ausgedrückt werden:
$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
  • Diese sind in der Grafik im Bereich  $0 ≤ η ≤ 5$  dargestellt.  Für negative Werte von  $n$  erhält man:
$${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Reihendarstellung der Besselfunktionen lautet:
$${\rm J}_n (\eta) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (\eta/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$
  • Sind die Funktionswerte für  $n = 0$  und  $n = 1$  bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für  $n ≥ 2$  iterativ ermittelt werden:
$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$





Hinweise:


Fragebogen

1

Welche Eigenschaften besitzt das Signal  $x(t)$?

$x(t)$  ist für alle Zeiten  $t$  imaginär.
$x(t)$  ist periodisch.
Die Spektralfunktion  $X(f)$  erhält man über das Fourierintegral.

2

Schreiben Sie die Fourierkoeffizienten  $D_n$  mit den Besselfunktionen erster Art   ⇒   ${\rm J}_n(η)$.  Welche Zusammenhänge sind zu erkennen?

Alle  $D_n$  sind gleich  ${\rm J}_η(0)$.
Es gilt  $D_n = {\rm J}_n(η)$.
Es gilt  $D_n = -{\rm J}_η(n)$.

3

Welche Eigenschaften besitzen die Fourierkoeffizienten?

Alle  $D_n$  sind rein reell.
Alle  $D_n$  sind rein imaginär.

4

Für  $η = 2$  lauten die Koeffizienten  $D_0 = 0.224$  und  $D_1 = 0.577$.  Berechnen Sie hieraus die Koeffizienten  $D_2$  und  $D_3$.

$D_2 \ = \ $

$D_3 \ = \ $

5

Wie lauten die Fourierkoeffizienten  $D_{-2}$  und  $D_{-3}$ ?

$D_{-2} \ = \ $

$D_{-3} \ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig ist nur der zweite Lösungsvorschlag:

  • $x(t)$  ist ein komplexes Signal, das nur in Ausnahmefällen reell wird, zum Beispiel zur Zeit  $t = 0$.
  • Ein rein imaginärer Wert (zu gewissen Zeiten) kann sich nur dann ergeben, wenn  $η ≥ π/2$  ist   ⇒   Antwort 1 ist falsch.
  • Mit  $T_0 = 2π/ω_0$  gilt beispielsweise:
$$ x(t + k \cdot T_0) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_0)) } = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi) } ={\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} ) } = x(t)\hspace{0.05cm}.$$
  • Dieses Signal ist periodisch.  Zur Berechnung der Spektralfunktion muss die Fourierreihe und nicht das Fourierintegral herangezogen werden.


(2)  Die Fourierkoeffizienten lauten:

$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t) }\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
  • Durch Zusammenfassen der beiden Terme und nach der Substitution  $α = ω_0 · t$  erhält man:
$$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm} = {\rm J}_n (\eta) .$$
  • Richtig ist also der zweite Lösungsvorschlag.


(3)  Mit dem Satz von Euler können die Fourierkoeffizienten wie folgt dargestellt werden:

$$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha + \frac{\rm j}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
  • Der Integrand des ersten Integrals ist eine gerade Funktion von  $\alpha$:
$$I_1 (-\alpha) = {\cos( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\cos( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}= {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = I_1 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
  • Dagegen ist der zweite Integrand eine ungerade Funktion:
$$I_2 (-\alpha) = {\sin( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\sin( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}= -{\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = -I_2 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
  • Somit verschwindet das zweite Integral und man erhält unter Berücksichtigung der Symmetrie:
$$D_n = \frac{1}{\pi}\cdot \int_{0}^{\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$
  • Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 1.


(4)  Entsprechend der iterativen Berechnungsformel gilt für  $η = 2$:

$$ D_2 = D_1 - D_0 = 0.577 - 0.224 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$
$$D_3 = 2 \cdot D_2 - D_1 = 2 \cdot 0.353 - 0.577 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.129} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Aufgrund der angegebenen Symmetriebeziehung gilt weiter:

$$ D_{–2} = D_2\hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$
$$D_{–3} = -D_3 \hspace{0.15cm}\underline {= -0.129} \hspace{0.05cm}.$$