Aufgaben:Aufgabe 3.1: Ortskurve bei Phasenmodulation: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 24. März 2020, 17:48 Uhr

Zwei Ortskurven zur Auswahl

Unter der Ortskurve versteht man allgemein die Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals $s_{\rm TP}(t)$ in der komplexen Ebene.

Die Grafik zeigt Ortskurven am Ausgang zweier Modulatoren $\rm M_1$ und $\rm M_2$.
Real- und Imaginärteil sind in dieser Grafik jeweils auf $1 \ \rm V$ normiert.

Das Quellensignal sei bei beiden Modulatoren gleich:

$$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} \cdot t),\hspace{1cm} {\rm mit}\hspace{0.2cm} A_{\rm N} = 2\,{\rm V},\hspace{0.2cm}f_{\rm N} = 5\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$

Einer der beiden Modulatoren realisiert eine Phasenmodulation, die durch folgende Gleichungen gekennzeichnet ist:

$$ s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.1cm} \big[\omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t) \big]\hspace{0.05cm},$$

$$ s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\phi(t) }\hspace{0.05cm},$$

$$ \phi(t) = K_{\rm PM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$

Den Maximalwert von $ϕ(t)$ nennt man den Modulationsindex $η$. Oft wird $η$ in der Literatur auch als Phasenhub bezeichnet.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Phasenmodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Äquivalentes TP-Signal bei Phasenmodulation.

Fragebogen

	Zweiseitenband–Amplitudenmodulation.
	Einseitenband–Amplitudenmodulation.
	Phasenmodulation.

	Zweiseitenband–Amplitudenmodulation.
	Einseitenband–Amplitudenmodulation.
	Phasenmodulation.

$A_{\rm T} \ = \ $

$\ \rm V$

$η\ = \ $

$K_{\rm PM}\ = \ $

$\ \rm 1/V$

$t_1\ = \ $

$ \ \rm µ s$

Musterlösung

(1) Es handelt sich um eine ESB–AM mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis $μ = 1$ ⇒ Antwort 2:

Bewegt man sich auf dem Kreis in mathematisch positive Richtung, so liegt speziell eine OSB–AM vor, andernfalls eine USB–AM.
Die Phasenfunktion $ϕ(t)$ als der Winkel eines Punktes $s_{\rm TP}(t)$ auf dem Kreis(bogen) bezogen auf den Koordinatenursprung kann Werte zwischen $±π/2$ annehmen und zeigt keinen Cosinusverlauf.
Aber auch die Hüllkurve $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$ ist nicht cosinusförmig.
Würde man beim Empfänger für $\rm M_1$ einen Hüllkurvendemodulator einsetzen, so käme es zu nichtlinearen Verzerrungen im Gegensatz zur ZSB–AM, deren Ortskurve eine horizontale Gerade ist.

(2) Hier handelt es sich um die Phasenmodulation ⇒ Antwort 3:

Die Einhüllende $a(t) = A_{\rm T}$ ist konstant,
während die Phase $ϕ(t)$ entsprechend dem Quellensignal $q(t)$ cosinusförmig verläuft.

(3) Bei der Phasenmodulation gilt:

$$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\phi(t) }\hspace{0.05cm}.$$

Aus der Grafik kann man die Trägeramplitude $A_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline{ = 1 \ \rm V}$ als den Kreisradius ablesen.

(4) Das Quellensignal $q(t)$ ist zum Zeitpunkt $t = 0$ maximal und damit auch die Phasenfunktion:

$$ \eta = \phi_{\rm max} = \phi( t =0) = \pi\hspace{0.15cm}\underline { = 3.1415} \hspace{0.05cm}.$$

Daraus erhält man für die Modulatorkonstante:

$$K_{\rm PM} = \frac{\eta}{A_{\rm N}} = \frac{\pi}{2\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.571\,{\rm V}^{-1}}\hspace{0.05cm}.$$

(5) Man bewegt sich auf dem Kreis(bogen) im Uhrzeigersinn.

Nach einem Viertel der Periodendauer $T_{\rm N} = 1/f_{\rm N} = 200 \ \rm µ s$ ist $ϕ(t) = 0$ und $s_{\rm TP}(t) = 1 \, \rm V$.
Zur Zeit $t_1 = T_{\rm N}/2\hspace{0.15cm}\underline { = 100 \ \rm µ s}$ gilt $ϕ(t_1) = -π$ und $s_{\rm TP}(t_1) = -1 \, \rm V$.
Danach bewegt man sich auf dem Kreisbogen entgegen dem Uhrzeigersinn.

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-[[Datei:P_ID1079__Mod_A_3_1.png|right|]]
+[[Datei:P_ID1079__Mod_A_3_1.png|right|frame|Zwei Ortskurven zur Auswahl]]
-Die Grafik zeigt Ortskurven am Ausgang zweier Modulatoren $M_1$ und $M_2$. Real- und Imaginärteil sind in dieser Grafik jeweils auf 1 V normiert.
+Unter der Ortskurve versteht man allgemein die Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; in der komplexen Ebene.
-Unter der Ortskurve versteht man allgemein die Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals $s_{TP}(t)$ in der komplexen Ebene.
+*Die Grafik zeigt Ortskurven am Ausgang zweier Modulatoren &nbsp;$\rm M_1$&nbsp; und &nbsp;$\rm M_2$.
+*Real- und Imaginärteil sind in dieser Grafik jeweils auf $1 \ \rm V$ normiert.
 Das Quellensignal sei bei beiden Modulatoren gleich:
-$$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} \cdot t),\hspace{1cm}$$
+:$$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} \cdot t),\hspace{1cm}
-$${\rm mit}\hspace{0.2cm} A_{\rm N} = 2\,{\rm V},\hspace{0.2cm}f_{\rm N} = 5\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
+{\rm mit}\hspace{0.2cm} A_{\rm N} = 2\,{\rm V},\hspace{0.2cm}f_{\rm N} = 5\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
 Einer der beiden Modulatoren realisiert eine Phasenmodulation, die durch folgende Gleichungen gekennzeichnet ist:
-$$ s(t)  =  A_{\rm T} \cdot \cos \left(\omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t) \right)\hspace{0.05cm},$$
+:$$ s(t)  =  A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.1cm} \big[\omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t) \big]\hspace{0.05cm},$$
-$$ s_{\rm TP}(t)  =  A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\phi(t) }\hspace{0.05cm},$$
+:$$ s_{\rm TP}(t)  =  A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\phi(t) }\hspace{0.05cm},$$
-$$ \phi(t)  =  K_{\rm PM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$
+:$$ \phi(t)  =  K_{\rm PM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$
-Den Maximalwert von $ϕ(t)$ nennt man Modulationsindex $η$ – teilweise wird diese Größe in der Literatur auch als Phasenhub bezeichnet.
+Den Maximalwert von &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; nennt man den&nbsp; ''Modulationsindex'' &nbsp;$η$.&nbsp; Oft wird &nbsp;$η$&nbsp; in der Literatur auch als&nbsp; ''Phasenhub''&nbsp; bezeichnet.
-'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM) Kapitel 3.1].
+''Hinweise:''
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)#.C3.84quivalentes_TP.E2.80.93Signal_bei_Phasenmodulation|Äquivalentes TP-Signal bei Phasenmodulation]].
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welches Modulationsverfahren verwendet der Modulator $M_1$?
+{Welches Modulationsverfahren verwendet der Modulator &nbsp;$\rm M_1$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 -  Zweiseitenband–Amplitudenmodulation.
 + Einseitenband–Amplitudenmodulation.
 - Phasenmodulation.
-{Welches Modulationsverfahren verwendet der Modulator $M_2$?
+{Welches Modulationsverfahren verwendet der Modulator &nbsp;$\rm M_2$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Zweiseitenband–Amplitudenmodulation.
 - Einseitenband–Amplitudenmodulation.
 + Phasenmodulation.
-{Wie groß ist die Trägeramplitude $A_T$ beim Phasenmodulator? Beachten Sie die Normierung auf 1 V.
+{Wie groß ist die Trägeramplitude &nbsp;$A_{\rm T}$&nbsp; beim Phasenmodulator?&nbsp; Beachten Sie die Normierung auf &nbsp;$1 \ \rm V$.
 |type="{}"}
-$A_T$ = { 1 3% } $V$
+$A_{\rm T} \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V$
-{Welche Werte besitzen der Modulationsindex und die Modulatorkonstante?
+{Welche Werte besitzen der Modulationsindex &nbsp;$η$&nbsp; und die Modulatorkonstante &nbsp;$K_{\rm PM}$?
 |type="{}"}
-$η$ =  { 3.1415 3% }
+$η\ = \ $  { 3.1415 3% }
-$K_{PM}$ = { 1.571 3% } $1/V$
+$K_{\rm PM}\ = \ $ { 1.571 3% } $\ \rm 1/V$
-{Beschreiben Sie die Bewegung auf der Ortskurve. Zu welcher Zeit $t_1$ wird zum ersten Mal wieder der Ausgangspunkt $s_{TP}(t = 0) = –1V$ erreicht?
+{Beschreiben Sie die Bewegung auf der Ortskurve.&nbsp; Zu welcher Zeit &nbsp;$t_1$&nbsp; wird erstmals wieder der Ausgangspunkt &nbsp;$s_{\rm TP}(t = 0) = -1 \ \rm V$&nbsp; erreicht?
 |type="{}"}
-$t_1$ = { 100 3% } $μs$
+$t_1\ = \ $ { 100 3% } $ \ \rm  &micro; s$
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.''' Es handelt sich um eine ESB–AM mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis $μ = 1$ ⇒ Antwort 2. Bewegt man sich auf dem Kreis in mathematisch positive Richtung, so liegt speziell eine OSB–AM vor, andernfalls eine USB–AM.
+'''(1)'''&nbsp; Es handelt sich um eine ESB–AM mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis&nbsp; $μ = 1$ &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Antwort 2</u>:
+*Bewegt man sich auf dem Kreis in mathematisch positive Richtung, so liegt speziell eine OSB–AM vor, andernfalls eine USB–AM.
+*Die Phasenfunktion&nbsp; $ϕ(t)$&nbsp; als der Winkel eines Punktes&nbsp; $s_{\rm TP}(t)$&nbsp; auf dem Kreis(bogen) bezogen auf den Koordinatenursprung kann Werte zwischen&nbsp; $±π/2$&nbsp; annehmen und zeigt keinen Cosinusverlauf.
+*Aber auch die Hüllkurve&nbsp; $a(t) = |s_{\rm TP}(t)|$&nbsp; ist nicht cosinusförmig.
+*Würde man beim Empfänger für&nbsp; $\rm M_1$&nbsp; einen Hüllkurvendemodulator einsetzen, so käme es zu nichtlinearen Verzerrungen im Gegensatz zur ZSB–AM, deren Ortskurve eine horizontale Gerade ist.
+'''(2)'''&nbsp; Hier handelt es sich um die Phasenmodulation  &nbsp; ⇒ &nbsp; <u>Antwort 3</u>:
+*Die Einhüllende&nbsp; $a(t) = A_{\rm T}$&nbsp; ist konstant,
+*während die Phase&nbsp; $ϕ(t)$&nbsp; entsprechend dem Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; cosinusförmig verläuft.
-Die Phasenfunktion $ϕ(t)$ als der Winkel eines Punktes $s_{TP}(t)$ auf dem Kreis(bogen) bezogen auf den Koordinatenursprung kann Werte zwischen $±π/2$ annehmen und zeigt keinen Cosinusverlauf. Aber auch die Hüllkurve $a(t) = |s_{TP}(t)|$ ist nicht cosinusförmig. Würde man beim Empfänger für $M_1$ einen Hüllkurvendemodulator einsetzen, so käme es zu nichtlinearen Verzerrungen im Gegensatz zur ZSB–AM, deren Ortskurve eine horizontale Gerade ist.
+'''(3)'''&nbsp; Bei der Phasenmodulation gilt:
+:$$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\phi(t) }\hspace{0.05cm}.$$
+*Aus der Grafik kann man die Trägeramplitude&nbsp; $A_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline{ = 1 \ \rm V}$&nbsp; als den Kreisradius ablesen.
-'''2.'''Hier handelt es sich um die Phasenmodulation ⇒ Antwort 3. Die Einhüllende $a(t) = A_T$ ist konstant, während die Phase $ϕ(t)$ entsprechend dem Quellensignal cosinusförmig verläuft.
-'''3.''' Bei der Phasenmodulation gilt
-$$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\phi(t) }\hspace{0.05cm}.$$
-Aus der Grafik kann man die Trägeramplitude $A_T = 1 V$ als den Kreisradius ablesen.
-'''4.'''Das Quellensignal $q(t)$ ist zum Zeitpunkt $t = 0$ maximal und damit auch die Phasenfunktion:
+'''(4)'''&nbsp; Das Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; ist zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; maximal und damit auch die Phasenfunktion:
-$$ \eta = \phi_{\rm max} = \phi( t =0)\hspace{0.15cm}\underline { = \pi} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$ \eta = \phi_{\rm max} = \phi( t =0) = \pi\hspace{0.15cm}\underline { = 3.1415} \hspace{0.05cm}.$$
-Daraus erhält man für die Modulatorkonstante:
+*Daraus erhält man für die Modulatorkonstante:
 $$K_{\rm PM} = \frac{\eta}{A_{\rm N}} = \frac{\pi}{2\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.571\,{\rm V}^{-1}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''5.'''Man bewegt sich auf dem Kreis(bogen) im Uhrzeigersinn. Nach einem Viertel der Periodendauer $T_N = 1/f_N = 200 μs$ ist $ϕ(t) = 0$ und $s_{TP}(t) = 1 V$. Zur Zeit $t_1 = T_N/2 = 100 μs$ gilt $ϕ(t_1) = –π$ und $s_{TP}(t_1) = –1 V$. Danach bewegt man sich auf dem Kreisbogen entgegen dem Uhrzeigersinn.
+'''(5)'''&nbsp; Man bewegt sich auf dem Kreis(bogen) im Uhrzeigersinn.
+*Nach einem Viertel der Periodendauer &nbsp;$T_{\rm N} = 1/f_{\rm N}  = 200 \ \rm &micro; s$&nbsp; ist &nbsp;$ϕ(t) = 0$&nbsp; und &nbsp;$s_{\rm TP}(t) = 1 \, \rm V$.
+*Zur Zeit &nbsp;$t_1 = T_{\rm N}/2\hspace{0.15cm}\underline { = 100 \ \rm &micro; s}$&nbsp; gilt &nbsp;$ϕ(t_1) = -π$&nbsp; und &nbsp;$s_{\rm TP}(t_1) = -1 \, \rm V$.
+*Danach bewegt man sich auf dem Kreisbogen entgegen dem Uhrzeigersinn.
 {{ML-Fuß}}