Aufgabe 3.11Z: Maximum-Likelihood-Fehlergrößen

Berechnung der minimalen Gesamtfehlergrößen

Für die in der Aufgabe 3.11 behandelte Maximum–Likelihood–Konstellation mit bipolaren Amplitudenkoeffizient $a_{\rm \nu} ∈ \{+1, –1\}$ sollen die Fehlergrößen $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$ sowie die minimalen Gesamtfehlergrößen ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(–1)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$ ermittelt werden.

Der Grundimpuls ist durch die beiden Werte $g_0$ und $g_{\rm –1}$ gegeben. Diese können ebenso wie die Detektionsabtastwerte $d_0$ und $d_1$ aus den nachfolgenden Berechnungen für die Fehlergrößen $\varepsilon_{\rm \nu}(i)$ zu den Zeitpunkten $\nu = 0$ und $\nu = 1$ entnommen werden. Anzumerken ist, dass vor der eigentlichen Nachricht ($a_1$, $a_2$, $a_3$) stets das Symbol $a_0 = 0$ gesendet wird. Für den Zeitpunkt $\nu = 0$ gilt:

$$\varepsilon_{0}(+1) \ = \ [-0.4- 0.4]^2=0.64 \hspace{0.05cm},$$

$$\varepsilon_{0}(-1) \ = \ [-0.4+ 0.4]^2=0.00 \hspace{0.05cm}.$$

Daraus könnte bereits zum Zeitpunkt $\nu = 0$ geschlossen werden, dass mit großer Wahrscheinlichkeit $a_1 = -\hspace{-0.05cm}1$ ist. Für den Zeitpunkt $\nu = 1$ ergeben sich folgende Fehlergrößen:

$$\varepsilon_{1}(+1, +1) \ = \ [-0.8- 0.6 -0.4]^2=3.24 \hspace{0.05cm},$$

$$\varepsilon_{1}(+1, -1) \ = \ [-0.8- 0.6 +0.4]^2=1.00 \hspace{0.05cm},$$

$$\varepsilon_{1}(-1, +1) \ = \ [-0.8+ 0.6 -0.4]^2=0.36 \hspace{0.05cm},$$

$$ \varepsilon_{1}(-1, -1) \ = \ [-0.8+ 0.6 +0.4]^2=0.04 \hspace{0.05cm}.$$

Die minimalen Gesamtfehlergrößen ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(-\hspace{-0.07cm}1)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(+1)$, die mit diesen sechs Fehlergrößen berechnet werden können, sind bereits in der Grafik eingezeichnet. Die weiteren Detektionsabtastwerte sind $d_{2}=0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} d_{3}=0.5 \hspace{0.05cm}.$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Viterbi–Empfänger.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Alle Größen sind hier normiert zu verstehen. Gehen Sie izudem von biipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus: ${\rm Pr} (a_\nu = -\hspace{-0.05cm}1) = {\rm Pr} (a_\nu = +1)= 0.5.$
Die Thematik wird auch im Interaktionsmodul Eigenschaften des Viterbi–Empfängers behandelt.

Fragebogen

$d_0 \ = \ $

$d_1\ = \ $

$g_0\ = \ $

$g_{-1} \ = \ $

	$±0.2,$
	$±0.4,$
	$±0.6,$
	$±1.0.$

${\it \Gamma}_2(+1)\ = \ $

${\it \Gamma}_2(-\hspace{-0.05cm}1)\ = \ $

${\it \Gamma}_3(+1) \ = \ $

${\it \Gamma}_3(-\hspace{-0.05cm}1) \ = \ $

Musterlösung

(1) Aus den Gleichungen auf der Angabenseite erkennt man $d_0 = \underline{–0.4}$ und $d_1 = \underline {–0.8}$.

(2) Die Fehlergrößen $\varepsilon_0(i)$ beinhalten den Grundimpulswert $g_{\rm –1}$, über den der Zusammenhang zwischen dem Amplitudenkoeffizienten $a_1$ und dem Detektionsabtastwert $d_0$ hergestellt wird ($g_0$ ist in diesen Gleichungen nicht enthalten). Man erkennt $g_{\rm –1}\ \underline {= 0.4}$. Aus den Gleichungen für $\nu = 1$ ist der Hauptwert $g_0 \ \underline {= 0.6}$ ablesbar.

(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

Die möglichen Nutzabtastwerte sind $\pm g_0 \pm g_{\rm –1} = \pm 0.6 \pm0.4$, also $\underline {±0.2}$ und $\underline {±1.0}$.
Bei unipolarer Signalisierung ⇒ $a_\nu \in \{0, \hspace{0.05cm} 1\}$ würden sich dagegen die Werte $0, \ 0.4, \ 0.6$ und $1$ ergeben.
Der Zusammenhang zwischen bipolaren Werten $b_i$ und den unipolaren Äquivalenten $u_i$ lautet allgemein: $b_i = 2 \cdot u_i - 1 \hspace{0.05cm}.$

(4) Die Fehlergrößen ergeben sich für $\nu = 2$ unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus (3) wie folgt:

$$\varepsilon_{2}(+1, +1) \ = \ [0.1 - 1.0]^2=0.81,\hspace{0.2cm} \varepsilon_{2}(-1, +1) = [0.1 +0.2]^2=0.09 \hspace{0.05cm},$$

$$\varepsilon_{2}(+1, -1) \ = \ [0.1 -0.2]^2=0.01,\hspace{0.2cm} \varepsilon_{2}(-1, -1) = [0.1 +1.0]^2=1.21 \hspace{0.05cm}.$$

Damit lauten die minimalen Gesamtfehlergrößen:

$${\it \Gamma}_{2}(+1) \ = \ {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{1}(+1) + \varepsilon_{2}(+1, +1), \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(-1) + \varepsilon_{2}(-1, +1)\right] = {\rm Min}\left[0.36 + 0.81, 0.04 + 0.09\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.13} \hspace{0.05cm},$$

$${\it \Gamma}_{2}(-1) \ = \ {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{1}(+1) + \varepsilon_{2}(+1, -1), \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(-1) + \varepsilon_{2}(-1, -1)\right] = {\rm Min}\left[0.36 + 0.01, 0.04 + 1.21\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.37} \hspace{0.05cm}.$$

Berechnung der minimalen Gesamtfehlergrößen

Im nebenstehenden Trellisdiagramm ist der Zustand „$1$” als „$+1$” und „$0$” als „$–1$” zu interpretieren.

Dann gilt:

${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ ist die minimale Gesamtfehlergröße unter der Hypothese, dass das nachfolgende Symbol $a_3 = +1$ sein wird.
Unter dieser Annahme ist $a_2 = \ –1$ wahrscheinlicher als $a_2 = +1$, wie aus dem Trellisdiagramm hervorgeht (der ankommende Pfad ist blau).
Eine realistische Alternative zur Kombination „$a_2 = \ –1, a_3 = +1$” ist „$a_2 = +1, a_3 = \ –1$”, die zur minimalen Gesamtfehlergröße ${\it \Gamma}_2(–1) = 0.37$ führen. Hier ist der ankommende Pfad rot.

(5) Für den Zeitpunkt $\nu = 3$ gelten folgende Gleichungen:

$$\varepsilon_{3}(+1, +1) \ = \ [0.5 - 1.0]^2=0.25,\hspace{0.2cm} \varepsilon_{3}(-1, +1) = [0.5 +0.2]^2=0.49 \hspace{0.05cm},$$

$$\varepsilon_{3}(+1, -1) \ = \ [0.5 -0.2]^2=0.09,\hspace{0.2cm} \varepsilon_{3}(-1, -1) = [0.5 +1.0]^2=2.25 \hspace{0.05cm}.$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Gamma}_{3}(+1) \ = \ {\rm Min}\left[0.13 + 0.25, 0.37 + 0.49\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.38} \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} {\it \Gamma}_{3}(-1) \ = \ {\rm Min}\left[0.13 + 0.09, 0.37 + 2.25\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.22} \hspace{0.05cm}.$$

Bei beiden Gleichungen ist der jeweils erste Term der kleinere, wobei jeweils ${\it \Gamma}_2(+1) = 0.13$ enthalten ist.
Deshalb wird der Viterbi–Empfänger mit Sicherheit $a_3 = +1$ ausgeben, ganz egal, welche Informationen er zu späteren Zeitpunkten ($\nu > 3$) noch bekommen wird.

Verfolgt man den durchgehenden Pfad im Trellisdiagramm, so sind durch die Festlegung $a_3 = +1$ auch die anderen Amplitudenkoeffizienten fix:

$$a_1 = a_2 = \ –1.$$