Aufgabe 3.11Z: Extrem unsymmetrischer Kanal
Betrachtet wird der nebenstehend gezeichnete Kanal mit den folgenden Eigenschaften:
- Das Symbol $X = 0$ wird immer richtig übertragen und führt stets zum Ergebnis $Y = 0$.
- Das Symbol $X = 1$ wird maximal verfälscht. Aus Sicht der Informationstheorie bedeutet diese Aussage:
$${\rm Pr}(Y \hspace{-0.05cm} = 0\hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X \hspace{-0.05cm}= 1) ={\rm Pr}(Y \hspace{-0.05cm} = 1\hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X \hspace{-0.05cm}= 1) = 0.5 \hspace{0.05cm}$$ Zu bestimmen sind in dieser Aufgabe:
- die Transinformation $I(X; Y)$für $P_X(0) = p_0 = 0.4$ und $P_X(1) = p_1 = 0.6$. Es gilt allgemein:
$$ I(X;Y) \hspace{-0.15cm} =\hspace{-0.15cm} H(X) - H(X \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} Y)\hspace{0.05cm}$$ $$I(X;Y) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} H(Y) - H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X)\hspace{0.05cm}$$ $$I(X;Y) \hspace{-0.15cm} =\hspace{-0.15cm} H(X) + H(Y)- H(XY)\hspace{0.05cm}$$
- die Kanalkapazität:
$$ C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}$$ Hinweis: Die Aufgabe beschreibt einen Teilaspekt von Kapitel 3.3. In der Aufgabe A3.13 sollen die hier gefundenen Ergebnisse im Vergleich zum BSC–Kanal interpretiert werden
Fragebogen
Musterlösung
