Aufgaben:Aufgabe 3.12: Pfadgewichtsfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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{Wie groß ist die freie Distanz des betrachteten Codes? | {Wie groß ist die freie Distanz des betrachteten Codes? | ||
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| + | '''(1)''' Aus der nebenstehenden Grafik erkennt man, dass die <u>Lösungsvorschläge 1, 3, 4 und 5</u> richtig sind: | ||
| + | *Der Zustand $S_0$ muss in einen Startzustand $S_0$ und einen Endzustand ${S_0}'$ aufgespalten werden. | ||
| + | *Der Grund hierfür ist, dass für die folgende Berechnung der Pfadgewichtsfunktion $T(X, \, U)$ alle Übergänge von $S_0$ nach $S_0$ ausgeschlossen werden müssen. | ||
| + | *Jedes Codesymbol $x ∈ \{0, \, 1\}$ wird durch $X^x$ dargestellt, wobei $X$ eine Dummy–Variable hinsichtlich der Ausgangssequenz ist: $x = 0 \ \Rightarrow \ X^0 = 1, \ x = 1 \ \Rightarrow \ X^1 = X.$ Daraus folgt weiter $(00) \ \Rightarrow \ 1, \ (01) \ \Rightarrow \ X, \ (10) \ \Rightarrow \ X, \ (11) \ \Rightarrow \ X^2$. | ||
| + | *Bei einem blauen Übergang im ursprünglichen Diagramm – dies steht für $u_i = 1$ – ist im modifizierten Diagramm der Faktor $U$ hinzuzufügen. | ||
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| − | + | *Das reduzierte Diagramm ist entsprechend der Auflistung im [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Regeln_zur_Manipulation_des_Zustands.C3.BCbergangsdiagramms|Theorieteil]] ein „Ring”. Daraus folgt: | |
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| − | Mit $A(X, \, U) = UX^2, \ B(X, \, U) = X, \ C(X, \, U) = UX$ erhält man mit der angegebenen Reihenentwicklung: | + | :$$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{U \hspace{0.05cm} X^3}{1- U \hspace{0.05cm} X} = U \hspace{0.05cm} X^3 \cdot \left [ 1 + (U \hspace{0.05cm} X) + (U \hspace{0.05cm} X)^2 +\text{...} \hspace{0.10cm} \right ] |
| − | :$$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{U \hspace{0.05cm} X^3}{1- U \hspace{0.05cm} X} = U \hspace{0.05cm} X^3 \cdot \left [ 1 + (U \hspace{0.05cm} X) + (U \hspace{0.05cm} X)^2 + ... \hspace{0.10cm} \right ] | ||
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| − | [[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung|^3.5 Distanzeigenschaften | + | [[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung|^3.5 Distanzeigenschaften^]] |
Aktuelle Version vom 1. Juli 2019, 17:14 Uhr
Faltungscodierer mit $m = 1$ und Zustandsübergangsdiagramm
In Aufgabe 3.6 wurde das Zustandsübergangsdiagramm für den gezeichneten Faltungscodierer mit den Eigenschaften
- Rate $R = 1/2$,
- Gedächtnis $m = 1$,
- Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D) = (1, \, D)$
ermittelt, das rechts dargestellt ist.
Aus diesem Zustandsübergangsdiagramm soll nun
- die Pfadgewichtsfunktion $T(X)$, und
- die erweiterte Pfadgewichtsfunktion $T_{\rm enh}(X, \, U)$
bestimmt werden, wobei $X$ und $U$ Dummy–Variablen sind.
Die Vorgehensweise ist im Theorieteil zu diesem Kapitel eingehend erläutert. Schließlich ist aus $T(X)$ noch die freie Distanz $d_{\rm F}$ zu bestimmen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken.
- Berücksichtigen Sie bei der Lösung die Reihenentwicklung
- $$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
Zustandsübergangsdiagramm nach Modifikationen
(1) Aus der nebenstehenden Grafik erkennt man, dass die Lösungsvorschläge 1, 3, 4 und 5 richtig sind:
- Der Zustand $S_0$ muss in einen Startzustand $S_0$ und einen Endzustand ${S_0}'$ aufgespalten werden.
- Der Grund hierfür ist, dass für die folgende Berechnung der Pfadgewichtsfunktion $T(X, \, U)$ alle Übergänge von $S_0$ nach $S_0$ ausgeschlossen werden müssen.
- Jedes Codesymbol $x ∈ \{0, \, 1\}$ wird durch $X^x$ dargestellt, wobei $X$ eine Dummy–Variable hinsichtlich der Ausgangssequenz ist: $x = 0 \ \Rightarrow \ X^0 = 1, \ x = 1 \ \Rightarrow \ X^1 = X.$ Daraus folgt weiter $(00) \ \Rightarrow \ 1, \ (01) \ \Rightarrow \ X, \ (10) \ \Rightarrow \ X, \ (11) \ \Rightarrow \ X^2$.
- Bei einem blauen Übergang im ursprünglichen Diagramm – dies steht für $u_i = 1$ – ist im modifizierten Diagramm der Faktor $U$ hinzuzufügen.
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Das reduzierte Diagramm ist entsprechend der Auflistung im Theorieteil ein „Ring”. Daraus folgt:
- $$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{A(X, U) \cdot B(X, U)}{1- C(X, U)} \hspace{0.05cm}.$$
- Mit $A(X, \, U) = UX^2, \ B(X, \, U) = X, \ C(X, \, U) = UX$ erhält man mit der angegebenen Reihenentwicklung:
- $$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{U \hspace{0.05cm} X^3}{1- U \hspace{0.05cm} X} = U \hspace{0.05cm} X^3 \cdot \left [ 1 + (U \hspace{0.05cm} X) + (U \hspace{0.05cm} X)^2 +\text{...} \hspace{0.10cm} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
(3) Man kommt von der erweiterten Pfadgewichtsfunktion zu $T(X)$, indem der Formalparameter $U = 1$ gesetzt wird. Richtig sind also beide Lösungsvorschläge.
(4) Die freie Distanz $d_{\rm F}$ lässt sich aus der Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ als der niedrigste Exponent der Dummy–Variablen $X$ ablesen ⇒ $d_{\rm F} \ \underline{= 3}$.
