Aufgaben:Aufgabe 3.12: Cauchyverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | + | '''(1)''' Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil, so erkennt man, dass der Parameter $\lambda= 2$ ist. Daraus folgt (nach Integration über die WDF): | |
| − | + | $$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$ | |
| − | + | Insbesondere sind | |
| − | + | $$F_x ( r = 2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(1)=\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.75,$$ | |
| − | + | $$F_x ( r = -2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(-1)=\frac{1}{2} - \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.25.$$ | |
| − | + | Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich als die Differenz zu | |
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| − | + | '''(2)''' Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) (a) ist $F_x ( r = 4 ) = 0.5 + 1/\pi = 0.852$. Damit gilt für die „komplementäre” Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr} (x > 4)= 0.148$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist aus Symmetriegründen doppelt so groß: | |
| + | $${\rm Pr} (|x| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.296}.$$ | ||
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| − | + | *Für große $x$ liefert der Integrand den konstanten Wert $4$. Deshalb divergiert das Integral. Mit $\sigma_x \to \infty$ liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke. | |
| − | + | *„Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten. | |
| − | + | *Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße - wie zum Beispiel der Quotient zweier mittelwertfreier Gaußgrößen - nicht dieser Beschränkung. | |
| − | „Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten. Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße - wie | ||
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Version vom 15. März 2017, 18:32 Uhr
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Cauchyverteilung ist wie folgt gegeben: $$f_x(x)=\frac{\rm 1}{\rm 2 \pi}\cdot \frac{\rm 1}{\rm 1+ (\it x/\rm 2)^{\rm 2}}.$$
Aus der Grafik ist bereits der extrem langsame Abfall des WDF–Verlaufs zu erkennen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Weitere Verteilungen.
- Insbesondere wird auf die Seite TCauchyverteilung Bezug genommen .
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Theorieteil, so erkennt man, dass der Parameter $\lambda= 2$ ist. Daraus folgt (nach Integration über die WDF):
$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$
Insbesondere sind $$F_x ( r = 2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(1)=\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.75,$$ $$F_x ( r = -2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(-1)=\frac{1}{2} - \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.25.$$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich als die Differenz zu $${\rm Pr} (|x| < 2) = 0.75 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$
(2) Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) (a) ist $F_x ( r = 4 ) = 0.5 + 1/\pi = 0.852$. Damit gilt für die „komplementäre” Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr} (x > 4)= 0.148$. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist aus Symmetriegründen doppelt so groß:
$${\rm Pr} (|x| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.296}.$$
(3) Alle Lösungsvorschläge treffen zu:
- Für die Varianz der Cauchyverteilung gilt nämlich:
- $$\sigma_x^{\rm 2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.15cm} \frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$
- Für große $x$ liefert der Integrand den konstanten Wert $4$. Deshalb divergiert das Integral. Mit $\sigma_x \to \infty$ liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.
- „Natürliche“ Zufallsgrößen (physikalisch interpretierbar) können nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich große Leistung besitzen müssten.
- Dagegen unterliegt eine „künstliche“ (oder mathematische) Zufallsgröße - wie zum Beispiel der Quotient zweier mittelwertfreier Gaußgrößen - nicht dieser Beschränkung.
