Aufgaben:Aufgabe 3.1: cos² - und Dirac-WDF: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier Zufallsgrößen $x$ und $y$.
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Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier Zufallsgrößen  $x$  und  $y$.
  
*Die WDF der Zufallsgröße $x$ lautet in analytischer Form:
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*Die WDF der Zufallsgröße  $x$  lautet in analytischer Form:
 
:$$f_x(x)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}}A \cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x)  &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm} -2\le \it x\le \rm +2, \\0 & \rm sonst.  \\\end{array}\right.$$
 
:$$f_x(x)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}}A \cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x)  &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm} -2\le \it x\le \rm +2, \\0 & \rm sonst.  \\\end{array}\right.$$
  
*Dagegen besteht die WDF der Zufallsgröße $y$ aus insgesamt fünf Diracfunktionen mit den in der unteren Grafik angegebenen Gewichten.
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*Die WDF der Zufallsgröße  $y$  besteht aus insgesamt fünf Diracfunktionen mit den in der Grafik angegebenen Gewichten.
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Betrachtet man diese Zufallsgrößen als Momentanwerte zweier Zufallssignale  $x(t)$  und  $y(t)$, so ist offensichtlich, dass beide Signale auf den Bereich  $\pm 2$  „amplitudenbegrenzt“ sind.  Betragsmäßig größere Werte kommen nicht vor.
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Betrachtet man diese Zufallsgrößen als Momentanwerte zweier Zufallssignale $x(t)$ und $y(t)$, so ist offensichtlich, dass beide Signale auf den Bereich $\pm 2$ „amplitudenbegrenzt“ sind. Betragsmäßig größere Werte kommen nicht vor.
 
  
  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]].
*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].
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*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].
 
   
 
   
*Es gilt folgende Gleichung:  
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*Es gilt folgende Integralgleichung:  
 
:$$\int \cos^{\rm 2}( ax)\, {\rm d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{4  a}\cdot \sin(2 ax).$$
 
:$$\int \cos^{\rm 2}( ax)\, {\rm d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{4  a}\cdot \sin(2 ax).$$
  
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{Welche der nachfolgenden Aussagen treffen uneingeschr&auml;nkt zu?
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+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ ist wertkontinuierlich.
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+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; ist wertdiskret.
- Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ ist gleichzeitig zeitdiskret.
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- Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; ist gleichzeitig zeitdiskret.
+ Die WDF sagt nichts aus bzgl. &bdquo;zeitdiskret/zeitkontinuierlich&rdquo;.
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+ Die WDF sagt nichts aus bezüglich &bdquo;zeitdiskret/zeitkontinuierlich&rdquo;.
  
  
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Version vom 14. November 2019, 15:05 Uhr

Cosinus–Quadrat–WDF (oben) und Dirac–WDF (unten)

Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier Zufallsgrößen  $x$  und  $y$.

  • Die WDF der Zufallsgröße  $x$  lautet in analytischer Form:
$$f_x(x)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}}A \cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x) &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm} -2\le \it x\le \rm +2, \\0 & \rm sonst. \\\end{array}\right.$$
  • Die WDF der Zufallsgröße  $y$  besteht aus insgesamt fünf Diracfunktionen mit den in der Grafik angegebenen Gewichten.


Betrachtet man diese Zufallsgrößen als Momentanwerte zweier Zufallssignale  $x(t)$  und  $y(t)$, so ist offensichtlich, dass beide Signale auf den Bereich  $\pm 2$  „amplitudenbegrenzt“ sind.  Betragsmäßig größere Werte kommen nicht vor.





Hinweise:

  • Es gilt folgende Integralgleichung:
$$\int \cos^{\rm 2}( ax)\, {\rm d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{4 a}\cdot \sin(2 ax).$$


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen uneingeschränkt zu?

Die Zufallsgröße  $x$  ist wertkontinuierlich.
Die Zufallsgröße  $y$  ist wertdiskret.
Die Zufallsgröße  $y$  ist gleichzeitig zeitdiskret.
Die WDF sagt nichts aus bezüglich „zeitdiskret/zeitkontinuierlich”.

2

Berechnen Sie den Parameter  $A$  der WDF  $f_x(x)$.

$A \ = \ $

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x = 0$  (exakt) gilt?

${\rm Pr}(x = 0)\ = \ $

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x > 0$  ist?

${\rm Pr}(x > 0)\ = \ $

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y > 0$  ist?

${\rm Pr}(y > 0)\ = \ $

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y$  betragsmäßig kleiner als  $1$  ist?

${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}| <1)\ = \ $

7

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  betragsmäßig kleiner als   $1$  ist?

${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| <1)\ = \ $


Musterlösung

Zur Berechnung der WDF-Fläche

(1)  Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4:

  • $x$ ist wertkontinuierlich.
  • $y$ ist wertdiskret ($M = 5$).
  • Die WDF liefert keine Aussagen darüber, ob eine Zufallsgröße zeitdiskret oder zeitkontinuierlich ist.


(2)  Die Fläche unter der WDF muss $1$ ergeben. Durch einfache geometrische Überlegungen kommt man zum Ergebnis $\underline{A=0.5}$.


(3)  Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgröße $x$ einen festen Wert $x_0$ annimmt, ist stets vernachlässigbar klein   ⇒   $\underline{{\rm Pr}(x = 0) = 0}$. Für die wertdiskrete Zufallsgröße $y$ gilt dagegen gemäß der Angabe:   ${\rm Pr}(y = 0) = 0.4$ (Gewicht der Diracfunktion bei $y = 0$).


(4)  Wegen ${{\rm Pr}(x = 0) = 0}$ und der WDF-Symmetrie ergibt sich $\underline{{\rm Pr}(x > 0) = 0.5}$.


(5)  Da $y$ eine diskrete Zufallsgröße ist, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten für $y = 1$ und $y = 2$:

$${\rm Pr}(y >0) = {\rm Pr}(y = 1) + {\rm Pr}( y = 2) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}.$$


(6)  Das Ereignis „$|\hspace{0.05cm} y \hspace{0.05cm} | < 1$” ist hier identisch mit „$y = 0$”. Damit erhält man:

$${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}y\hspace{0.05cm}| < 1) = {\rm Pr}( y = 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.4}.$$


(7)  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Integral von $-1$ bis $+1$ über die WDF der kontinuierlichen Zufallsgröße $x$. Unter Berücksichtigung der Symmetrie und der angegebenen Gleichung erhält man:

$${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm} x\hspace{0.05cm}|<1)=2 \cdot \int_{0}^{1}{1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x={x}/{2}+{1}/{\pi}\cdot \sin({\pi}/{2}\cdot x)\Big |_{\rm 0}^{\rm 1}=\rm{1}/{2} + {1}/{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.818}.$$