Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Wir betrachten die Zufallsgrößen $X = \{ 0, 1, 2, 3 \}$ und $Y = \{ 0, 1, 2 \}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{XY}(X,Y)$ gegeben ist. | + | Wir betrachten die Zufallsgrößen $X = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$ und $Y = \{ 0,\ 1,\ 2 \}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{XY}(X,\ Y)$ gegeben ist. |
| − | *Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(X)$ und $P_Y(Y)$ ermittelt werden. | + | *Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(X)$ und $P_Y(Y)$ ermittelt werden. |
| − | *Man nennt eine solche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion manchmal auch Randwahrscheinlichkeit (englisch: ''Marginal Probability''). | + | *Man nennt eine solche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion manchmal auch Randwahrscheinlichkeit (englisch: ''Marginal Probability''). |
| − | Gilt $P_{XY}(X, Y) = P_X(X) \cdot P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig. Andernfalls bestehen statistische Bindungen | + | Gilt $P_{XY}(X,\ Y) = P_X(X) \cdot P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig. Andernfalls bestehen zwischen diesen statistische Bindungen. |
| − | Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen $U= \big \{ 0, 1 \big \}$ und $V= \big \{ 0, 1 \big \}$, die sich aus $X$ und $Y$ durch Modulo–2–Operationen ergeben: | + | Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen $U= \big \{ 0,\ 1 \big \}$ und $V= \big \{ 0,\ 1 \big \}$, die sich aus $X$ und $Y$ durch Modulo–2–Operationen ergeben: |
:$$U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2, \hspace{0.3cm} V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2.$$ | :$$U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2, \hspace{0.3cm} V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2.$$ | ||
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| − | *Die so erzwungene Eigenschaft $|X| = |Y|$ war in der vorherigen Aufgabe zur formalen Berechnung des Erwartungswertes ${\rm E}[P_X(X)]$ von Vorteil. | + | *Die so erzwungene Eigenschaft $|X| = |Y|$ war in der vorherigen Aufgabe zur formalen Berechnung des Erwartungswertes ${\rm E}[P_X(X)]$ von Vorteil. |
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| − | + | Berücksichtigt man noch $V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$, so erhält man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten entsprechend der rechten Tabelle: | |
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| − | *Die zugehörigen 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten: $P_U(U) = \big [1/2 , \ 1/2 \big ]$ | + | *Die zugehörigen 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten: |
| − | *Damit gilt $P_{UV}(U,V) = P_U(U) \cdot P_V(V)$ ⇒ $U$ und $V$ sind statistisch unabhängig. | + | :$$P_U(U) = \big [1/2 , \ 1/2 \big ],$$ |
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| + | *Damit gilt: $P_{UV}(U,V) = P_U(U) \cdot P_V(V)$ ⇒ $U$ und $V$ sind statistisch unabhängig. | ||
Version vom 30. Januar 2020, 15:51 Uhr
Wahrscheinlichkeitsfunktion der 2D–Zufallsgröße $XY$
Wir betrachten die Zufallsgrößen $X = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$ und $Y = \{ 0,\ 1,\ 2 \}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{XY}(X,\ Y)$ gegeben ist.
- Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(X)$ und $P_Y(Y)$ ermittelt werden.
- Man nennt eine solche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion manchmal auch Randwahrscheinlichkeit (englisch: Marginal Probability).
Gilt $P_{XY}(X,\ Y) = P_X(X) \cdot P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig. Andernfalls bestehen zwischen diesen statistische Bindungen.
Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen $U= \big \{ 0,\ 1 \big \}$ und $V= \big \{ 0,\ 1 \big \}$, die sich aus $X$ und $Y$ durch Modulo–2–Operationen ergeben:
- $$U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2, \hspace{0.3cm} V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen.
- Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in Aufgabe 3.2.
- Dort wurde die Zufallsgrößen $Y = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \}$ betrachtet, allerdings mit dem Zusatz ${\rm Pr}(Y = 3) = 0$.
- Die so erzwungene Eigenschaft $|X| = |Y|$ war in der vorherigen Aufgabe zur formalen Berechnung des Erwartungswertes ${\rm E}[P_X(X)]$ von Vorteil.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Man kommt von $P_{XY}(X,\ Y)$ zur 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$, indem man alle $Y$-Wahrscheinlichkeiten aufsummiert:
- $$P_X(X = x_{\mu}) = \sum_{y \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} Y} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x_{\mu}, y).$$
- Man erhält somit folgende Zahlenwerte:
- $$P_X(X = 0) = 1/4+1/8+1/8 = 1/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.500},$$
- $$P_X(X = 1)= 0+0+1/8 = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},$$
- $$P_X(X = 2) = 0+0+0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$$
- $$P_X(X = 3) = 1/4+1/8+0=3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375}\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} P_X(X) = \big [ 1/2, \ 1/8 , \ 0 , \ 3/8 \big ].$$
(2) Analog zur Teilaufgabe (1) gilt nun:
- $$P_Y(Y = y_{\kappa}) = \sum_{x \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} X} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x, y_{\kappa})$$
- $$P_Y(Y= 0) = 1/4+0+0+1/4 = 1/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.500},$$
- $$P_Y(Y = 1) = 1/8+0+0+1/8 = 1/4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.250},$$
- $$P_Y(Y = 2) = 1/8+1/8+0+0 = 1/4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.250} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} P_Y(Y= 0) = \big [ 1/2, \ 1/4 , \ 1/4 ].$$
(3) Bei statistischer Unabhängigkeit sollte $P_{XY}(X,Y)= P_X(X) \cdot P_Y(Y)$ sein.
- Dies trifft hier nicht zu: Antwort Nein.
(4) Ausgehend von der linken Tabelle ⇒ $P_{XY}(X,Y)$ kommt man zur mittlere Tabelle ⇒ $P_{UY}(U,Y)$,
indem man gewisse Wahrscheinlichkeiten entsprechend $U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$ zusammenfasst.
Verschiedene Wahrscheinlichkeitsfunktionen
Berücksichtigt man noch $V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$, so erhält man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten entsprechend der rechten Tabelle:
- $$P_{UV}( U = 0, V = 0) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},$$
- $$P_{UV}( U = 0, V = 1) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},$$
- $$P_{UV}( U = 1, V = 0) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},$$
- $$P_{UV}( U = 1, V = 1) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125}.$$
(5) Richtig ist die Antwort Ja:
- Die zugehörigen 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten:
- $$P_U(U) = \big [1/2 , \ 1/2 \big ],$$
- $$P_V(V)=\big [3/4, \ 1/4 \big ].$$
- Damit gilt: $P_{UV}(U,V) = P_U(U) \cdot P_V(V)$ ⇒ $U$ und $V$ sind statistisch unabhängig.
