Aufgaben:Aufgabe 3.1: Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(14 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 3: Zeile 3:
 
}}
 
}}
  
[[Datei:P_ID2749__Inf_A_3_1.png|right|]]
+
[[Datei:P_ID2749__Inf_A_3_1.png|right|frame|Summe  $S$  zweier Würfel]]
Wir betrachten das Zufallsexperiment „Würfeln mit ein oder zwei Würfeln”. Beide Würfel sind fair (die sechs möglichen Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich) und durch ihre Farben unterscheidbar:
+
Wir betrachten das Zufallsexperiment  »Würfeln mit ein oder zwei Würfeln«.  Beide Würfel sind fair (die sechs möglichen Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich) und durch ihre Farben unterscheidbar:
 +
* Die Zufallsgröße  $R = \{1, \ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \}$  bezeichnet die Augenzahl des roten Würfels.
 +
* Die Zufallsgröße  $B = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \}$  bezeichnet die Augenzahl des blauen Würfels.
 +
* Die Zufallsgröße  $S =R + B$  steht für die Summe beider Würfel.
  
:* Die Zufallsgröße <i>R</i> = {1, 2, 3, 4, 5, 6} bezeichnet die Augenzahl des roten Würfels.
 
  
:* Die Zufallsgröße <i>B</i> = {1, 2, 3, 4, 5, 6} bezeichnet die Augenzahl des blauen Würfels.
+
In dieser Aufgabe sollen verschiedene Wahrscheinlichkeiten mit Bezug zu den Zufallsgrößen&nbsp; $R$,&nbsp; $B$&nbsp; und&nbsp; $S$&nbsp; berechnet werden, wobei das oben angegebene Schema hilfreich sein kann.&nbsp; Dieses beinhaltet die Summe&nbsp; $S$&nbsp; in Abhängigkeit von&nbsp; $R$&nbsp; und&nbsp; $B$.
  
:* Die Zufallsgröße <i>S</i> = <i>R</i> + <i>B</i> steht für die Summe beider Würfel.
 
  
In dieser Aufgabe sollen verschiedene Wahrscheinlichkeiten mit Bezug zu den Zufallsgrößen <i>R</i>, <i>B</i> und <i>S</i> berechnet werden, wobei das oben angegebene Schema hilfreich sein kann. Dieses beinhaltet die Summe <i>S</i> in Abhängigkeit von <i>R</i> und <i>B</i>.
 
  
<b>Hinweis:</b>  Die Aufgabe dient zur Vorbereitung für weitere Aufgaben zum Kapitel 3.1 dieses Buches &bdquo;Einführung in die Informationstheorie&rdquo;. Wiederholt wird hier insbesondere der Lehrstoff von Kapitel 1.1 und Kapitel 1.3 des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;.
+
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
''Hinweise:''
 +
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].
 +
*Wiederholt wird hier insbesondere der Lehrstoff des Kapitels&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen|Wahrscheinlichkeitsrechnung]]&nbsp; im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;.  
 +
 
 +
 
  
  
Zeile 22: Zeile 32:
 
{Geben Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten an:
 
{Geben Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten an:
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$Pr(R = 6)$ = { 0.1667 3% }
+
$\text{Pr}(R = 6)\ = \ $ { 0.1667 3% }
$Pr(B ≤ 2)$ = { 0.3333 3% }
+
$\text{Pr}(B ≤ 2)\ = \ $ { 0.3333 3% }
$Pr(R = B)$ = { 0.1667 3% }
+
$\text{Pr}(R = B)\ = \ $ { 0.1667 3% }
  
  
 
{Wie lauten die folgenden Wahrscheinlichkeiten?
 
{Wie lauten die folgenden Wahrscheinlichkeiten?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$Pr(S = 6)$ = { 0.0556 3% }
+
$\text{Pr}(S = 3)\ = \ $ { 0.0556 3% }
$Pr(S = 7)$ = { 0.1667 3% }
+
$\text{Pr}(S = 7)\ = \ $ { 0.1667 3% }
Pr(S ist ungeradzahlig) = { 0.5 3% }
+
$\text{Pr(ungeradzahlige Summe)}\ = \ $  { 0.5 3% }
  
  
 
{Geben Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten an:
 
{Geben Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten an:
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$Pr[(R = 6)\ \cup \ (B =6)]$ = { 0.3056 3% }
+
$\text{Pr}\big [(R = 6)\ \cup \ (B =6)\big]\ = \ $ { 0.3056 3% }
$Pr[(R = 6)\ \cap \ (B =6)]$ = { 0.0278 3% }
+
$\text{Pr}\big[(R = 6)\ \cap \ (B =6)\big]\ = \ $ { 0.0278 3% }
  
  
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim <i>L</i>&ndash;ten Doppelwurf zum ersten Mal eine &bdquo;6&rdquo; dabei ist?
+
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim&nbsp; $L$&ndash;ten Doppelwurf zum ersten Mal eine &bdquo;6&rdquo; dabei ist?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
Pr(erste „6” beim 1. WUrf) = { 0.3056 3% } $(L=1)$
+
$L = 1\text{:}\hspace{0.5cm}\text{Pr(erste „6”)} \ = \ $ { 0.3056 3% }  
Pr(erste „6” beim 2. WUrf) = { 0.2122 3% } $(L=2)$
+
$L = 2\text{:}\hspace{0.5cm}\text{Pr(erste „6”)} \ = \ $ { 0.2122 3% }  
Pr(erste „6” beim 3. WUrf) = { 0.1474 3% } $(L=3)$
+
$L = 3\text{:}\hspace{0.5cm}\text{Pr(erste „6”)} \ = \ $ { 0.1474 3% }  
  
  
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit &bdquo;Um die erste &bdquo;6&rdquo; zu erhalten, benötigt man eine geradzahlige Anzahl an Doppelwürfen&rdquo;? Mit der Nomenklatur gemäß (d):
+
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit &nbsp; &raquo;Man benötigt eine geradzahlige Anzahl an Doppelwürfen, um die erste &bdquo;6&rdquo; &nbsp; zu erhalten&laquo; ? <br>Mit der Nomenklatur gemäß Teilaufgabe&nbsp; '''(4)''':
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
Pr(L ist geradzahlig) = { 0.4098 3% }
+
$\text{Pr(}L\text{  ist gerade | erste „6”)}\ = \ $ { 0.4098 3% }
  
 
</quiz>
 
</quiz>
Zeile 55: Zeile 65:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Setzt man faire Würfel voraus, so ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass
+
'''(1)'''&nbsp; Setzt man faire Würfel voraus, so ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass
 
+
* mit dem roten Würfel eine &bdquo;6&rdquo; geworfen wird:
:* mit dem roten Würfel eine &bdquo;6&rdquo; geworfen wird:
 
 
:$$\underline{{\rm Pr}(R=6) = 1/6} = 0.1667 \hspace{0.05cm},$$
 
:$$\underline{{\rm Pr}(R=6) = 1/6} = 0.1667 \hspace{0.05cm},$$
:* mit dem blauen Würfel eine &bdquo;1&rdquo; oder eine &bdquo;2&rdquo; geworfen wird:
+
* mit dem blauen Würfel eine &bdquo;1&rdquo; oder eine &bdquo;2&rdquo; geworfen wird:
 
:$$\underline{{\rm Pr}(B\le 2) = 1/3} = 0.3333 \hspace{0.05cm},$$
 
:$$\underline{{\rm Pr}(B\le 2) = 1/3} = 0.3333 \hspace{0.05cm},$$
:* beide Würfel die gleiche Augenzahl anzeigen:
+
* beide Würfel die gleiche Augenzahl anzeigen:
 
:$$\underline{{\rm Pr}(R=B) = 6/36} = 0.1667 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\underline{{\rm Pr}(R=B) = 6/36} = 0.1667 \hspace{0.05cm}.$$
  
Letzteres basiert auf der 2D&ndash;Darstellung auf dem Augenblatt sowie auf der Klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit entsprechend <i>K</i>/<i>M</i>, wobei <i>K</i> = 6 der insgesamt <i>M</i> = 36 gleichwahrscheinlichen Elementarereignisse &bdquo;<i>R</i> &#8745; <i>B</i>&rdquo;  dem hieraus abgeleiteten Ereignis &bdquo;<i>R</i> = <i>B</i>&rdquo; zugeordnet werden können, die auf der Diagonalen liegen. Würfelspieler sprechen in diesem Fall von einem Pasch.
+
Letzteres basiert auf der 2D&ndash;Darstellung auf dem Angabenblatt sowie auf der &bdquo;Klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit&rdquo; entsprechend&nbsp; $K/M$:
 +
*$K = 6$&nbsp; der insgesamt&nbsp; $M = 36$&nbsp; gleichwahrscheinlichen Elementarereignisse&nbsp; $R \cap B$&nbspkönnen dem hieraus abgeleiteten Ereignis&nbsp; $R=B$&nbsp; zugeordnet werden.
 +
*Diese liegen auf der Diagonalen.&nbsp; Würfelspieler sprechen in diesem Fall von einem &bdquo;Pasch&rdquo;.
  
<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Die Lösung basiert wieder auf  der Klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit:
 
  
:* In <i>K</i> = 2 der <i>M</i> = 36 Elementarfelder steht eine &bdquo;3&rdquo;: <u>Pr(<i>S</i> = 3) = 2/36</u> = 0.0556.
 
  
:* In <i>K</i> = 6 der <i>M</i> = 36 Elementarfelder  steht eine &bdquo;7&rdquo;: <u>Pr(<i>S</i> = 7) = 6/36</u> = 0.1667.
+
'''(2)'''&nbsp; Die Lösung basiert wieder auf  der Klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit:
 +
* In&nbsp; $K = 2$&nbsp; der&nbsp; $M = 36$&nbsp; Elementarfelder steht eine &bdquo;3&rdquo; &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm Pr}(S = 3) = 2/36\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.0556}.$
 +
* In&nbsp; $K = 6$&nbsp; der&nbsp; $M = 36$&nbsp; Elementarfelder  steht eine &bdquo;7&rdquo;&nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm Pr}(S = 7) = 6/36\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.1667}.$
 +
* In&nbsp; $K = 18$&nbsp; der&nbsp; $M = 36$&nbsp; Felder steht eine ungerade Zahl &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm Pr}(S\text{ ist ungerade}) = 18/36\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$
  
:* In <i>K</i> = 18 der <i>M</i> = 36 Felder steht eine ungerade Zahl &#8658; <u>Pr(<i>S</i> ist ungerade) = 18/36</u></u> = 0.5.
 
  
Dieses letzte Ergebnis könnte man auch auf anderem Wege erhalten:
+
*Dieses letzte Ergebnis könnte man auch auf anderem Wege erhalten:
:$${\rm Pr}(S\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade}) =$$
+
:$${\rm Pr}(S\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade}) =
:$$= {\rm Pr}\big [(R\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} ungerade}) \cap
+
{\rm Pr}\big [(R\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} ungerade}) \cap
 
(B\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} gerade}) \big  ] +
 
(B\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} gerade}) \big  ] +
 
{\rm Pr}\big [(R\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} gerade}) \cap
 
{\rm Pr}\big [(R\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} gerade}) \cap
 
(B\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} ungerade})\big  ]\hspace{0.05cm}. $$
 
(B\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} ungerade})\big  ]\hspace{0.05cm}. $$
Mit Pr(<i>R</i> gerade) = Pr(<i>R</i> ungerade) = Pr(<i>B</i> gerade) = Pr(<i>B</i> ungerade) = 1/2 folgt daraus ebenfalls:
+
*Mit&nbsp; ${\rm Pr}(R\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} gerade}) = {\rm Pr} (R\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} ungerade}) = {\rm Pr}(B\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} gerade})= {\rm Pr}(B\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} ungerade})   = 1/2$&nbsp; folgt daraus ebenfalls:
 
:$${\rm Pr}(S\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade}) = 1/2 \cdot  1/2 +  1/2 \cdot  1/2 = 1/2 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Pr}(S\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade}) = 1/2 \cdot  1/2 +  1/2 \cdot  1/2 = 1/2 \hspace{0.05cm}.$$
  
<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass mindestens einer der beiden Würfel eine &bdquo;6&rdquo; zeigt, ist:
+
 
 +
 
 +
'''(3)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass mindestens einer der beiden Würfel eine &bdquo;6&rdquo; zeigt, ist:
 
:$${\rm Pr}\big [(R= 6) \cup (B= 6) \big ] = K/M = 11/36 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.3056}
 
:$${\rm Pr}\big [(R= 6) \cup (B= 6) \big ] = K/M = 11/36 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.3056}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
Die zweite Wahrscheinlichkeit steht für den &bdquo;Sechser&ndash;Pasch&rdquo;:
+
*Die zweite Wahrscheinlichkeit steht allein für den &bdquo;Sechser&ndash;Pasch&rdquo;:
 
:$${\rm Pr}\big [(R= 6) \cap (B= 6) \big ] = K/M = 1/36 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.0278}
 
:$${\rm Pr}\big [(R= 6) \cap (B= 6) \big ] = K/M = 1/36 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.0278}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Das Ergebnis für <i>L</i> = 1 wurde bereits in der Teilaufgabe (3) ermittelt:
+
 
 +
 
 +
'''(4)'''&nbsp; Das Ergebnis für&nbsp; $L = 1$&nbsp; wurde bereits in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; ermittelt:
 
:$$p_1 = {\rm Pr}\big [(R= 6) \cup (B= 6) \big ]  = {11}/{36} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.3056} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$p_1 = {\rm Pr}\big [(R= 6) \cup (B= 6) \big ]  = {11}/{36} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.3056} \hspace{0.05cm}.$$
Die Wahrscheinlichkeit <i>p</i><sub>2</sub> lässt sich mit <i>p</i><sub>1</sub> wie folgt ausdrücken:
+
*Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_2$&nbsp; lässt sich mit&nbsp; $p_1$&nbsp; wie folgt ausdrücken:
 
:$$p_2 = (1 - p_1) \cdot p_1 = \frac{25}{36} \cdot \frac{11}{36} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.2122} \hspace{0.05cm}. $$
 
:$$p_2 = (1 - p_1) \cdot p_1 = \frac{25}{36} \cdot \frac{11}{36} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.2122} \hspace{0.05cm}. $$
In anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit, dass im zweiten Wurf erstmals eine &bdquo;6&rdquo; geworfen wird, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Wurf keine &bdquo;6&rdquo; geworfen wurde &#8658; Wahrscheinlichkeit (1&nbsp;&ndash;&nbsp;<i>p</i><sub>1</sub>), aber im zweiten Wurf mindestens eine &bdquo;6&rdquo; dabei ist &nbsp;&#8658;&nbsp; Wahrscheinlichkeit <i>p</i><sub>1</sub>. Entsprechend gilt für die Wahrscheinlichkeit &bdquo;erste 6 im dritten Wurf&rdquo;:
+
:In Worten: &nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass im zweiten Wurf erstmals eine &bdquo;6&rdquo; geworfen wird, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Wurf keine &bdquo;6&rdquo; geworfen wurde &nbsp; &#8658; &nbsp; Wahrscheinlichkeit&nbsp; $1-p_1$, aber im zweiten Wurf mindestens eine &bdquo;6&rdquo; dabei ist &nbsp; &#8658; &nbsp; Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_1$.  
 +
 
 +
*Entsprechend gilt für die Wahrscheinlichkeit &bdquo;erste 6 im dritten Wurf&rdquo;:
 
:$$p_3 = (1 - p_1)^2 \cdot p_1 = \frac{25}{36} \cdot \frac{25}{36} \cdot\frac{11}{36} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.1474} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$p_3 = (1 - p_1)^2 \cdot p_1 = \frac{25}{36} \cdot \frac{25}{36} \cdot\frac{11}{36} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.1474} \hspace{0.05cm}.$$
  
<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Durch Erweiterung der Musterlösung zur Teilaufgabe (d) erhält man:
+
 
:$${\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} geradzahlig})
+
 
\hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} p_2 + p_4 + p_6 + ... = \\
+
'''(5)'''&nbsp; Durch Erweiterung der Musterlösung zur Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; erhält man:
\hspace{0.15cm}(1 - p_1) \cdot p_1 + (1 - p_1)^3 \cdot p_1 + (1 - p_1)^5 \cdot p_1 + ...
+
:$$\text{Pr(gerades }L\ | \text{ erste „6”})= p_2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}p_4  \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} p_6 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} \text{...} =  
= \\
+
(1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm} p_1) \cdot p_1 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm} p_1)^3 \cdot p_1 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}(1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm} p_1)^5 \cdot p_1 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} \text{...}
\hspace{0.15cm}(1 - p_1) \cdot p_1 \cdot \left [ 1 + (1 - p_1)^2 + (1 - p_1)^4 + ... \hspace{0.15cm} \right ]
+
= (1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm} p_1) \cdot p_1 \cdot \left [ 1 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm} p_1)^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm} p_1)^4 +\text{...}\hspace{0.05cm} \right ]
 
\hspace{0.05cm}. $$
 
\hspace{0.05cm}. $$
Entsprechend erhält man für die Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses:
+
*Entsprechend erhält man für die Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses:
:$${\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} ungeradzahlig})  
+
:$${\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} ungerade \ | \text{ erste „6”}})  
\hspace{0.15cm}  = \hspace{0.15cm} p_1 + p_3 + p_5 + ... = \\
+
= p_1 + p_3 + p_5 + \text{...} = p_1 \cdot \left [ 1 + (1 - p_1)^2 + (1 - p_1)^4 + \text{...} \hspace{0.15cm} \right ]
=  \hspace{0.15cm} p_1 \cdot \left [ 1 + (1 - p_1)^2 + (1 - p_1)^4 + ... \hspace{0.15cm} \right ]
+
\hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm}
\hspace{0.05cm}$$
+
\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{{\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} ungerade \ |  \text{ erste „6”}}) } {{\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} gerade} \ |  \text{ erste „6”})} = \frac{1}{1 - p_1} \hspace{0.05cm}. $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{{\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} ungeradzahlig}) } {{\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} geradzahlig})} = \frac{1}{1 - p_1} \hspace{0.05cm}. $$
+
*Weiter muss gelten:
Weiter muss gelten:
+
:$${\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} gerade  \ |  \text{ erste „6”}})  +  
:$${\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} geradzahlig})  +  
+
{\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} ungerade  \ |  \text{ erste „6”}})  = 1$$
{\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} ungeradzahlig})  = 1$$
+
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} gerade  \ |  \text{ erste „6”}})  \cdot \left [ 1 + \frac{1}{1 - p_1} \right ] = 1  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} gerade  \ |  \text{ erste „6”}})  = \frac{1 - p_1}{2 - p_1} = \frac{25/36}{61/36} =  \frac{25}{61} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.4098} \hspace{0.05cm}.$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} geradzahlig})  \cdot \left [ 1 + \frac{1}{1 - p_1} \right ] = 1  $$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} geradzahlig})  = \frac{1 - p_1}{2 - p_1} = \frac{25/36}{61/36} =  \frac{25}{61} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.4098} \hspace{0.05cm}.$$
 
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie|^3.1 Einige Vorbemerkungen zu zweidimensionalen Zufallsgrößen^]]
+
[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie|^3.1 Allgemeines zu 2D-Zufallsgrößen^]]

Aktuelle Version vom 16. August 2021, 14:50 Uhr

Summe  $S$  zweier Würfel

Wir betrachten das Zufallsexperiment  »Würfeln mit ein oder zwei Würfeln«.  Beide Würfel sind fair (die sechs möglichen Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich) und durch ihre Farben unterscheidbar:

  • Die Zufallsgröße  $R = \{1, \ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \}$  bezeichnet die Augenzahl des roten Würfels.
  • Die Zufallsgröße  $B = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \}$  bezeichnet die Augenzahl des blauen Würfels.
  • Die Zufallsgröße  $S =R + B$  steht für die Summe beider Würfel.


In dieser Aufgabe sollen verschiedene Wahrscheinlichkeiten mit Bezug zu den Zufallsgrößen  $R$,  $B$  und  $S$  berechnet werden, wobei das oben angegebene Schema hilfreich sein kann.  Dieses beinhaltet die Summe  $S$  in Abhängigkeit von  $R$  und  $B$.





Hinweise:



Fragebogen

1

Geben Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten an:

$\text{Pr}(R = 6)\ = \ $

$\text{Pr}(B ≤ 2)\ = \ $

$\text{Pr}(R = B)\ = \ $

2

Wie lauten die folgenden Wahrscheinlichkeiten?

$\text{Pr}(S = 3)\ = \ $

$\text{Pr}(S = 7)\ = \ $

$\text{Pr(ungeradzahlige Summe)}\ = \ $

3

Geben Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten an:

$\text{Pr}\big [(R = 6)\ \cup \ (B =6)\big]\ = \ $

$\text{Pr}\big[(R = 6)\ \cap \ (B =6)\big]\ = \ $

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim  $L$–ten Doppelwurf zum ersten Mal eine „6” dabei ist?

$L = 1\text{:}\hspace{0.5cm}\text{Pr(erste „6”)} \ = \ $

$L = 2\text{:}\hspace{0.5cm}\text{Pr(erste „6”)} \ = \ $

$L = 3\text{:}\hspace{0.5cm}\text{Pr(erste „6”)} \ = \ $

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit   »Man benötigt eine geradzahlige Anzahl an Doppelwürfen, um die erste „6”   zu erhalten« ?
Mit der Nomenklatur gemäß Teilaufgabe  (4):

$\text{Pr(}L\text{ ist gerade | erste „6”)}\ = \ $


Musterlösung

(1)  Setzt man faire Würfel voraus, so ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass

  • mit dem roten Würfel eine „6” geworfen wird:
$$\underline{{\rm Pr}(R=6) = 1/6} = 0.1667 \hspace{0.05cm},$$
  • mit dem blauen Würfel eine „1” oder eine „2” geworfen wird:
$$\underline{{\rm Pr}(B\le 2) = 1/3} = 0.3333 \hspace{0.05cm},$$
  • beide Würfel die gleiche Augenzahl anzeigen:
$$\underline{{\rm Pr}(R=B) = 6/36} = 0.1667 \hspace{0.05cm}.$$

Letzteres basiert auf der 2D–Darstellung auf dem Angabenblatt sowie auf der „Klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit” entsprechend  $K/M$:

  • $K = 6$  der insgesamt  $M = 36$  gleichwahrscheinlichen Elementarereignisse  $R \cap B$  können dem hieraus abgeleiteten Ereignis  $R=B$  zugeordnet werden.
  • Diese liegen auf der Diagonalen.  Würfelspieler sprechen in diesem Fall von einem „Pasch”.


(2)  Die Lösung basiert wieder auf der Klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit:

  • In  $K = 2$  der  $M = 36$  Elementarfelder steht eine „3”   ⇒   ${\rm Pr}(S = 3) = 2/36\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.0556}.$
  • In  $K = 6$  der  $M = 36$  Elementarfelder steht eine „7”  ⇒   ${\rm Pr}(S = 7) = 6/36\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.1667}.$
  • In  $K = 18$  der  $M = 36$  Felder steht eine ungerade Zahl   ⇒   ${\rm Pr}(S\text{ ist ungerade}) = 18/36\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$


  • Dieses letzte Ergebnis könnte man auch auf anderem Wege erhalten:
$${\rm Pr}(S\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade}) = {\rm Pr}\big [(R\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} ungerade}) \cap (B\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} gerade}) \big ] + {\rm Pr}\big [(R\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} gerade}) \cap (B\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} ungerade})\big ]\hspace{0.05cm}. $$
  • Mit  ${\rm Pr}(R\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} gerade}) = {\rm Pr} (R\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} ungerade}) = {\rm Pr}(B\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} gerade})= {\rm Pr}(B\hspace{0.12cm}{\rm ist\hspace{0.12cm} ungerade}) = 1/2$  folgt daraus ebenfalls:
$${\rm Pr}(S\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade}) = 1/2 \cdot 1/2 + 1/2 \cdot 1/2 = 1/2 \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass mindestens einer der beiden Würfel eine „6” zeigt, ist:

$${\rm Pr}\big [(R= 6) \cup (B= 6) \big ] = K/M = 11/36 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.3056} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die zweite Wahrscheinlichkeit steht allein für den „Sechser–Pasch”:
$${\rm Pr}\big [(R= 6) \cap (B= 6) \big ] = K/M = 1/36 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.0278} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Das Ergebnis für  $L = 1$  wurde bereits in der Teilaufgabe  (3)  ermittelt:

$$p_1 = {\rm Pr}\big [(R= 6) \cup (B= 6) \big ] = {11}/{36} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.3056} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die Wahrscheinlichkeit  $p_2$  lässt sich mit  $p_1$  wie folgt ausdrücken:
$$p_2 = (1 - p_1) \cdot p_1 = \frac{25}{36} \cdot \frac{11}{36} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.2122} \hspace{0.05cm}. $$
In Worten:   Die Wahrscheinlichkeit, dass im zweiten Wurf erstmals eine „6” geworfen wird, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Wurf keine „6” geworfen wurde   ⇒   Wahrscheinlichkeit  $1-p_1$, aber im zweiten Wurf mindestens eine „6” dabei ist   ⇒   Wahrscheinlichkeit  $p_1$.
  • Entsprechend gilt für die Wahrscheinlichkeit „erste 6 im dritten Wurf”:
$$p_3 = (1 - p_1)^2 \cdot p_1 = \frac{25}{36} \cdot \frac{25}{36} \cdot\frac{11}{36} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.1474} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Durch Erweiterung der Musterlösung zur Teilaufgabe  (4)  erhält man:

$$\text{Pr(gerades }L\ | \text{ erste „6”})= p_2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}p_4 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} p_6 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} \text{...} = (1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm} p_1) \cdot p_1 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm} p_1)^3 \cdot p_1 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}(1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm} p_1)^5 \cdot p_1 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} \text{...} = (1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm} p_1) \cdot p_1 \cdot \left [ 1 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm} p_1)^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm} p_1)^4 +\text{...}\hspace{0.05cm} \right ] \hspace{0.05cm}. $$
  • Entsprechend erhält man für die Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses:
$${\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} ungerade \ | \text{ erste „6”}}) = p_1 + p_3 + p_5 + \text{...} = p_1 \cdot \left [ 1 + (1 - p_1)^2 + (1 - p_1)^4 + \text{...} \hspace{0.15cm} \right ] \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{{\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} ungerade \ | \text{ erste „6”}}) } {{\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} gerade} \ | \text{ erste „6”})} = \frac{1}{1 - p_1} \hspace{0.05cm}. $$
  • Weiter muss gelten:
$${\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} gerade \ | \text{ erste „6”}}) + {\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} ungerade \ | \text{ erste „6”}}) = 1$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} gerade \ | \text{ erste „6”}}) \cdot \left [ 1 + \frac{1}{1 - p_1} \right ] = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(L\hspace{0.15cm}{\rm ist\hspace{0.15cm} gerade \ | \text{ erste „6”}}) = \frac{1 - p_1}{2 - p_1} = \frac{25/36}{61/36} = \frac{25}{61} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.4098} \hspace{0.05cm}.$$