Aufgaben:Aufgabe 3.1: cos² - und Dirac-WDF: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
Zeile 68: Zeile 68:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>: <i>x</i> ist wertkontinuierlich und <i>y</i> wertdiskret (<i>M</i> = 5). Die WDF liefert keine Aussagen dar&uuml;ber, ob eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e zeitdiskret oder zeitkontinuierlich ist.
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
 +
* $x$ ist wertkontinuierlich.
 +
* $y$ ist wertdiskret ($M = 5$).  
 +
*Die WDF liefert keine Aussagen dar&uuml;ber, ob eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e zeitdiskret oder zeitkontinuierlich ist.
  
[[Datei:P_ID174__Sto_A_3_1_b.png|right|]]
 
: <b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Die Fl&auml;che unter der WDF muss 1 ergeben. Durch einfache geometrische &Uuml;berlegungen kommt man zum Ergebnis <u><i>A</i> = 0.5</u>.
 
<br><br><br><br><br><br><br>
 
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>x</i> einen festen Wert <i>x</i><sub>0</sub> annimmt, ist stets vernachl&auml;ssigbar klein &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Pr(<i>x</i> = 0) = 0</u>. F&uuml;r die wertdiskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>y</i> gilt dagegen gemäß der Angabe: Pr(<i>y</i> = 0) = 0.4 (Gewicht der Diracfunktion bei <i>y</i> = 0).
+
[[Datei:P_ID174__Sto_A_3_1_b.png|right|WDF-Fläche]]
 +
'''(2)'''&nbsp; Die Fl&auml;che unter der WDF muss 1 ergeben. Durch einfache geometrische &Uuml;berlegungen kommt man zum Ergebnis $\underline{A=0.5}$.
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Wegen Pr(<i>x</i> = 0) und der WDF-Symmetrie ergibt sich Pr(<i>x</i> > 0) <u>= 0.5</u>.
+
'''(3)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ einen festen Wert $x_0$ annimmt, ist stets vernachl&auml;ssigbar klein &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{{\rm Pr}(x = 0) = 0}$.  
  
:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Da <i>y</i> eine diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten f&uuml;r <i>y</i> = 1 und <i>y</i> = 2:
+
F&uuml;r die wertdiskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ gilt dagegen gemäß der Angabe: ${\rm Pr}(y = 0) = 0.4$ (Gewicht der Diracfunktion bei $y = 0$).
:$$\rm Pr(\it y >\rm 0) = \rm Pr(\it y = \rm 1) + \rm Pr(\it y = \rm 2) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}.$$
 
  
:<b>6.</b>&nbsp;&nbsp;Das Ereignis &bdquo;| <i>y</i> | < 1&rdquo; ist hier identisch mit &bdquo;<i>y</i> = 0&rdquo;. Damit erh&auml;lt man:
+
'''(4)'''&nbsp; Wegen ${{\rm Pr}(x = 0) = 0}$ und der WDF-Symmetrie ergibt sich $\underline{{\rm Pr}(x > 0) = 0.5}$.
:$$\rm Pr(|\it y| < \rm 1) = \rm Pr(\it y = \rm 0)\hspace{0.15cm}\underline {  = 0.4}.$$
 
  
:<b>7.</b>&nbsp;&nbsp;Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Integral von -1 bis +1 &uuml;ber die WDF der kontinuierlichen Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>x</i>. Unter Ber&uuml;cksichtigung der Symmetrie und der angegebenen Gleichung erh&auml;lt man:
+
'''(5)'''&nbsp; Da $y$ eine diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten f&uuml;r $y = 1$ und $y = 2$:
:$$\rm Pr(|\it x|<\rm 1)=\rm 2 \cdot \int_{0}^{1}\frac{1}{2}\cdot cos^2(\frac{\pi}{4}\cdot \it x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=\frac{x}{\rm 2}+\frac{\rm 1}{\pi}\cdot\rm sin(\frac{\pi}{2}\cdot\it x)\Bigg |_{\rm 0}^{\rm 1}=\rm\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}
+
:$${\rm Pr}(y >0) =  {\rm Pr}(y = 1) + {\rm Pr}( y = 2) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}.$$
 +
 
 +
'''(6)'''&nbsp; Das Ereignis &bdquo;$| y | < 1$&rdquo; ist hier identisch mit &bdquo;$y  = 0$&rdquo;. Damit erh&auml;lt man:
 +
:$${\rm Pr}(|y| < 1) =  {\rm Pr}( y = 0)\hspace{0.15cm}\underline {  = 0.4}.$$
 +
 
 +
'''(7)'''&nbsp; Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Integral von $-1$ bis $+1$ &uuml;ber die WDF der kontinuierlichen Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$. Unter Ber&uuml;cksichtigung der Symmetrie und der angegebenen Gleichung erh&auml;lt man:
 +
:$${\rm Pr}(| x|<1)=2 \cdot \int_{0}^{1}{1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x={x}/{2}+{1}/{\pi}\cdot \sin({\pi}/{2}\cdot x)\Big |_{\rm 0}^{\rm 1}=\rm{1}/{2} + {1}/{\pi}
 
\hspace{0.15cm}\underline{
 
\hspace{0.15cm}\underline{
 
\approx 0.818}.$$
 
\approx 0.818}.$$

Version vom 7. März 2017, 16:07 Uhr

Cosinus-Quadrat- und Dirac-WDF

Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (WDF) zweier Zufallsgrößen $x$ und $y$.

  • Die WDF der Zufallsgröße $x$ lautet in analytischer Form:
$$f_x(x)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}}A \cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x) &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm} -2\le \it x\le \rm 2, \\0 & \rm sonst. \\\end{array}\right.$$
  • Dagegen besteht die WDF der Zufallsgröße $y$ aus insgesamt fünf Diracfunktionen mit den in der unteren Grafik angegebenen Gewichten.


Betrachtet man diese Zufallsgrößen als Momentanwerte zweier Zufallssignale $x(t)$ und $y(t)$, so ist offensichtlich, dass beide Signale auf den Bereich $\pm 2$ „amplitudenbegrenzt“ sind. Betragsmäßig größere Werte kommen nicht vor.

Hinweise:

$$\int \cos^{\rm 2}( ax)\, {\rm d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{4 a}\cdot \sin(2 ax).$$


Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen treffen uneingeschränkt zu?

Die Zufallsgröße $x$ ist wertkontinuierlich.
Die Zufallsgröße $y$ ist wertdiskret.
Die Zufallsgröße $y$ ist gleichzeitig zeitdiskret.
Die WDF sagt nichts aus bzgl. „zeitdiskret/zeitkontinuierlich”.

2

Berechnen Sie den Parameter $A$ der WDF $f_x(x)$.

$A \ =$

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass exakt $x = 0$ ist?

${\rm Pr}(x = 0)\ =$

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x > 0$ ist?

${\rm Pr}(x > 0)\ =$

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y > 0$ ist?

${\rm Pr}(y > 0)\ =$

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ betragsmäßig kleiner als $1$ ist?

${\rm Pr}(|y| <1)\ =$

7

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ betragsmäßig kleiner als 1 ist?

${\rm Pr}(|x| <1)\ =$


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4:

  • $x$ ist wertkontinuierlich.
  • $y$ ist wertdiskret ($M = 5$).
  • Die WDF liefert keine Aussagen darüber, ob eine Zufallsgröße zeitdiskret oder zeitkontinuierlich ist.


WDF-Fläche

(2)  Die Fläche unter der WDF muss 1 ergeben. Durch einfache geometrische Überlegungen kommt man zum Ergebnis $\underline{A=0.5}$.

(3)  Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgröße $x$ einen festen Wert $x_0$ annimmt, ist stets vernachlässigbar klein   ⇒   $\underline{{\rm Pr}(x = 0) = 0}$.

Für die wertdiskrete Zufallsgröße $y$ gilt dagegen gemäß der Angabe: ${\rm Pr}(y = 0) = 0.4$ (Gewicht der Diracfunktion bei $y = 0$).

(4)  Wegen ${{\rm Pr}(x = 0) = 0}$ und der WDF-Symmetrie ergibt sich $\underline{{\rm Pr}(x > 0) = 0.5}$.

(5)  Da $y$ eine diskrete Zufallsgröße ist, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten für $y = 1$ und $y = 2$:

$${\rm Pr}(y >0) = {\rm Pr}(y = 1) + {\rm Pr}( y = 2) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}.$$

(6)  Das Ereignis „$| y | < 1$” ist hier identisch mit „$y = 0$”. Damit erhält man:

$${\rm Pr}(|y| < 1) = {\rm Pr}( y = 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.4}.$$

(7)  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Integral von $-1$ bis $+1$ über die WDF der kontinuierlichen Zufallsgröße $x$. Unter Berücksichtigung der Symmetrie und der angegebenen Gleichung erhält man:

$${\rm Pr}(| x|<1)=2 \cdot \int_{0}^{1}{1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x={x}/{2}+{1}/{\pi}\cdot \sin({\pi}/{2}\cdot x)\Big |_{\rm 0}^{\rm 1}=\rm{1}/{2} + {1}/{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.818}.$$