Aufgabe 3.2: Augendiagramm nach Gaußtiefpass

Gegeben sei ein binäres bipolares redundanzfreies Basisbandsystem mit der Bitrate $R_B = 100\,{\rm Mbit/s}$ und folgenden Eigenschaften:

Die Sendeimpulse seien rechteckförmig, die möglichen Amplitudenwerte sind $± 1\,{\rm V}$.
Die AWGN–Rauschleistungsdichte (auf den Widerstand $1 \, \Omega$) ist $10^{\rm -9} \, {\rm V}^2/{\rm Hz}$.
Als Empfangsfilter wird ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_G = 50 \, {\rm MHz}$ verwendet. Der Frequenzgang lautet:

$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{f}^2/({2f_{\rm G}})^2} \hspace{0.05cm}.$$

Der Detektionsgrundimpuls $g_d(t) = g_s(t) * h_G(t)$ ist in der Grafik dargestellt (rote Kurve). Einige markante Impulswerte sind angegeben.
Die Detektionsrauschleistung kann mit folgender Gleichung berechnet werden:

$$\sigma_d^2 = {N_0}/{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.$$

Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit kann man zum Beispiel das Augendiagramm heranziehen.

Die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_S$ ergibt sich daraus nach einer Mittelung über alle möglichen Detektionsnutzabtastwerte.
Als eine obere Schranke für $p_S$ dient die ungünstige Fehlerwahrscheinlichkeit.

$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})/2}{ \sigma_d} \right) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2}= g_d(t=0) - |g_d(t=T)|- |g_d(t=-T)|-\hspace{0.15cm} ...$$

Hierbei bezeichnet $\ddot{o}(T_D)$ die vertikale Augenöffnung. Der Detektionszeitpunkt $T_D = 0$ sei optimal gewählt.

Hinweis:

Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Grundlagen der codierten Übertragung.
Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das folgende Interaktionsmodul: Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen

Fragebogen

$T$ =

${\rm ns}$

$\sigma_d$ =

${\rm V}$

$g_0$ =

${\rm V}$

$g_1$ =

${\rm V}$

$g_2$ =

${\rm V}$

$\ddot{o}(T_D)$ =

${\rm V}$

$p_U$ =

$\cdot 10^{\rm -3}$

$p_S$ =

$\cdot 10^{\rm -4}$

$s_0$ =

${\rm V}$

Musterlösung

(1) Die Symboldauer ist der Kehrwert der Bitrate:

$$T = \frac{1}{10^8\,{\rm bit/s}} = 10^{-8}\,{\rm s}\hspace{0.15cm}\underline { = 10\,{\rm ns}} \hspace{0.05cm}.$$

(2) Die Integration entsprechend der angegebenen Gleichung führt auf:

$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}}= \frac{10^{-9}\,{\rm V/Hz} \cdot 5 \cdot 10^{7}\,{\rm Hz} }{\sqrt{2}}\approx 0.035\,{\rm V^2}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma_d \hspace{0.15cm}\underline { = 0.188\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(3) Diese Werte können aus der Grafik entnommen werden:

$$g_0 = g_d(0)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.790\,{\rm V}}, \hspace{0.2cm}g_1 = g_d(10\,{\rm ns}) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.105\,{\rm V}}= g_{-1}, \hspace{0.2cm}g_2 = g_{-2} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Mit den unter c) berechneten Grundimpulswerten erhält man für die vertikale Augenöffnung:

$$\ddot{o}(T_{\rm D}) = 2 \cdot (g_0 - g_1 - g_{-1}) = 2 \cdot (0.790\,{\rm V} - 2\cdot 0.105\,{\rm V}) \hspace{0.15cm}\underline {= 1.16\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

Zusammen mit dem Rauscheffektivwert erhält man somit für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit:

$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \frac{1.16\,{\rm V}/2}{ 0.188\,{\rm V}} \right) \approx {\rm Q}(3.08)\hspace{0.15cm}\underline {\approx 10^{-3}} \hspace{0.05cm}.$$

Die Nachfolgende rechte Grafik zeigt das Augendiagramm ohne Rauschen. Man erkennt hieraus die vertikale Augenöffnung in Symbolmitte: $\ddot{o}(T_D = 0) = 2 \cdot 0.58 \cdot s_0$

(5) Aus obigem Augendiagramm erkennt man, dass das Nutzsignal zum Detektionszeitpunkt $T_D = 0$ sechs verschiedene Werte annehmen kann. In der oberen Augenhälfte sind dies:

$$1.)\hspace{0.2cm} g_0 + g_1 + g_{-1} = 0.790\,{\rm V} + 2\cdot 0.105\,{\rm V}= 1\,{\rm V} = s_0$$

$$\hspace{0.6cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm 1} = {\rm Q} \left( \frac{1\,{\rm V}}{ 0.188\,{\rm V}} \right) \approx 5 \cdot 10^{-8} \hspace{0.05cm},$$

$$2.)\hspace{0.2cm} g_0 = 0.790\,{\rm V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm 2} = {\rm Q} \left( \frac{0.790\,{\rm V}}{ 0.188\,{\rm V}} \right) \approx 1.3 \cdot 10^{-5} \hspace{0.05cm},$$

$$3.)\hspace{0.2cm} g_0 - g_1 - g_{-1} = 0.580\,{\rm V} = \ddot{o}(T_{\rm D})/2\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm 3} = p_{\rm U} \approx 10^{-3} \hspace{0.05cm}.$$

Durch Mittelung über diese Werte mit geeigneter Gewichtung ($p_2$ tritt doppelt so oft wie $p_1$ und $p_3$ auf) erhält man:

$$p_{\rm S} \ = \ {1}/{4} \cdot (p_{\rm 1} + 2 \cdot p_{\rm 2} + p_{\rm 3}) = $$

$$ \ = \ {1}/{4} \cdot (5 \cdot 10^{-8} + 2 \cdot 1.3 \cdot 10^{-5} + 10^{-3}) \hspace{0.15cm}\underline { \approx 2.56 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$

Da $p_1$ und $p_2$ sehr viel kleiner als $p_3 = p_U$ sind, ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit (nahezu) um den Faktor 4 kleiner als $p_U$.

(6) Um eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit zu erreichen, muss $s_0$ auf jeden Fall vergrößert werden. Damit ist die Näherung $p_S ≈ p_U/4$ noch genauer:

$$p_{\rm S} \le 10^{-10}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \frac{0.58 \cdot s_0}{ 0.188\,{\rm V}} \right)\le 4 \cdot 10^{-10}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{0.58 \cdot s_0}{ 0.188\,{\rm V}} \ge 6.15 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_0 \ge 1.993\,{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 2\,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$