Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten die Zufallsgrößen
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Wir betrachten die Zufallsgrößen  $X =  \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$  und  $Y =  \{ 0,\ 1,\ 2 \}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_{XY}(X,\ Y)$  gegeben ist.
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*Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen  $P_X(X)$  und  $P_Y(Y)$  ermittelt werden.
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*Man nennt eine solche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion manchmal auch Randwahrscheinlichkeit  (englisch:  ''Marginal Probability'').
  
$X$ =  { 0, 1, 2, 3 },
 
  
$Y$ = { 0, 1, 2 },
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Gilt   $P_{XY}(X,\ Y) = P_X(X) \cdot P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  statistisch unabhängig.  Andernfalls bestehen zwischen diesen statistische Bindungen.
  
deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{X,Y}(X,Y)$ gegeben ist. Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(X)$ und $P_Y(Y)$ ermittelt werden. Man nennt eine solche manchmal auch Randwahrscheinlichkeit (englisch: Marginal Probability).
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Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen  $U=  \big \{ 0,\ 1 \big \}$  und  $V= \big  \{ 0,\ 1 \big \}$, die sich aus  $X$  und  $Y$  durch Modulo–2–Operationen ergeben:
  
Gilt  $P_{X,Y}(X,Y)$ = $P_X(X)$ . $P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen X und Y statistisch unabhängig. Andernfalls bestehen statistische Bindungen zwischen $X$ und $Y$.
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:$$U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2, \hspace{0.3cm}  V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2.$$
  
Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen
 
  
$U$ = { 0, 1 }, $V$ = { 0, 1 },
 
  
die sich aus $X$ und $Y$ durch Modulo–2–Operationen ergeben:
 
  
$U$ = $X$ mod 2,  $V$ = $Y$ mod 2.
 
 
'''Hinweis:''' Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von [http://www.lntwww.de/Informationstheorie_und_Quellencodierung/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen  Kapitel 3.1]. Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in [http://www.lntwww.de/Aufgaben:3.02_Erwartungswertberechnungen Aufgabe 3.02]. Dort wurde die Zufallsgrößen  $Y$ = { 0, 1, 2, 3 }  betrachtet, allerdings mit dem Zusatz $Pr(Y = 3)$ = 0. Die so erzwungene Eigenschaft $|X| = |Y|$  war in Aufgabe  [http://www.lntwww.de/Aufgaben:3.02_Erwartungswertberechnungen Aufgabe 3.02] zur formalen Berechnung des Erwartungswertes $E[P_X(X)]$ von Vorteil.
 
 
  
  
  
  
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''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].
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*Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in  [[Aufgaben:Aufgabe_3.2:_Erwartungswertberechnungen|Aufgabe 3.2]].
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*Dort wurde die Zufallsgrößen   $Y = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$   betrachtet, allerdings mit dem Zusatz  ${\rm Pr}(Y = 3) = 0$.
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*Die so erzwungene Eigenschaft  $|X| = |Y|$   war in der vorherigen Aufgabe zur formalen Berechnung des Erwartungswertes  ${\rm E}[P_X(X)]$  von Vorteil.
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'''1.''' Man kommt von  $P_{XY}(X,Y)$ zur 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$ ,indem man alle $Y$-Wahrscheinlichkeiten aufsummiert:
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'''(1)'''&nbsp; Man kommt von&nbsp; $P_{XY}(X,\ Y)$&nbsp; zur 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion&nbsp; $P_X(X)$, indem man alle&nbsp; $Y$-Wahrscheinlichkeiten aufsummiert:
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*Man erhält somit folgende Zahlenwerte:
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'''(2)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; gilt nun:
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'''(3)'''&nbsp; Bei statistischer Unabhängigkeit sollte&nbsp;  $P_{XY}(X,Y)= P_X(X) \cdot P_Y(Y)$&nbsp; sein.
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*Dies trifft hier nicht zu: &nbsp; &nbsp;  Antwort &nbsp; <u>'''Nein'''</u>.
  
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'''(4)'''&nbsp; Ausgehend von  der linken Tabelle &nbsp; &rArr; &nbsp;  $P_{XY}(X,Y)$&nbsp; kommt man zur mittlere Tabelle &nbsp; &rArr; &nbsp; $P_{UY}(U,Y)$, <br>indem man gewisse Wahrscheinlichkeiten entsprechend&nbsp; $U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$&nbsp; zusammenfasst.
  
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[[Datei:P_ID2753__Inf_Z_3_2d_neu.png|right|frame|Verschiedene Wahrscheinlichkeitsfunktionen]]
  
$$P_X(X = 2) =  0+0+0 = 0$$
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Berücksichtigt man noch&nbsp; $V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$, so erhält man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten entsprechend der rechten Tabelle:
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:$$P_{UV}( U = 0, V = 0) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{=  0.375},$$
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:$$P_{UV}( U = 1, V = 0) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{=  0.125},$$
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:$$P_{UV}( U = 1, V = 1) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{=  0.125}.$$
  
$$P_X(X = 3) = 1/4+1/8+0=3/8 =0.375$$
 
  
$$\Rightarrow  P_X(X) = [ 1/2, 1/8 , 0 , 3/8 ]$$
 
  
'''2.''' Analog zur Teilaufgabe (a) gilt nun:  
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'''(5)'''&nbsp; Richtig ist die Antwort &nbsp; <u>'''Ja'''</u>:
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*Die zugehörigen 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten:  &nbsp;
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:$$P_U(U) = \big [1/2 , \ 1/2 \big ],$$
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:$$P_V(V)=\big [3/4, \ 1/4 \big ].$$ 
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*Damit gilt:&nbsp; $P_{UV}(U,V) = P_U(U) \cdot  P_V(V)$  &nbsp; &rArr;  &nbsp;  $U$&nbsp; und&nbsp; $V$&nbsp;  sind statistisch unabhängig. 
  
$$P_Y(Y = y_{\kappa}) = \sum_{x \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} X} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x, y_{\kappa})$$
 
  
$\Rightarrow  P_Y(Y= 0) = 1/4+0+0+1/4 = 1/2 = 0.500$
 
  
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$P_Y(Y = 2) = 1/8+1/8+0+0 = 1/4 = 0.250$
 
  
$\Rightarrow  P_Y(Y= 0) = [ 1/2, 1/4 , 1/4 ]$
 
  
  
  
  
'''3.'''
 
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[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie|^3.1 Einige Vorbemerkungen zu zweidimensionalen Zufallsgrößen^]]
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[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie|^3.1 Allgemeines zu 2D-Zufallsgrößen^]]

Version vom 30. Januar 2020, 14:51 Uhr

Wahrscheinlichkeitsfunktion der 2D–Zufallsgröße  $XY$

Wir betrachten die Zufallsgrößen  $X = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$  und  $Y = \{ 0,\ 1,\ 2 \}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_{XY}(X,\ Y)$  gegeben ist.

  • Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen  $P_X(X)$  und  $P_Y(Y)$  ermittelt werden.
  • Man nennt eine solche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion manchmal auch Randwahrscheinlichkeit  (englisch:  Marginal Probability).


Gilt  $P_{XY}(X,\ Y) = P_X(X) \cdot P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  statistisch unabhängig.  Andernfalls bestehen zwischen diesen statistische Bindungen.

Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen  $U= \big \{ 0,\ 1 \big \}$  und  $V= \big \{ 0,\ 1 \big \}$, die sich aus  $X$  und  $Y$  durch Modulo–2–Operationen ergeben:

$$U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2, \hspace{0.3cm} V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2.$$





Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen.
  • Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in  Aufgabe 3.2.
  • Dort wurde die Zufallsgrößen  $Y = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$  betrachtet, allerdings mit dem Zusatz  ${\rm Pr}(Y = 3) = 0$.
  • Die so erzwungene Eigenschaft  $|X| = |Y|$  war in der vorherigen Aufgabe zur formalen Berechnung des Erwartungswertes  ${\rm E}[P_X(X)]$  von Vorteil.


Fragebogen

1

Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_X(X)$?

$P_X(0) \ = \ $

$P_X(1) \ = \ $

$P_X(2)\ = \ $

$P_X(3) \ = \ $

2

Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_Y(Y)$?

$P_Y(0) \ = \ $

$P_Y(1) \ = \ $

$P_Y(2) \ = \ $

3

Sind die Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  statistisch unabhängig?

Ja,
Nein.

4

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten  $P_{UV}( U,\ V)$.

$P_{UV}( U = 0,\ V = 0) \ = \ $

$P_{UV}( U = 0,\ V = 1) \ = \ $

$P_{UV}( U = 1,\ V = 0) \ = \ $

$P_{UV}( U =1,\ V = 1) \ = \ $

5

Sind die Zufallsgrößen  $U$  und  $V$  statistisch unabhängig?

Ja,
Nein.


Musterlösung

(1)  Man kommt von  $P_{XY}(X,\ Y)$  zur 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion  $P_X(X)$, indem man alle  $Y$-Wahrscheinlichkeiten aufsummiert:

$$P_X(X = x_{\mu}) = \sum_{y \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} Y} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x_{\mu}, y).$$
  • Man erhält somit folgende Zahlenwerte:
$$P_X(X = 0) = 1/4+1/8+1/8 = 1/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.500},$$
$$P_X(X = 1)= 0+0+1/8 = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},$$
$$P_X(X = 2) = 0+0+0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$$
$$P_X(X = 3) = 1/4+1/8+0=3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375}\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} P_X(X) = \big [ 1/2, \ 1/8 , \ 0 , \ 3/8 \big ].$$


(2)  Analog zur Teilaufgabe  (1)  gilt nun:

$$P_Y(Y = y_{\kappa}) = \sum_{x \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} X} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x, y_{\kappa})$$
$$P_Y(Y= 0) = 1/4+0+0+1/4 = 1/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.500},$$
$$P_Y(Y = 1) = 1/8+0+0+1/8 = 1/4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.250},$$
$$P_Y(Y = 2) = 1/8+1/8+0+0 = 1/4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.250} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} P_Y(Y= 0) = \big [ 1/2, \ 1/4 , \ 1/4 ].$$


(3)  Bei statistischer Unabhängigkeit sollte  $P_{XY}(X,Y)= P_X(X) \cdot P_Y(Y)$  sein.

  • Dies trifft hier nicht zu:     Antwort   Nein.


(4)  Ausgehend von der linken Tabelle   ⇒   $P_{XY}(X,Y)$  kommt man zur mittlere Tabelle   ⇒   $P_{UY}(U,Y)$,
indem man gewisse Wahrscheinlichkeiten entsprechend  $U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$  zusammenfasst.

Verschiedene Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Berücksichtigt man noch  $V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$, so erhält man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten entsprechend der rechten Tabelle:

$$P_{UV}( U = 0, V = 0) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},$$
$$P_{UV}( U = 0, V = 1) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},$$
$$P_{UV}( U = 1, V = 0) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},$$
$$P_{UV}( U = 1, V = 1) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125}.$$


(5)  Richtig ist die Antwort   Ja:

  • Die zugehörigen 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten:  
$$P_U(U) = \big [1/2 , \ 1/2 \big ],$$
$$P_V(V)=\big [3/4, \ 1/4 \big ].$$
  • Damit gilt:  $P_{UV}(U,V) = P_U(U) \cdot P_V(V)$   ⇒   $U$  und  $V$  sind statistisch unabhängig.