Aufgabe 3.13: Vergleich SWE - DFE - ML

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche

Fehlerwahrscheinlichkeitsvergleich SW - DFE - ML

Es sollen Fehlerwahrscheinlichkeiten verschiedener Empfängertypen miteinander verglichen werden. Im Einzelnen werden betrachtet:

  • Schwellenwertentscheidung ($p_{\rm SE}$),
  • Entscheidungsrückkopplung ($p_{\rm DFE}$) und
  • Maximum–Likelihood–Detektion ($p_{\rm ML}$).

Der „Hauptwert” $g_0$, der Vorläufer $g_{\rm –1}$ und der Nachläufer $g_1$ des Detektionsgrundimpulses sowie der Detektionsstöreffektivwert vor dem jeweiligen Entscheider ($\sigma_d$) sind für vier Systemvarianten A, B, C und D in der Tabelle angegeben.

Ausgegangen wird von bipolaren Amplitudenkoeffizienten, so dass zum Beispiel für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit des Empfängers mit einfachem Schwellenwertenentscheider gilt:

$$p_{\rm U,\hspace{0.05cm} SE } = \left\{ \begin{array}{c} {\rm Q}\left[ ({g_0-|g_{-1}|-|g_{1}|})/{\sigma_d} \right]\\ \\{\rm Q}(0) = 0.5 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm bei }\hspace{0.15cm}{\rm ge\ddot{o}ffnetem }\hspace{0.15cm}{\rm Auge }, \\ \\{\rm bei }\hspace{0.15cm}{\rm geschlossenem }\hspace{0.15cm}{\rm Auge }. \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} \\ \end{array}$$

Beim Nyquistsystem A ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit genau so groß, nämlich

$$p_{\rm SE } =p_{\rm U,\hspace{0.05cm} SE } = {\rm Q}\left( {g_0}/{\sigma_d} \right)= {\rm Q}(5) \approx 2.87 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$

Bei den anderen hier betrachteten Systemvarianten B, C und D sind die Impulsinterferenzen so stark und der vorgegebene Störeffektivwert so klein, dass die folgende Näherung angewendet werden kann:

$$p_{\rm SE } \approx {1}/{4} \cdot p_{\rm U,\hspace{0.05cm} SE } = {1}/{4} \cdot {\rm Q}\left( \frac {{\rm Max }\hspace{0.05cm}[0, \hspace{0.05cm}g_0-|g_{-1}|-|g_{1}|]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$

Mit Ausnahme des Nyquistsystems A (hier ist $p_{\rm DFE} = p_{\rm SE}$) gilt für den DFE–Empfänger statt dessen:

$$p_{\rm DFE } \approx {1}/{2} \cdot p_{\rm U,\hspace{0.05cm} DFE } = {1}/{2} \cdot {\rm Q}\left( \frac{{\rm Max }\hspace{0.05cm}[0, \hspace{0.05cm}g_0-|g_{-1}|]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$

Dagegen wurde auf der letzten Theorieseite zu diesem Kapitel gezeigt, dass für einen Empfänger mit ML–Entscheidung folgende Näherung zutrifft:

$$p_{\rm ML } = {\rm Q}\left( \frac{{\rm Max }\hspace{0.05cm}[g_{\nu}]}{\sigma_d} \right)\hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

  • Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Viterbi–Empfänger.
  • Die Zahlenwerte der Q–Funktion können Sie mit dem Interaktionsmodul Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen ermitteln.
  • Um den im Theorieteil angegebenen Algorithmus für zwei Vorläufer anwenden zu können, müssten Sie folgende Umbenennungen vornehmen:
$$g_{1 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{0 },\hspace{0.4cm} g_{0 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{-1 },\hspace{0.4cm} g_{-1 }\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}g_{-2 } \hspace{0.05cm}.$$

Dies hat jedoch für die Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeiten keine Bedeutung.


Fragebogen

1

Multiple-Choice Frage

Falsch
Richtig

2

Input-Box Frage

$\alpha$ =


Musterlösung

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.