Aufgaben:Aufgabe 3.2: Augendiagramm nach Gaußtiefpass: Unterschied zwischen den Versionen
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* Die Sendeimpulse seien rechteckförmig, die möglichen Amplitudenwerte sind $± 1\,{\rm V}$. | * Die Sendeimpulse seien rechteckförmig, die möglichen Amplitudenwerte sind $± 1\,{\rm V}$. | ||
* Die AWGN–Rauschleistungsdichte (auf den Widerstand $1 \, \Omega$) ist $10^{\rm -9} \, {\rm V}^2/{\rm Hz}$. | * Die AWGN–Rauschleistungsdichte (auf den Widerstand $1 \, \Omega$) ist $10^{\rm -9} \, {\rm V}^2/{\rm Hz}$. | ||
| + | * Als Empfangsfilter wird ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_G = 50 \, {\rm MHz}$ verwendet. Der Frequenzgang lautet: | ||
| + | :$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{f}^2/({2f_{\rm G}})^2} | ||
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| + | * Der Detektionsgrundimpuls $g_d(t) = g_s(t) * h_G(t)$ ist in der Grafik dargestellt (rote Kurve). Einige markante Impulswerte sind angegeben. | ||
| + | * Die Detektionsrauschleistung kann mit folgender Gleichung berechnet werden: | ||
| + | :$$\sigma_d^2 = {N_0}/{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} | ||
| + | |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit kann man zum Beispiel das Augendiagramm heranziehen. | ||
| + | * Die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_S$ ergibt sich daraus nach einer Mittelung über alle möglichen Detektionsnutzabtastwerte. | ||
| + | * Als eine obere Schranke für $p_S$ dient die ungünstige Fehlerwahrscheinlichkeit. | ||
| + | :$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})/2}{ \sigma_d} | ||
| + | \right) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2}= g_d(t=0) - |g_d(t=T)|- |g_d(t=-T)|-\hspace{0.15cm} ...$$ | ||
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| + | Hierbei bezeichnet $ö(T_D)$ die vertikale Augenöffnung. Der Detektionszeitpunkt $T_D = 0$ sei optimal gewählt. | ||
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| + | ''Hinweis:'' Die Aufgabe bezieht sich auf das [[Kapitel 3.2]]. Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der O–Funktion das folgende Interaktionsmodul: | ||
| + | [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] | ||
Version vom 23. Oktober 2017, 20:17 Uhr
Gegeben sei ein binäres bipolares redundanzfreies Basisbandsystem mit der Bitrate $R_B = 100\,{\rm Mbit/s}$ und folgenden Eigenschaften:
- Die Sendeimpulse seien rechteckförmig, die möglichen Amplitudenwerte sind $± 1\,{\rm V}$.
- Die AWGN–Rauschleistungsdichte (auf den Widerstand $1 \, \Omega$) ist $10^{\rm -9} \, {\rm V}^2/{\rm Hz}$.
- Als Empfangsfilter wird ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_G = 50 \, {\rm MHz}$ verwendet. Der Frequenzgang lautet:
- $$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{f}^2/({2f_{\rm G}})^2} \hspace{0.05cm}.$$
- Der Detektionsgrundimpuls $g_d(t) = g_s(t) * h_G(t)$ ist in der Grafik dargestellt (rote Kurve). Einige markante Impulswerte sind angegeben.
- Die Detektionsrauschleistung kann mit folgender Gleichung berechnet werden:
- $$\sigma_d^2 = {N_0}/{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.$$
Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit kann man zum Beispiel das Augendiagramm heranziehen.
- Die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_S$ ergibt sich daraus nach einer Mittelung über alle möglichen Detektionsnutzabtastwerte.
- Als eine obere Schranke für $p_S$ dient die ungünstige Fehlerwahrscheinlichkeit.
- $$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})/2}{ \sigma_d} \right) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2}= g_d(t=0) - |g_d(t=T)|- |g_d(t=-T)|-\hspace{0.15cm} ...$$
Hierbei bezeichnet $ö(T_D)$ die vertikale Augenöffnung. Der Detektionszeitpunkt $T_D = 0$ sei optimal gewählt.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 3.2. Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der O–Funktion das folgende Interaktionsmodul: Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen
Fragebogen
Musterlösung
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(2)
(3)
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(5)
(6)
