Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: (3, 1, 3)–Faltungscodierer: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(4 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
 
{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Algebraische und polynomische Beschreibung}}
 
{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Algebraische und polynomische Beschreibung}}
  
[[Datei:P_ID2625__KC_Z_3_2_neu.png|right|frame|Faltungscoder mit $k = 1, \ n = 3$ und $m = 3$]]
+
[[Datei:P_ID2625__KC_Z_3_2_neu.png|right|frame|Faltungscodierer mit den Parametern  $k = 1, \ n = 3$ und $m = 3$]]
  
Der dargestellte Faltungscodierer wird durch die Parameter $k = 1$ (nur eine Informationssequenz $\underline{u}$) sowie $n = 3$ (drei Codesequenzen $\underline{x}^{(1)}, \ \underline{x}^{(2)}, \ \underline{x}^{(3)}$) charakterisiert. Aus der Anzahl der Speicherzellen ergibt sich das Gedächtnis $m = 3$.
+
Der dargestellte Faltungscodierer wird durch die Parameter 
 +
*$k = 1$  $($nur eine Informationssequenz  $\underline{u})$  sowie 
 +
* $n = 3$  $($drei Codesequenzen $\underline{x}^{(1)}, \ \underline{x}^{(2)}, \ \underline{x}^{(3)})$ 
  
Mit dem Informationsbit $u_i$ zum Codierschritt $i$ erhält man die folgenden Codebits:
+
 
 +
charakterisiert. Aus der Anzahl der Speicherzellen ergibt sich das Gedächtnis  $m = 3$.
 +
 
 +
Mit dem Informationsbit  $u_i$  zum Codierschritt  $i$  erhält man die folgenden Codebits:
 
:$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-1} + u_{i-3}\hspace{0.05cm},$$
 
:$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-1} + u_{i-3}\hspace{0.05cm},$$
 
:$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-1} + u_{i-2} + u_{i-3} \hspace{0.05cm},$$
 
:$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-1} + u_{i-2} + u_{i-3} \hspace{0.05cm},$$
 
:$$x_i^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}  + u_{i-2} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$x_i^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}  + u_{i-2} \hspace{0.05cm}.$$
  
Daraus lassen sich Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$ ableiten, wie auf der [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Aufteilung_der_Generatormatrix_in_Teilmatrizen| Theorieseite 1]] dieses Kapitels beschrieben. Für die Generatormatrix kann somit geschrieben werden:
+
Daraus lassen sich Teilmatrizen  $\mathbf{G}_l$  ableiten, wie auf der Seite  [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Aufteilung_der_Generatormatrix_in_Teilmatrizen|Aufteilung der Generatormatrix inTeilmatrizen]]  beschrieben.  
 +
 
 +
*Für die Generatormatrix kann somit geschrieben werden:
 
:$$ { \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix}
 
:$$ { \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix}
 
{ \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots  & { \boldsymbol{\rm G}}_m & & & \\
 
{ \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots  & { \boldsymbol{\rm G}}_m & & & \\
Zeile 16: Zeile 23:
 
&          & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m &\\
 
&          & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m &\\
 
&          &          & \ddots  & \ddots & & & \ddots
 
&          &          & \ddots  & \ddots & & & \ddots
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm},$$
+
\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
  
und für die Codesequenz $\underline{x} = (x_1^{(1)}, \ x_1^{(2)}, \ x_1^{(3)}, \ x_2^{(1)}, \ x_2^{(2)}, \ x_2^{(3)}, \ ...)$ gilt:
+
*Für die Codesequenz $\underline{x} = (x_1^{(1)}, \ x_1^{(2)}, \ x_1^{(3)}, \ x_2^{(1)}, \ x_2^{(2)}, \ x_2^{(3)}, \ \text{...})$ gilt:
 
:$$\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}  \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}  \hspace{0.05cm}.$$
 +
 +
 +
 +
 +
 +
  
 
''Hinweise:''
 
''Hinweise:''
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
+
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
+
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Aufteilung_der_Generatormatrix_in_Teilmatrizen|Aufteilung der Generatormatrix in Teilmatrizen]].  
 +
  
  
Zeile 29: Zeile 43:
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Aus wievielen Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$ setzt sich die Matrix $\mathbf{G}$ zusammen?
+
{Aus wievielen Teilmatrizen&nbsp; $\mathbf{G}_l$&nbsp; setzt sich die Matrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; zusammen?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm Anzahl \ der \ Teilmatrizen} \ = \ ${ 4 3% }
+
${\rm Anzahl \ der \ Teilmatrizen} \ = \ ${ 4 }
  
{Welche Dimension besitzen die Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$?
+
{Welche Dimension besitzen die Teilmatrizen&nbsp; $\mathbf{G}_l$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm Zeilenzahl \ der \ Teilmatrizen} \hspace{0.425cm} = \ ${ 1 3% }  
+
${\rm Zeilenzahl \ der \ Teilmatrizen} \hspace{0.425cm} = \ ${ 1 }  
${\rm Spaltenzahl \ der \ Teilmatrizen} \ = \ ${ 3 3% }  
+
${\rm Spaltenzahl \ der \ Teilmatrizen} \ = \ ${ 3 }  
  
 
{Welche Aussagen sind richtig?
 
{Welche Aussagen sind richtig?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Es gilt $\mathbf{G}_0 = (1, 1, 1)$.
+
+ Es gilt&nbsp; $\mathbf{G}_0 = (1, 1, 1)$.
+ Es gilt $\mathbf{G}_ 1 = (1, 1, 0)$.
+
+ Es gilt&nbsp; $\mathbf{G}_ 1 = (1, 1, 0)$.
+ Es gilt $\mathbf{G}_2 = (0, 1, 1)$.
+
+ Es gilt&nbsp; $\mathbf{G}_2 = (0, 1, 1)$.
+ Es gilt $\mathbf{G}_3 = (1, 1, 0)$.
+
+ Es gilt&nbsp; $\mathbf{G}_3 = (1, 1, 0)$.
  
{Erstellen Sie die Generatormatrix $\mathbf{G}$ mit 5 Zeilen und 15 Spalten. Welche Codesequenz ergibt sich für $\underline{u} = (1, 0, 1, 1, 0)$?
+
{Erstellen Sie die Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; mit fünf Zeilen und fünfzehn Spalten. <br>Welche Codesequenz ergibt sich für&nbsp; $\underline{u} = (1, 0, 1, 1, 0)$?
|type="[]"}
+
|type="()"}
- Es gilt $\underline{x} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, \ ...).$
+
- Es gilt&nbsp; $\underline{x} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, \text{...}).$
+ Es gilt $\underline{x} = (1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, \ ...).$
+
+ Es gilt&nbsp; $\underline{x} = (1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, \text{...}).$
- Es gilt $\underline{x} = (0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, \ ...).$
+
- Es gilt&nbsp; $\underline{x} = (0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, \text{...}).$
 
</quiz>
 
</quiz>
  
Zeile 55: Zeile 69:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Für den Index $l$ der Teilmatrizen gilt $0 &#8804; l &#8804; m$. Der betrachtete Coder hat das Gedächtnis $m = 3$. Damit sind <u>vier Teilmatrizen</u> zu berücksichtigen.
+
'''(1)'''&nbsp; Für den Index $l$ der Teilmatrizen gilt $0 &#8804; l &#8804; m$.  
 +
*Der betrachtete Coder hat das Gedächtnis $m = 3$.  
 +
*Damit sind <u>vier Teilmatrizen</u> zu berücksichtigen.
  
  
'''(2)'''&nbsp; Jede Teilmatrix $\mathbf{G}_l$ besteht aus <u>einer Zeile</u> &nbsp;&#8658;&nbsp; $k = 1$ und <u>drei Spalten</u> &nbsp;&#8658;&nbsp; $n = 3$.
 
  
 +
'''(2)'''&nbsp; Jede Teilmatrix $\mathbf{G}_l$ besteht aus
 +
*<u>einer Zeile</u> &nbsp;&#8658;&nbsp; $k = 1$, und
 +
*<u>drei Spalten</u> &nbsp;&#8658;&nbsp; $n = 3$.
  
'''(3)'''&nbsp; <u>Alle Aussagen</u> sind richtig. Da das aktuelle Informationsbit $u_i$ alle drei Ausgänge $x_i^{(1)}, \ x_i^{(2)}$ und $x_i^{(3)}$ beeinflusst, ist $\mathbf{G}_0 = (1, 1, 1)$. Dagegen sagt $\mathbf{G}_3 = (1, 1, 0)$ aus, dass nur die beiden ersten Eingänge von $u_{i&ndash;3}$ beeinflusst werden, nicht aber $x_i^{(3)}$.
 
  
  
'''(4)'''&nbsp; Die gesuchte Generatormatrix $\mathbf{G}$ ist nachfolgend dargestellt, wobei die vier Teilmatrizen $\mathbf{G}_0, \ ... , \mathbf{G}_3$ farblich unterschieden sind. Die Vektorgleichung
+
'''(3)'''&nbsp; <u>Alle Aussagen</u> sind richtig:
:$$\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1) \cdot { \boldsymbol{\rm G}} $$
+
*Da das aktuelle Informationsbit $u_i$ alle drei Ausgänge $x_i^{(1)}, \ x_i^{(2)}$ und $x_i^{(3)}$ beeinflusst, ist $\mathbf{G}_0 = (1, 1, 1)$.  
 +
*Dagegen sagt $\mathbf{G}_3 = (1, 1, 0)$ aus, dass nur die beiden ersten Eingänge von $u_{i-3}$ beeinflusst werden, nicht aber $x_i^{(3)}$.
  
liefert das Ergebnis entsprechend dem <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Die Codesequenz $\underline{x}$ ist dabei gleich der Modulo&ndash;2&ndash;Summe der Matrixzeilen 1, 3 und 4.
 
  
[[Datei:P_ID2626__KC_Z_3_2d.png|center|frame|Generatormatrix $\mathbf{G}$]]
 
  
Farblich unterschieden sind die drei Codesequenzen der einzelnen Zweige. Beispielsweise gilt für den unteren Ausgang:
+
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 +
[[Datei:P_ID2626__KC_Z_3_2d.png|right|frame|Generatormatrix $\mathbf{G}$]]
 +
*Die gesuchte Generatormatrix $\mathbf{G}$ ist rechts dargestellt, wobei die vier Teilmatrizen $\mathbf{G}_0, \ ... , \mathbf{G}_3$ farblich unterschieden sind.
 +
*Die folgende  Vektorgleichung liefert das Ergebnis entsprechend dem zweiten Lösungsvorschlag 2:
 +
:$$\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1) \cdot { \boldsymbol{\rm G}}. $$
 +
*Die Codesequenz $\underline{x}$ ist dabei gleich der Modulo&ndash;2&ndash;Summe der Matrixzeilen 1, 3 und 4.
 +
 
 +
*Farblich unterschieden sind die drei Codesequenzen der einzelnen Zweige. Beispielsweise gilt für den unteren Ausgang:
 
:$$\underline{x}^{(3)} =  (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\underline{x}^{(3)} =  (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$
  
Zeile 81: Zeile 104:
 
:$${x}_5^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  u_5 + u_{3} = 0+ 1 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${x}_5^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  u_5 + u_{3} = 0+ 1 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
  
Berücksichtigt ist hierbei die Speichervorbelegung mit Nullen: $u_0 = u_{&ndash;1} = 0$.
+
''Anmerkungen:''
 
+
*Berücksichtigt ist hierbei die Speichervorbelegung mit Nullen: $u_0 = u_{&ndash;1} = 0$.
''Anmerkung:'' Ist wie hier angenommen die Informationssequenz auf vier Bit begrenzt, so können in der Codesequenz Einsen bis zur Position $(4 + m) \cdot n = 21$ vorkommen.
+
*Ist wie hier angenommen die Informationssequenz auf vier Bit begrenzt, so können in der Codesequenz Einsen bis zur Position $(4 + m) \cdot n = 21$ vorkommen.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 4. Juni 2019, 16:32 Uhr

Faltungscodierer mit den Parametern  $k = 1, \ n = 3$ und $m = 3$

Der dargestellte Faltungscodierer wird durch die Parameter 

  • $k = 1$  $($nur eine Informationssequenz  $\underline{u})$  sowie 
  • $n = 3$  $($drei Codesequenzen $\underline{x}^{(1)}, \ \underline{x}^{(2)}, \ \underline{x}^{(3)})$ 


charakterisiert. Aus der Anzahl der Speicherzellen ergibt sich das Gedächtnis  $m = 3$.

Mit dem Informationsbit  $u_i$  zum Codierschritt  $i$  erhält man die folgenden Codebits:

$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-1} + u_{i-3}\hspace{0.05cm},$$
$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-1} + u_{i-2} + u_{i-3} \hspace{0.05cm},$$
$$x_i^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i} + u_{i-2} \hspace{0.05cm}.$$

Daraus lassen sich Teilmatrizen  $\mathbf{G}_l$  ableiten, wie auf der Seite  Aufteilung der Generatormatrix inTeilmatrizen  beschrieben.

  • Für die Generatormatrix kann somit geschrieben werden:
$$ { \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix} { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & & & \\ & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & &\\ & & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m &\\ & & & \ddots & \ddots & & & \ddots \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
  • Für die Codesequenz $\underline{x} = (x_1^{(1)}, \ x_1^{(2)}, \ x_1^{(3)}, \ x_2^{(1)}, \ x_2^{(2)}, \ x_2^{(3)}, \ \text{...})$ gilt:
$$\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} \hspace{0.05cm}.$$




Hinweise:



Fragebogen

1

Aus wievielen Teilmatrizen  $\mathbf{G}_l$  setzt sich die Matrix  $\mathbf{G}$  zusammen?

${\rm Anzahl \ der \ Teilmatrizen} \ = \ $

2

Welche Dimension besitzen die Teilmatrizen  $\mathbf{G}_l$?

${\rm Zeilenzahl \ der \ Teilmatrizen} \hspace{0.425cm} = \ $

${\rm Spaltenzahl \ der \ Teilmatrizen} \ = \ $

3

Welche Aussagen sind richtig?

Es gilt  $\mathbf{G}_0 = (1, 1, 1)$.
Es gilt  $\mathbf{G}_ 1 = (1, 1, 0)$.
Es gilt  $\mathbf{G}_2 = (0, 1, 1)$.
Es gilt  $\mathbf{G}_3 = (1, 1, 0)$.

4

Erstellen Sie die Generatormatrix  $\mathbf{G}$  mit fünf Zeilen und fünfzehn Spalten.
Welche Codesequenz ergibt sich für  $\underline{u} = (1, 0, 1, 1, 0)$?

Es gilt  $\underline{x} = (1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, \text{...}).$
Es gilt  $\underline{x} = (1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, \text{...}).$
Es gilt  $\underline{x} = (0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, \text{...}).$


Musterlösung

(1)  Für den Index $l$ der Teilmatrizen gilt $0 ≤ l ≤ m$.

  • Der betrachtete Coder hat das Gedächtnis $m = 3$.
  • Damit sind vier Teilmatrizen zu berücksichtigen.


(2)  Jede Teilmatrix $\mathbf{G}_l$ besteht aus

  • einer Zeile  ⇒  $k = 1$, und
  • drei Spalten  ⇒  $n = 3$.


(3)  Alle Aussagen sind richtig:

  • Da das aktuelle Informationsbit $u_i$ alle drei Ausgänge $x_i^{(1)}, \ x_i^{(2)}$ und $x_i^{(3)}$ beeinflusst, ist $\mathbf{G}_0 = (1, 1, 1)$.
  • Dagegen sagt $\mathbf{G}_3 = (1, 1, 0)$ aus, dass nur die beiden ersten Eingänge von $u_{i-3}$ beeinflusst werden, nicht aber $x_i^{(3)}$.


(4)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

Generatormatrix $\mathbf{G}$
  • Die gesuchte Generatormatrix $\mathbf{G}$ ist rechts dargestellt, wobei die vier Teilmatrizen $\mathbf{G}_0, \ ... , \mathbf{G}_3$ farblich unterschieden sind.
  • Die folgende Vektorgleichung liefert das Ergebnis entsprechend dem zweiten Lösungsvorschlag 2:
$$\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1) \cdot { \boldsymbol{\rm G}}. $$
  • Die Codesequenz $\underline{x}$ ist dabei gleich der Modulo–2–Summe der Matrixzeilen 1, 3 und 4.
  • Farblich unterschieden sind die drei Codesequenzen der einzelnen Zweige. Beispielsweise gilt für den unteren Ausgang:
$$\underline{x}^{(3)} = (1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}.$$

Anhand der vorne angegebenen Gleichungen kann dieses Resultat verifiziert werden:

$${x}_1^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_1 + u_{-1} = 1+ (0) = 1 \hspace{0.05cm},$$
$${x}_2^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_2 + u_{0} = 0+ (0) = 0 \hspace{0.05cm},$$
$${x}_3^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_3 + u_{1} = 1+1 = 0 \hspace{0.05cm},$$
$${x}_4^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_4 + u_{2} = 1+0 = 1 \hspace{0.05cm},$$
$${x}_5^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_5 + u_{3} = 0+ 1 = 1 \hspace{0.05cm}.$$

Anmerkungen:

  • Berücksichtigt ist hierbei die Speichervorbelegung mit Nullen: $u_0 = u_{–1} = 0$.
  • Ist wie hier angenommen die Informationssequenz auf vier Bit begrenzt, so können in der Codesequenz Einsen bis zur Position $(4 + m) \cdot n = 21$ vorkommen.