Aufgabe 3.2: G–Matrix eines Faltungscodierers
Wir betrachten wie in Aufgabe A3.1 den nebenstehend gezeichneten Faltungscodierer der Rate $3/4$. Dieser wird durch den folgenden Gleichungssatz charakterisiert:
- $$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} \hspace{0.05cm},$$
- $$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(2)} + u_{i-1}^{(3)} \hspace{0.05cm},$$
- $$x_i^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(2)} + u_{i}^{(3)}+ u_{i-1}^{(2)} + u_{i-2}^{(3)} \hspace{0.05cm},$$
- $$x_i^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i}^{(3)}+ u_{i-2}^{(3)}\hspace{0.05cm}.$$
Bezieht man sich auf die bei $i = 1$ beginnenden und sich zeitlich bis ins Unendliche erstreckenden Sequenzen
- $$\underline{\it u} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left ( \underline{\it u}_1, \underline{\it u}_2, ... \hspace{0.1cm}, \underline{\it u}_i , ... \hspace{0.1cm} \right )\hspace{0.05cm},$$
- $$\underline{\it x} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \left ( \underline{\it x}_1, \underline{\it x}_2, ... \hspace{0.1cm}, \underline{\it x}_i , ... \hspace{0.1cm} \right )$$
mit $\underline{u}_i = (u_i^{(1)}, u_i^{(2)}, \ ... \ , u_i^{(k)})$ bzw. $\underline{x}_i = (x_i^{(1)}, x_i^{(2)}, \ ... \ , x_i^{(n)})$, so kann der Zusammenhang zwischen der Informationssequenz $\underline{u}$ und der Codesequenz $\underline{x}$ durch die Generatormatrix $\mathbf{G}$ in folgender Form ausgedrückt werden:
- $$\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} \hspace{0.05cm}.$$
Für die Generatormatrix eines Faltungscoders mit dem Gedächtnis $m$ ist dabei zu setzen:
- $${ \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix} { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & & & \\ & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m & &\\ & & { \boldsymbol{\rm G}}_0 & { \boldsymbol{\rm G}}_1 & { \boldsymbol{\rm G}}_2 & \cdots & { \boldsymbol{\rm G}}_m &\\ & & & \ddots & \ddots & & & \ddots \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei bezeichnen $\boldsymbol{G}_0, \boldsymbol{G}_1, \boldsymbol{G}_2, \ ...$ Teilmatrizen mit jeweils $k$ Zeilen und $n$ Spalten sowie binären Matrixelementen ($0$ oder $1$). Ist das Matrixelement $\boldsymbol{G}_k(\kappa, j) = 1$, so bedeutet dies, dass das Codebit $x_i^{(j)}$ durch das Informationsbit $u_{i–l}^{(\kappa)}$ beeinflusst wird. Andernfalls ist dieses Matrixelement gleich $0$.
Ziel dieser Aufgabe ist es, die zur Informationssequenz
- $$\underline{u} = (\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm})$$
gehörige Codesequenz $\underline{x}$ entsprechend den obigen Vorgaben zu berechnen. Das Ergebnis müsste mit dem Ergebnis von Aufgabe A3.1 übereinstimmen, das allerdings auf anderem Wege erzielt wurde.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Algebraische und polynomische Beschreibung.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
