Aufgaben:Aufgabe 3.1: Analyse eines Faltungscodierers: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Wir betrachten den | + | Wir betrachten den skizzierten Faltungscodierer und gehen von folgender Informationssequenz aus: |
| − | :$$\underline{\it u} = \big( 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm}... \big )\hspace{0.05cm}.$$ | + | :$$\underline{\it u} = \big( 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm}\text{...} \big )\hspace{0.05cm}.$$ |
Diese Sequenz wird auf drei Stränge aufgeteilt: | Diese Sequenz wird auf drei Stränge aufgeteilt: | ||
| − | :$$\underline{\it u}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big( 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} ... | + | :$$\underline{\it u}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big( 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} \text{...} \big )\hspace{0.05cm},$$ |
| − | :$$\underline{\it u}^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big( 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} ... \big )\hspace{0.05cm},$$ | + | :$$\underline{\it u}^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big( 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}\text{...} \big )\hspace{0.05cm},$$ |
| − | :$$\underline{\it u}^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \hspace{-0.15cm} \big( 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} ... | + | :$$\underline{\it u}^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \hspace{-0.15cm} \big( 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm}\text{...} \big )\hspace{0.05cm}.$$ |
| − | Die zum Zeitpunkt $i$ am Coder anliegenden Bits werden mit $u_i^{\rm (1)}$, $u_i^{\rm (2)}$ und $u_i^{\rm (3)}$ bezeichnet. Beispielsweise gilt $u_1^{\rm (1)} = 0$, $u_2^{\rm (2)} = 1$ sowie $u_3^{\rm (3)} = 1$. | + | Die zum Zeitpunkt $i$ am Coder anliegenden Bits werden mit $u_i^{\rm (1)}$, $u_i^{\rm (2)}$ und $u_i^{\rm (3)}$ bezeichnet. Beispielsweise gilt $u_1^{\rm (1)} = 0$, $u_2^{\rm (2)} = 1$ sowie $u_3^{\rm (3)} = 1$. |
In dieser Aufgabe sollen ermittelt werden: | In dieser Aufgabe sollen ermittelt werden: | ||
| − | * die Anzahl $k$ der pro Codierschritt verarbeiteten Informationsbits, | + | * die Anzahl $k$ der pro Codierschritt verarbeiteten Informationsbits, |
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| − | + | * die Gedächtnisordnung $($oder kurz: das Gedächtnis$)$ $m$, | |
| − | + | * die Gesamteinflusslänge $($oder kurz: Einflusslänge$)$ $\nu$. | |
| − | * Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung| Grundlagen der Faltungscodierung]]. | + | |
| − | * Der Vollständigkeit halber werden hier auch die Codebits zum Taktschritt $i = 2$ angegeben: | + | |
| + | Außerdem sollen Sie für die angegebene Informationssequenz $\underline {u}$ die Codesymbole $x_i^{(1)}$, $x_i^{(2)}$, $x_i^{(3)}$ und $x_i^{(4)}$ für die Taktzeitpunkte $i = 1$ und $i = 3$ bestimmen. Dabei ist vorauszusetzen, dass alle Speicherelemente zu Beginn mit Nullen belegt waren. | ||
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| + | <u>Hinweise:</u> | ||
| + | * Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung| "Grundlagen der Faltungscodierung"]]. | ||
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| + | * Der Vollständigkeit halber werden hier auch die Codebits zum Taktschritt $i = 2$ angegeben: | ||
:$$x_2^{(1)} = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_2^{(2)} = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} | :$$x_2^{(1)} = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_2^{(2)} = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} | ||
x_2^{(3)} = 0 ,\hspace{0.4cm}x_2^{(4)} = 0 \hspace{0.05cm}.$$ | x_2^{(3)} = 0 ,\hspace{0.4cm}x_2^{(4)} = 0 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | + | * Diese letzte Angabe wird zur Lösung der Aufgabe allerdings nicht benötigt. | |
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Wie lauten die Codeparameter $k$ und $n$? | + | {Wie lauten die Codeparameter $k$ und $n$? |
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$k \ = \ ${ 3 3% } | $k \ = \ ${ 3 3% } | ||
$n \ = \ ${ 4 3% } | $n \ = \ ${ 4 3% } | ||
| − | {Wie groß sind die Gedächtnisordnung $m$ und die Gesamteinflusslänge $\nu$? | + | {Wie groß sind die Gedächtnisordnung $m$ und die Gesamteinflusslänge $\nu$? |
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$m \ = \ ${ 2 3% } | $m \ = \ ${ 2 3% } | ||
$\nu \ = \ ${ 3 3% } | $\nu \ = \ ${ 3 3% } | ||
| − | {Wie lauten die vier Codebits im ersten Codierschritt ( | + | {Wie lauten die vier Codebits im ersten Codierschritt $(i = 1)$? |
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$x_1^{(1)} \ = \ ${ 0 3% } | $x_1^{(1)} \ = \ ${ 0 3% } | ||
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$x_1^{(4)} \ = \ ${ 0 3% } | $x_1^{(4)} \ = \ ${ 0 3% } | ||
| − | {Wie lauten die Codebits im dritten Codierschritt ( | + | {Wie lauten die vier Codebits im dritten Codierschritt $(i = 3)$? |
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$x_3^{(1)} \ = \ ${ 1 3% } | $x_3^{(1)} \ = \ ${ 1 3% } | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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| − | '''(1)''' Zu jedem Takt werden $\underline {k = 3}$ neue Informationsbits verarbeitet und $\underline {n = 4}$ Codebits ausgegeben. | + | '''(1)''' Zu jedem Takt werden $\underline {k = 3}$ neue Informationsbits verarbeitet und $\underline {n = 4}$ Codebits ausgegeben. |
| − | '''(2)''' Wir bezeichnen hier die Einflusslängen der Informationssequenzen $\underline{u}^{(j)}$ mit $\nu_j$, wobei $1 ≤ j ≤ k = 3$ zu setzen ist. Dann gilt: | + | '''(2)''' Wir bezeichnen hier die Einflusslängen der Informationssequenzen $\underline{u}^{(j)}$ mit $\nu_j$, wobei $1 ≤ j ≤ k = 3$ zu setzen ist. Dann gilt: |
| − | :$$\nu_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.15cm}{\rm (f\ddot{u}r \hspace{0.15cm}die \hspace{0.15cm}erste \hspace{0.15cm}Sequenz \hspace{0.15cm}ist \hspace{0.15cm}kein \hspace{0.15cm}Schieberegister \hspace{0.15cm}n\ddot{o}tig)}\hspace{0.05cm}, | + | :$$\nu_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.15cm}{\rm (f\ddot{u}r \hspace{0.15cm}die \hspace{0.15cm}erste \hspace{0.15cm}Sequenz \hspace{0.15cm}ist \hspace{0.15cm}kein \hspace{0.15cm}Schieberegister \hspace{0.15cm}n\ddot{o}tig)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} |
| − | + | \nu_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\nu_3 = 2\hspace{0.05cm}.$$ | |
| − | Die Gedächtnisordnung $m$ (oder kurz: das Gedächtnis) des Coders ist durch das längste Schieberegister gegeben ⇒ $\underline {m = 2}$. Die Gesamteinflusslänge (oder kurz: Einflusslänge) entspricht der Anzahl der Speicherelemente der gesamten Codiererschaltung ⇒ $\underline {\nu = 3}$. | + | *Die Gedächtnisordnung $m$ $($oder kurz: das Gedächtnis$)$ des Coders ist durch das längste Schieberegister gegeben ⇒ $\underline {m = 2}$. |
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| + | *Die Gesamteinflusslänge $($oder kurz: Einflusslänge$)$ entspricht der Anzahl der Speicherelemente der gesamten Codiererschaltung ⇒ $\underline {\nu = 3}$. | ||
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| + | '''(3)''' Allgemein gilt für die $n = 4$ Codebits zum Schritt $i$: | ||
:$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} \hspace{0.05cm},$$ | :$$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} \hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(2)} + u_{i-1}^{(3)} \hspace{0.05cm},$$ | :$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(2)} + u_{i-1}^{(3)} \hspace{0.05cm},$$ | ||
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:$$x_i^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i}^{(3)}+ u_{i-2}^{(3)}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$x_i^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i}^{(3)}+ u_{i-2}^{(3)}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Im ersten Codierschritt sind alle Speicherelemente mit Nullen belegt. Deshalb kann man für $i = 1$ auf alle Bits mit den Indizes $i–1$ bzw. $i \, –2$ verzichten. Entsprechend der Angabe soll weiter gelten: $u_1^{(1)} = 0$, $u_1^{(2)} = 1$, $u_1^{(3)} = 1$. Damit erhält man durch Modulo–2–Addition: | + | *Im ersten Codierschritt sind alle Speicherelemente mit Nullen belegt. |
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| + | *Deshalb kann man für $i = 1$ auf alle Bits mit den Indizes $i \, –1$ bzw. $i \, –2$ verzichten. | ||
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| + | *Entsprechend der Angabe soll weiter gelten: $u_1^{(1)} = 0$, $u_1^{(2)} = 1$, $u_1^{(3)} = 1$. | ||
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| + | *Damit erhält man durch Modulo–2–Addition: | ||
:$$x_1^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{1}^{(1)} \hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm},$$ | :$$x_1^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{1}^{(1)} \hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$x_1^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{1}^{(1)} + u_{1}^{(2)} = 0+1 \hspace{0.15cm}\underline {=1} \hspace{0.05cm},$$ | :$$x_1^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{1}^{(1)} + u_{1}^{(2)} = 0+1 \hspace{0.15cm}\underline {=1} \hspace{0.05cm},$$ | ||
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| − | '''(4)''' Im Codierschritt $i = 3$ lauten die Informationsbits: | + | '''(4)''' Im Codierschritt $i = 3$ lauten die Informationsbits: |
:$$u_i^{(1)} \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-1}^{(1)} = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-2}^{(1)} = 0\hspace{0.05cm},$$ | :$$u_i^{(1)} \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-1}^{(1)} = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-2}^{(1)} = 0\hspace{0.05cm},$$ | ||
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| − | woraus sich folgende Codebits ergeben: | + | :woraus sich folgende Codebits ergeben: |
| − | :$$x_3^{(1)} \hspace{0.15cm}\underline {=1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_3^{(2)} = 1+0+1+0\hspace{0.15cm}\underline {=0}\hspace{0.05cm}, | + | :$$x_3^{(1)} \hspace{0.15cm}\underline {=1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_3^{(2)} = 1+0+1+0\hspace{0.15cm}\underline {=0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_3^{(3)}= 0+1+1+1 \hspace{0.15cm}\underline {=1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_3^{(4)} = 1+0+1+1\hspace{0.15cm}\underline {=1}\hspace{0.05cm}.$$ |
| − | |||
| − | Die Codebits im Codierschritt $i = 2$ wurden bereits auf der Angabenseite genannt. Hier folgt noch die Herleitung: | + | ⇒ Die Codebits im Codierschritt $i = 2$ wurden bereits auf der Angabenseite genannt. Hier folgt noch die Herleitung: |
:$$x_2^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(1)} = 1 \hspace{0.05cm},$$ | :$$x_2^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(1)} = 1 \hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$x_2^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(1)} + u_{2}^{(2)} + u_{1}^{(2)} + u_{1}^{(3)} = 1+1+1+1 = 0 \hspace{0.05cm},$$ | :$$x_2^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(1)} + u_{2}^{(2)} + u_{1}^{(2)} + u_{1}^{(3)} = 1+1+1+1 = 0 \hspace{0.05cm},$$ | ||
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:$$x_2^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(1)} + u_{2}^{(2)} + u_{2}^{(3)}+ u_{0}^{(3)}= 1+1+0+(0) = 0\hspace{0.05cm}.$$ | :$$x_2^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(1)} + u_{2}^{(2)} + u_{2}^{(3)}+ u_{0}^{(3)}= 1+1+0+(0) = 0\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Somit beginnt die Codesequenz $\underline {x}$ (nach dem Multiplexing) mit $(0100, 1000, 1011, \ ...)$. Die Gruppierung wurde hier nur aus Gründen der Übersichtlichkeit vorgenommen. | + | *Somit beginnt die Codesequenz $\underline {x}$ $($nach dem Multiplexing$)$ mit $(0100, 1000, 1011, \ \text{...})$. |
| + | |||
| + | *Die Gruppierung wurde hier nur aus Gründen der Übersichtlichkeit vorgenommen. | ||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung|^3.1 Grundlagen der Faltungscodierung^]] | [[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung|^3.1 Grundlagen der Faltungscodierung^]] | ||
Aktuelle Version vom 6. November 2022, 18:21 Uhr
Vorgegebener Faltungscodierer
Wir betrachten den skizzierten Faltungscodierer und gehen von folgender Informationssequenz aus:
- $$\underline{\it u} = \big( 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm}\text{...} \big )\hspace{0.05cm}.$$
Diese Sequenz wird auf drei Stränge aufgeteilt:
- $$\underline{\it u}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big( 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} \text{...} \big )\hspace{0.05cm},$$
- $$\underline{\it u}^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big( 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}\text{...} \big )\hspace{0.05cm},$$
- $$\underline{\it u}^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \hspace{-0.15cm} \big( 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm}\text{...} \big )\hspace{0.05cm}.$$
Die zum Zeitpunkt $i$ am Coder anliegenden Bits werden mit $u_i^{\rm (1)}$, $u_i^{\rm (2)}$ und $u_i^{\rm (3)}$ bezeichnet. Beispielsweise gilt $u_1^{\rm (1)} = 0$, $u_2^{\rm (2)} = 1$ sowie $u_3^{\rm (3)} = 1$.
In dieser Aufgabe sollen ermittelt werden:
- die Anzahl $k$ der pro Codierschritt verarbeiteten Informationsbits,
- die Anzahl $n$ der pro Codierschritt ausgegebenen Codebits,
- die Gedächtnisordnung $($oder kurz: das Gedächtnis$)$ $m$,
- die Gesamteinflusslänge $($oder kurz: Einflusslänge$)$ $\nu$.
Außerdem sollen Sie für die angegebene Informationssequenz $\underline {u}$ die Codesymbole $x_i^{(1)}$, $x_i^{(2)}$, $x_i^{(3)}$ und $x_i^{(4)}$ für die Taktzeitpunkte $i = 1$ und $i = 3$ bestimmen. Dabei ist vorauszusetzen, dass alle Speicherelemente zu Beginn mit Nullen belegt waren.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel "Grundlagen der Faltungscodierung".
- Der Vollständigkeit halber werden hier auch die Codebits zum Taktschritt $i = 2$ angegeben:
- $$x_2^{(1)} = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_2^{(2)} = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} x_2^{(3)} = 0 ,\hspace{0.4cm}x_2^{(4)} = 0 \hspace{0.05cm}.$$
- Diese letzte Angabe wird zur Lösung der Aufgabe allerdings nicht benötigt.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Zu jedem Takt werden $\underline {k = 3}$ neue Informationsbits verarbeitet und $\underline {n = 4}$ Codebits ausgegeben.
(2) Wir bezeichnen hier die Einflusslängen der Informationssequenzen $\underline{u}^{(j)}$ mit $\nu_j$, wobei $1 ≤ j ≤ k = 3$ zu setzen ist. Dann gilt:
- $$\nu_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 0 \hspace{0.15cm}{\rm (f\ddot{u}r \hspace{0.15cm}die \hspace{0.15cm}erste \hspace{0.15cm}Sequenz \hspace{0.15cm}ist \hspace{0.15cm}kein \hspace{0.15cm}Schieberegister \hspace{0.15cm}n\ddot{o}tig)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \nu_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\nu_3 = 2\hspace{0.05cm}.$$
- Die Gedächtnisordnung $m$ $($oder kurz: das Gedächtnis$)$ des Coders ist durch das längste Schieberegister gegeben ⇒ $\underline {m = 2}$.
- Die Gesamteinflusslänge $($oder kurz: Einflusslänge$)$ entspricht der Anzahl der Speicherelemente der gesamten Codiererschaltung ⇒ $\underline {\nu = 3}$.
Vorgegebener Faltungscodierer
(3) Allgemein gilt für die $n = 4$ Codebits zum Schritt $i$:
- $$x_i^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} \hspace{0.05cm},$$
- $$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i-1}^{(2)} + u_{i-1}^{(3)} \hspace{0.05cm},$$
- $$x_i^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(2)} + u_{i}^{(3)}+ u_{i-1}^{(2)} + u_{i-2}^{(3)} \hspace{0.05cm},$$
- $$x_i^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)} + u_{i}^{(3)}+ u_{i-2}^{(3)}\hspace{0.05cm}.$$
- Im ersten Codierschritt sind alle Speicherelemente mit Nullen belegt.
- Deshalb kann man für $i = 1$ auf alle Bits mit den Indizes $i \, –1$ bzw. $i \, –2$ verzichten.
- Entsprechend der Angabe soll weiter gelten: $u_1^{(1)} = 0$, $u_1^{(2)} = 1$, $u_1^{(3)} = 1$.
- Damit erhält man durch Modulo–2–Addition:
- $$x_1^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{1}^{(1)} \hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm},$$
- $$x_1^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{1}^{(1)} + u_{1}^{(2)} = 0+1 \hspace{0.15cm}\underline {=1} \hspace{0.05cm},$$
- $$x_1^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{1}^{(2)} + u_{1}^{(3)}= 1 + 1 \hspace{0.15cm}\underline {=0}\hspace{0.05cm},$$
- $$x_1^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{1}^{(1)} + u_{1}^{(2)} + u_{1}^{(3)}= 0+1+1\hspace{0.15cm}\underline {=0}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Im Codierschritt $i = 3$ lauten die Informationsbits:
- $$u_i^{(1)} \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-1}^{(1)} = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-2}^{(1)} = 0\hspace{0.05cm},$$
- $$u_i^{(2)} \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-1}^{(2)} = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-2}^{(2)} = 1\hspace{0.05cm},$$
- $$u_i^{(3)} \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-1}^{(3)} = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}u_{i-2}^{(3)} = 1\hspace{0.05cm},$$
- woraus sich folgende Codebits ergeben:
- $$x_3^{(1)} \hspace{0.15cm}\underline {=1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_3^{(2)} = 1+0+1+0\hspace{0.15cm}\underline {=0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_3^{(3)}= 0+1+1+1 \hspace{0.15cm}\underline {=1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_3^{(4)} = 1+0+1+1\hspace{0.15cm}\underline {=1}\hspace{0.05cm}.$$
⇒ Die Codebits im Codierschritt $i = 2$ wurden bereits auf der Angabenseite genannt. Hier folgt noch die Herleitung:
- $$x_2^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(1)} = 1 \hspace{0.05cm},$$
- $$x_2^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(1)} + u_{2}^{(2)} + u_{1}^{(2)} + u_{1}^{(3)} = 1+1+1+1 = 0 \hspace{0.05cm},$$
- $$x_2^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(2)} + u_{2}^{(3)}+ u_{1}^{(2)} + u_{0}^{(3)} = 1+0+1+(0) = 0\hspace{0.05cm},$$
- $$x_2^{(4)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_{2}^{(1)} + u_{2}^{(2)} + u_{2}^{(3)}+ u_{0}^{(3)}= 1+1+0+(0) = 0\hspace{0.05cm}.$$
- Somit beginnt die Codesequenz $\underline {x}$ $($nach dem Multiplexing$)$ mit $(0100, 1000, 1011, \ \text{...})$.
- Die Gruppierung wurde hier nur aus Gründen der Übersichtlichkeit vorgenommen.
