Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Hilbert-Transformierte: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(4 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 4: Zeile 4:
  
 
[[Datei:P_ID1756__LZI_Z_3_1.png|right|frame|Betrachtete Impulsantworten]]
 
[[Datei:P_ID1756__LZI_Z_3_1.png|right|frame|Betrachtete Impulsantworten]]
Der Zusammenhang zwischen dem Real– und dem Imginärteil der Übertragungsfunktion realisierbarer kausaler Systeme wird durch die Hilbert–Transformation beschrieben. Hierbei gilt:
+
Der Zusammenhang zwischen dem Real– und dem Imginärteil der Übertragungsfunktion realisierbarer kausaler Systeme wird durch die Hilbert–Transformation beschrieben.  Hierbei gilt:
 
:$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} =  - \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{
 
:$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} =  - \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{
 
+\infty}
 
+\infty}
Zeile 19: Zeile 19:
 
{\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$
 
{\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$
  
Da sich die Hin– und die Rücktransformation lediglich durch das Vorzeichen unterscheiden, genügt eine Gleichung. Dabei gilt:
+
Da sich die Hin– und die Rücktransformation lediglich durch das Vorzeichen unterscheiden,  genügt eine Gleichung.  Dabei gilt:
  
 
* Zur Berechnung des durch den Pfeil markierten Operanden wird das positive Vorzeichen verwendet.
 
* Zur Berechnung des durch den Pfeil markierten Operanden wird das positive Vorzeichen verwendet.
Zeile 26: Zeile 26:
  
  
Die Hilbert–Transformation gilt viel allgemeiner als nur für den hier beschriebenen Anwendungsfall. Zum Beispiel wird sie auch verwendet, um zu einem reellen Bandpass–Signal das dazugehörige (komplexe) analytische Signal zu ermitteln.
+
Die Hilbert–Transformation gilt viel allgemeiner als nur für den hier beschriebenen Anwendungsfall.  Zum Beispiel wird sie auch verwendet,  um zu einem reellen Bandpass–Signal das dazugehörige (komplexe) analytische Signal zu ermitteln.
  
 
Bei dieser Aufgabe soll zu den in der Grafik gegebenen kausalen Impulsantworten  $h(t)$  die zugehörigen Frequenzgänge  $H(f)$  entsprechend der Fourierrücktransformation ermittelt werden.  
 
Bei dieser Aufgabe soll zu den in der Grafik gegebenen kausalen Impulsantworten  $h(t)$  die zugehörigen Frequenzgänge  $H(f)$  entsprechend der Fourierrücktransformation ermittelt werden.  
  
Zerlegt man  $H(f)$  jeweils in Real– und Imaginärteil, so können daraus Hilbert–Korrespondenzen abgeleitet werden.
+
Zerlegt man  $H(f)$  jeweils in Real– und Imaginärteil,  so können daraus Hilbert–Korrespondenzen abgeleitet werden.
 +
 
 +
 
 +
 
  
  
Zeile 47: Zeile 50:
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
 
{Ermitteln Sie ausgehend von &nbsp;$h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$&nbsp; die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten &nbsp;$\alpha$. <br>Welche Aussagen treffen zu?
 
{Ermitteln Sie ausgehend von &nbsp;$h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$&nbsp; die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten &nbsp;$\alpha$. <br>Welche Aussagen treffen zu?
|type="[]"}
+
|type="()"}
 
- Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten &nbsp;$\alpha$&nbsp; ist ebenfalls &nbsp;$\alpha$.
 
- Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten &nbsp;$\alpha$&nbsp; ist ebenfalls &nbsp;$\alpha$.
 
+ Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten &nbsp;$\alpha$&nbsp; ist Null.
 
+ Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Konstanten &nbsp;$\alpha$&nbsp; ist Null.
Zeile 54: Zeile 57:
  
 
{Ermitteln Sie ausgehend von &nbsp;$h_2(t) =  \delta(t- \tau)$&nbsp; die Hilbert&ndash;Transformierte einer Cosinusfunktion. <br>Welche Aussagen treffen zu?
 
{Ermitteln Sie ausgehend von &nbsp;$h_2(t) =  \delta(t- \tau)$&nbsp; die Hilbert&ndash;Transformierte einer Cosinusfunktion. <br>Welche Aussagen treffen zu?
|type="[]"}
+
|type="()"}
 
- Die Hilbert&ndash;Transformierte von einem Cosinus ist eine Konstante.
 
- Die Hilbert&ndash;Transformierte von einem Cosinus ist eine Konstante.
 
- Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Cosinusfunktion ist Null.
 
- Die Hilbert&ndash;Transformierte einer Cosinusfunktion ist Null.
Zeile 77: Zeile 80:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
*Die Fourier&ndash;Transformierte von $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$ lautet:
+
*Die Fourier&ndash;Transformierte von&nbsp; $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$&nbsp; lautet:
 
:$$H_1(f) = \alpha \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re} \left\{ H_1(f) \right \}  = \alpha ,
 
:$$H_1(f) = \alpha \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re} \left\{ H_1(f) \right \}  = \alpha ,
 
  \hspace{0.2cm}{\rm Im} \left\{ H_1(f) \right \}  = 0\hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.2cm}{\rm Im} \left\{ H_1(f) \right \}  = 0\hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist  der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
+
 
*Mit dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]] und dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]] erhält man für die Impulsantwort $h_2(t)$ den Frequenzgang:
+
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist  der&nbsp; <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
 +
*Mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]&nbsp; und dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]&nbsp; erhält man für die Impulsantwort&nbsp; $h_2(t)$&nbsp; den Frequenzgang:
 
:$$H_2(f) ={\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f \tau} = \cos (2\pi
 
:$$H_2(f) ={\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f \tau} = \cos (2\pi
 
f \tau) - {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi
 
f \tau) - {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi
Zeile 97: Zeile 101:
 
\sin (2\pi f \tau)
 
\sin (2\pi f \tau)
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
 +
  
  
 
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind <u>beide Lösungsvorschläge</u>:
 
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind <u>beide Lösungsvorschläge</u>:
*Für die rechteckförmige Impulsantwort $h_3(t)$ mit Breite $T$ und Höhe $1/T$ erhält man die Spektralfunktion gemäß dem [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]]:
+
*Für die rechteckförmige Impulsantwort&nbsp; $h_3(t)$&nbsp; mit Breite&nbsp; $T$&nbsp; und Höhe&nbsp; $1/T$&nbsp; erhält man die Spektralfunktion gemäß dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]]:
 
:$$H_3(f) =    \int_{-\infty}^{
 
:$$H_3(f) =    \int_{-\infty}^{
 
+\infty}
 
+\infty}
Zeile 116: Zeile 121:
 
T}}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} \hspace{0.05cm}.$$
 
T}}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} \hspace{0.05cm}.$$
  
*Mit dem  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Eulerschen Satz]] kann hierfür auch geschrieben werden:
+
*Mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Eulerschen Satz]]&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
 
:$$H_3(f) = \frac{1-\cos (2\pi
 
:$$H_3(f) = \frac{1-\cos (2\pi
 
f T) + {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi f
 
f T) + {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi f
Zeile 123: Zeile 128:
 
T}\hspace{0.05cm}.$$
 
T}\hspace{0.05cm}.$$
  
*Weiter gilt mit der Umformung $1 - \cos(\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha/2)$:
+
*Weiter gilt mit der Umformung&nbsp; $1 - \cos(\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha/2)$:
 
:$${\rm Re}\hspace{-0.05cm} \left\{ H_3(f) \right \}  =  {\rm si} (2\pi f T)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x
 
:$${\rm Re}\hspace{-0.05cm} \left\{ H_3(f) \right \}  =  {\rm si} (2\pi f T)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x
 
  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
 
  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
Zeile 129: Zeile 134:
 
T)}{ \pi f T}= - {\rm si} (\pi f T) \cdot {\rm sin} (\pi f T)
 
T)}{ \pi f T}= - {\rm si} (\pi f T) \cdot {\rm sin} (\pi f T)
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 +
  
  
 
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist <u>Nein</u>:  
 
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist <u>Nein</u>:  
*Die Impulsantwort $h_4(t)$ ist nicht kausal, so dass aus dem dazugehörigen Fourier&ndash;Spektrum $H_4(f)$ keine Hilbert&ndash;Korrespondenz abgeleitet werden kann.
+
*Die Impulsantwort&nbsp; $h_4(t)$&nbsp; ist nicht kausal,&nbsp; so dass aus dem dazugehörigen Fourier&ndash;Spektrum&nbsp; $H_4(f)$&nbsp; keine Hilbert&ndash;Korrespondenz abgeleitet werden kann.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 9. Oktober 2021, 16:33 Uhr

Betrachtete Impulsantworten

Der Zusammenhang zwischen dem Real– und dem Imginärteil der Übertragungsfunktion realisierbarer kausaler Systeme wird durch die Hilbert–Transformation beschrieben.  Hierbei gilt:

$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} = - \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{ +\infty} { \frac{{\rm Re} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm},$$
$${\rm Re} \left\{ H(f) \right \} = \frac{1}{\pi }\int_{-\infty}^{ +\infty} { \frac{{\rm Im} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$

Als gemeinsames Kurzzeichen verwendet man für diese beiden Integraltransformationen:

$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad {\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$

Da sich die Hin– und die Rücktransformation lediglich durch das Vorzeichen unterscheiden,  genügt eine Gleichung.  Dabei gilt:

  • Zur Berechnung des durch den Pfeil markierten Operanden wird das positive Vorzeichen verwendet.
  • Dagegen ist zur Berechnung des durch den Kreis markierten Operanden das Minuszeichen zu berücksichtigen.


Die Hilbert–Transformation gilt viel allgemeiner als nur für den hier beschriebenen Anwendungsfall.  Zum Beispiel wird sie auch verwendet,  um zu einem reellen Bandpass–Signal das dazugehörige (komplexe) analytische Signal zu ermitteln.

Bei dieser Aufgabe soll zu den in der Grafik gegebenen kausalen Impulsantworten  $h(t)$  die zugehörigen Frequenzgänge  $H(f)$  entsprechend der Fourierrücktransformation ermittelt werden.

Zerlegt man  $H(f)$  jeweils in Real– und Imaginärteil,  so können daraus Hilbert–Korrespondenzen abgeleitet werden.





Hinweise:


Fragebogen

1

Ermitteln Sie ausgehend von  $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$  die Hilbert–Transformierte einer Konstanten  $\alpha$.
Welche Aussagen treffen zu?

Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten  $\alpha$  ist ebenfalls  $\alpha$.
Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten  $\alpha$  ist Null.
Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten  $\alpha$  verläuft sinusförmig.

2

Ermitteln Sie ausgehend von  $h_2(t) = \delta(t- \tau)$  die Hilbert–Transformierte einer Cosinusfunktion.
Welche Aussagen treffen zu?

Die Hilbert–Transformierte von einem Cosinus ist eine Konstante.
Die Hilbert–Transformierte einer Cosinusfunktion ist Null.
Die Hilbert–Transformierte von einem Cosinus verläuft sinusförmig.

3

Ermitteln Sie ausgehend vom rechteckförmigen  $h_3(t)$  die Hilbert–Transformierte der Funktion  ${\rm si}(2 \pi fT) = {\rm sin}(2 \pi fT)/(2 \pi fT)$.
Welche Aussagen treffen zu?

Die Hilbert Transformierte lautet  ${\rm sin}^2\hspace{-0.05cm}(\pi fT)/(\pi fT)$.
Die Hilbert Transformierte lautet  ${\rm sin}( \pi fT) \cdot {\rm si}( \pi fT)$.

4

Lässt sich aus der Impulsantwort  $h_4(t)$  eine Hilbert–Korrespondenz ableiten?

Ja.
Nein.


Musterlösung

(1)  Richtig ist der  zweite Lösungsvorschlag:

  • Die Fourier–Transformierte von  $h_1(t) = \alpha \cdot \delta(t)$  lautet:
$$H_1(f) = \alpha \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re} \left\{ H_1(f) \right \} = \alpha , \hspace{0.2cm}{\rm Im} \left\{ H_1(f) \right \} = 0\hspace{0.05cm}.$$


(2)  Richtig ist der  letzte Lösungsvorschlag:

$$H_2(f) ={\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f \tau} = \cos (2\pi f \tau) - {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi f \tau)\hspace{0.05cm}.$$
  • Daraus ergibt sich die Hilbert–Korrespondenz
$$\cos (2\pi f \tau) \hspace{0.3cm} \leftarrow\hspace{-0.05cm}\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.3cm} -\sin (2\pi f \tau)\hspace{0.7cm}{\rm oder}\hspace{0.7cm} \cos (2\pi f \tau) \hspace{0.3cm} \bullet\hspace{-0.05cm}\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!-\!\hspace{-0.1cm}\rightarrow\hspace{0.3cm} \sin (2\pi f \tau) \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Richtig sind beide Lösungsvorschläge:

  • Für die rechteckförmige Impulsantwort  $h_3(t)$  mit Breite  $T$  und Höhe  $1/T$  erhält man die Spektralfunktion gemäß dem  ersten Fourierintegral:
$$H_3(f) = \int_{-\infty}^{ +\infty} { h_3(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm} = \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{ T} { {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \left [\frac{1}{-{\rm j}\cdot 2\pi f T} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f\hspace{0.05cm} t} \right ]_{0}^{T} = \frac{1-{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f\hspace{0.05cm} T}}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} \hspace{0.05cm}.$$
$$H_3(f) = \frac{1-\cos (2\pi f T) + {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi f T)}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} = \frac{\sin (2\pi f T)}{ 2\pi f T} - {\rm j}\cdot \frac{1 - \cos (2\pi f T)}{ 2\pi f T}\hspace{0.05cm}.$$
  • Weiter gilt mit der Umformung  $1 - \cos(\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha/2)$:
$${\rm Re}\hspace{-0.05cm} \left\{ H_3(f) \right \} = {\rm si} (2\pi f T)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} {\rm Im} \hspace{-0.05cm}\left\{ H_3(f) \right \} = -\frac{\sin^2 (\pi f T)}{ \pi f T}= - {\rm si} (\pi f T) \cdot {\rm sin} (\pi f T) \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richtig ist Nein:

  • Die Impulsantwort  $h_4(t)$  ist nicht kausal,  so dass aus dem dazugehörigen Fourier–Spektrum  $H_4(f)$  keine Hilbert–Korrespondenz abgeleitet werden kann.