Aufgaben:Aufgabe 3.12: Cauchyverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

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'''(1)'''  Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil, so erkennt man, dass der Parameter $\lambda= 2$ ist.  
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'''(1)'''  Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil, so erkennt man, dass der Parameter  $\lambda= 2$  ist.  
*Daraus folgt (nach Integration über die WDF):
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:$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$
 
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'''(2)'''  Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' ist $F_x ( r = 4 )  = 0.5 + 1/\pi = 0.852$.  
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'''(2)'''  Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(1)'''  ist  $F_x ( r = 4 )  = 0.5 + 1/\pi = 0.852$.  
*Damit gilt für die „komplementäre” Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr} (x > 4)= 0.148$.  
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*Damit gilt für die „komplementäre” Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr} (x > 4)= 0.148$.  
 
*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist aus Symmetriegründen doppelt so groß:
 
*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist aus Symmetriegründen doppelt so groß:
$${\rm Pr} (|x| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.296}.$$
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\frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$
 
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*Für große $x$ liefert der Integrand den konstanten Wert $4$. Deshalb divergiert das Integral.  
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*Für große  $x$  liefert der Integrand den konstanten Wert  $4$. Deshalb divergiert das Integral.  
*Mit $\sigma_x \to \infty$ liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.
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*Mit  $\sigma_x \to \infty$  liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.
 
*„Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten.  
 
*„Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten.  
*Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße (Beispiel:   der Quotient zweier mittelwertfreier Gaußgrößen) nicht dieser Beschränkung.
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*Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße  (Beispiel:   der Quotient zweier mittelwertfreier Gaußgrößen)  nicht dieser Beschränkung.
 
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Version vom 25. November 2019, 15:20 Uhr

WDF der Cauchyverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Cauchyverteilung ist wie folgt gegeben:

$$f_x(x)=\frac{\rm 1}{\rm 2 \pi}\cdot \frac{\rm 1}{\rm 1+ (\it x/\rm 2)^{\rm 2}}.$$

Aus der Grafik ist bereits der extrem langsame Abfall des WDF–Verlaufs zu erkennen.




Hinweise:



Fragebogen

1

Wie lautet die Verteilungsfunktion  $F_x(r)$?  Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist  $x$  betragsmäßig kleiner als  $2$?

${\rm Pr} (|x| < 2) \ = \ $

$ \ \%$

2

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist  $x$  betragsmäßig größer als  $4$?

${\rm Pr} (|x| > 4) \ = \ $

$ \ \%$

3

Welche der folgenden Aussagen treffen für die Cauchyverteilung zu?

Die Cauchyverteilung besitzt eine unendlich große Varianz.
Die Tschebyscheff–Ungleichung macht hier keinen Sinn.
Eine in der Natur messbare Zufallsgröße ist nie cauchyverteilt.


Musterlösung

(1)  Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil, so erkennt man, dass der Parameter  $\lambda= 2$  ist.

  • Daraus folgt  (nach Integration über die WDF):
$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$
  • Insbesondere sind
$$F_x ( r = +2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(1)=\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.75,$$
$$F_x ( r = -2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(-1)=\frac{1}{2} - \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.25.$$
  • Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich als die Differenz zu
$${\rm Pr} (|x| < 2) = 0.75 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$


(2)  Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe  (1)  ist  $F_x ( r = 4 ) = 0.5 + 1/\pi = 0.852$.

  • Damit gilt für die „komplementäre” Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr} (x > 4)= 0.148$.
  • Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist aus Symmetriegründen doppelt so groß:
$${\rm Pr} (|x| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 29.6\%}.$$


(3)  Alle Lösungsvorschläge treffen zu:

  • Für die Varianz der Cauchyverteilung gilt nämlich:
$$\sigma_x^{\rm 2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.15cm} \frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$
  • Für große  $x$  liefert der Integrand den konstanten Wert  $4$. Deshalb divergiert das Integral.
  • Mit  $\sigma_x \to \infty$  liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.
  • „Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten.
  • Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße  (Beispiel:   der Quotient zweier mittelwertfreier Gaußgrößen)  nicht dieser Beschränkung.