Aufgabe 3.1Z: Frequenzgang des Koaxialkabels
Ein so genanntes Normalkoaxialkabel mit dem Kerndurchmesser 2.6 mm, dem Außendurchmesser 9.5 mm und der Länge $l$ besitzt den folgenden Frequenzgang
- $$H_{\rm K}(f) \ = \ {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot {\rm e}^{- \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot $$
- $$\ \cdot \ {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$
Die Dämpfungsparameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sind in Neper (Np), die Phasenparameter $\beta_1$ und $\beta_2$ in Radian (rad) einzusetzen. Es gelten folgende Zahlenwerte:
- $$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}\frac [[:Vorlage:\rm Np]][[:Vorlage:\rm km]] \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm}\frac [[:Vorlage:\rm Np]]{{\rm km} \cdot {\rm MHz}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac [[:Vorlage:\rm Np]]{{\rm km} \cdot \sqrt[[:Vorlage:\rm MHz]]} \hspace{0.05cm},$$
Häufig verwendet man zur systemtheoretischen Beschreibung eines linearen zeitinvarianten Systems
- die Dämpfungsfunktion (in Np bzw. dB):
- $$a_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)| \hspace{0.05cm},$$
- die Phasenfunktion (in rad bzw. Grad)
- $$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f) \hspace{0.05cm}.$$
In der Praxis benutzt man häufig die Näherung
- $$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{f}, \hspace{0.2cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot \frac[[:Vorlage:\rm rad]][[:Vorlage:\rm Np]]\hspace{0.05cm}.$$
Dies ist erlaubt, da $\alpha_2$ und $\beta_2$ genau den gleichen Zahlenwert – nur unterschiedliche Pseudoeinheiten – besitzen. Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)
- $$a_{\star \hspace{0.05cm}\rm (Np)} = a_{\rm K}(f = {R_{\rm B}}/{2}) = 0.1151 \cdot a_{\star \hspace{0.05cm}\rm (dB)}$$
lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate $R_B$ und Kabellänge $l$ einheitlich behandeln.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 3.1 dieses Buches sowie auf dasKapitel 4 des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme”.
Fragebogen
Musterlösung
