Aufgaben:Aufgabe 3.10: Baumdiagramm bei Maximum-Likelihood: Unterschied zwischen den Versionen

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Wie in [[Aufgaben:3.9_Unipolarer_Korrelationsempf%C3%A4nger|Aufgabe A3.9]] betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers. Die möglichen Sendesignale $s_0(t), \ ... \ , \ s_7(t)$ seien bipolar. In der Grafik sind die Funktionen $s_0(t)$, $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_3(t)$ dargestellt. Die blauen Kurvenverläufe gelten dabei für rechteckförmige NRZ–Sendeimpulse.
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Wie in der  [[Aufgaben:Aufgabe_3.09:_Korrelationsempfänger_für_unipolare_Signalisierung|Aufgabe 3.9]]  betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers.  
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*Die möglichen Sendesignale  $s_0(t), \ \text{...} \ , \ s_7(t)$  seien bipolar.  
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*In der Grafik sind die Funktionen  $s_0(t)$,  $s_1(t)$,  $s_2(t)$  und  $s_3(t)$  dargestellt.  
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*Die blauen Kurvenverläufe gelten dabei für rechteckförmige NRZ–Sendeimpulse.
  
Darunter gezeichnet ist das so genannte Baumdiagramm für diese Konstellation unter der Voraussetzung, dass das Signal $s_3(t)$ gesendet wurde. Dargestellt sind hier im Bereich von $0$ bis $3T$ die Funktionen
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Darunter gezeichnet ist das so genannte Baumdiagramm für diese Konstellation unter der Voraussetzung, dass das Signal  $s_3(t)$  gesendet wurde. Dargestellt sind hier im Bereich von  $0$  bis  $3T$  die Funktionen
 
:$$i_i(t)  =  \int_{0}^{t} s_3(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d}
 
:$$i_i(t)  =  \int_{0}^{t} s_3(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d}
\tau \hspace{0.3cm}( i = 0, ... , 7)\hspace{0.05cm}.$$
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\tau \hspace{0.3cm}( i = 0, \ \text{...} \  , 7)\hspace{0.05cm}.$$
  
Der Korrelationsempfänger vergleicht die Endwerte $I_i = i_i(3T)$ miteinander und sucht den größtmöglichen Wert $I_j$. Das zugehörige Signal $s_j(t)$ ist dann dasjenige, das gemäß dem Maximum–Likelihood–Kriterium am wahrscheinlichsten gesendet wurde.
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*Der Korrelationsempfänger vergleicht die Endwerte  $I_i = i_i(3T)$  miteinander und sucht den größtmöglichen Wert  $I_j$.  
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*Das zugehörige Signal  $s_j(t)$  ist dann dasjenige, das gemäß dem Maximum–Likelihood–Kriterium am wahrscheinlichsten gesendet wurde.
  
Anzumerken ist, dass der Korrelationsempfänger im allgemeinen die Entscheidung anhand der korrigierten Größen $W_i = I_i \ – E_i/2$ trifft. Da aber bei bipolaren Rechtecken alle Sendesignale ($i = 0, \ ... \ , \ 7$) die genau gleiche Energie
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Anzumerken ist, dass der Korrelationsempfänger im allgemeinen die Entscheidung anhand der korrigierten Größen  $W_i = I_i \ - E_i/2$  trifft. Da aber bei bipolaren Rechtecken alle Sendesignale  $(i = 0, \ \text{...} \ , \ 7)$  die genau gleiche Energie
 
:$$E_i  =  \int_{0}^{3T} s_i^2(t) \,{\rm d} t$$
 
:$$E_i  =  \int_{0}^{3T} s_i^2(t) \,{\rm d} t$$
  
aufweisen, liefern die Integrale $I_i$ genau die gleichen ML–Informationen wie die korrigierten Größen $W_i$.
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aufweisen, liefern die Integrale  $I_i$  genau die gleichen Maximum–Likelihood–Informationen wie die korrigierten Größen  $W_i$.
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Die roten Signalverläufe  $s_i(t)$  ergeben sich aus den blauen durch Faltung mit der Impulsantwort  $h_{\rm G}(t)$  eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$.
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*Jeder einzelne Rechteckimpuls wird verbreitert.
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*Die roten Signalverläufe führen bei Schwellenwertentscheidung zu  Impulsinterferenzen.
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Die roten Signalverläufe $s_i(t)$ ergeben sich aus den blauen durch Faltung mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$. Jeder einzelne Rechteckimpuls wird verbreitert. Die roten Funktionsverläufe weise Impulsinterferenzen auf.
 
  
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* Die Aufgabe gehört zum Themebgebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien|Optimale Empfängerstrategien]].
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale_Empf%C3%A4ngerstrategien|Optimale Empfängerstrategien]].
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===Fragebogen===
 
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{Geben Sie die folgenden normierten Endwerte $I_i/E_{\rm B}$ für Rechtecksignale (ohne Rauschen) an.
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{Geben Sie die folgenden normierten Endwerte &nbsp;$I_i/E_{\rm B}$&nbsp; für Rechtecksignale (ohne Rauschen) an.
 
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$I_0/E_{\rm B}$ = { -1.03--0.97 }
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$I_6/E_{\rm B}$ = { -1.03--0.97 }
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$I_6/E_{\rm B} \ = \ $ { -1.03--0.97 }
  
 
{Welche Aussagen gelten bei Berücksichtigung eines Rauschenterms?
 
{Welche Aussagen gelten bei Berücksichtigung eines Rauschenterms?
 
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- Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
 
- Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
+ Ist $I_3$ der maximale $I_i§ \, &ndash;Wert, so entscheidet der Empfänger richtig.
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+ Ist &nbsp;$I_3$&nbsp; der maximale $I_i$&ndash;Wert, so entscheidet der Empfänger richtig.
- Es gilt unabhängig von der Stärke der Störungen $I_0 = I_6$.
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- Es gilt unabhängig von der Stärke der Störungen &nbsp;$I_0 = I_6$.
  
 
{Welche Aussagen gelten für die roten Signalverläufe (mit Impulsinterferenzen)?
 
{Welche Aussagen gelten für die roten Signalverläufe (mit Impulsinterferenzen)?
 
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- Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
 
- Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
+ Die Signalenergien $E_i(i = 0, \ ... \, \ 7$) sind dann unterschiedlich.
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+ Die Signalenergien &nbsp;$E_i(i = 0, \ \text{...} \ , 7$)&nbsp; sind unterschiedlich.
- Es sind sowohl die Entscheidungsgrößen $I_i$ als auch $W_i$ geeignet.
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- Es sind sowohl die Entscheidungsgrößen &nbsp;$I_i$&nbsp; als auch &nbsp;$W_i$&nbsp; geeignet.
  
{Wie sollte der Intergrationsbereich ($t_1$ bis $t_2$) gewählt werden?
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{Wie sollte der Intergrationsbereich &nbsp;$(t_1 \ \text{...} \ t_2)$&nbsp; gewählt werden?
 
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+ Ohne Impulsinterferenzen (blau) sind $t_1 = 0$, $t_2 = 3T$ bestmöglich.
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+ Ohne Impulsinterferenzen (blau) sind &nbsp;$t_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$t_2 = 3T$&nbsp; bestmöglich.
- Mit Impulsinterferenzen (rot) sind $t_1 = 0$ und $t_2 = 3T$ bestmöglich.
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- Mit Impulsinterferenzen (rot) sind &nbsp;$t_1 = 0$&nbsp; und &nbsp;$t_2 = 3T$&nbsp; bestmöglich.
 
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'''(1)'''&nbsp; Die linke Grafik zeigt das Baumdiagramm (ohne Rauschen) mit allen Endwerten. Grün hervorgehoben ist der Verlauf $i_0(t)/E_{\rm B}$ mit dem Endergebnis $I_0/E_{\rm B} = \ &ndash;1$, der zunächst linear bis $+1$ ansteigt &ndash; das jeweils erste Bit von $s_0(t)$ und $s_3(t)$ stimmen überein &ndash; und dann über zwei Bitdauern abfällt.
 
'''(1)'''&nbsp; Die linke Grafik zeigt das Baumdiagramm (ohne Rauschen) mit allen Endwerten. Grün hervorgehoben ist der Verlauf $i_0(t)/E_{\rm B}$ mit dem Endergebnis $I_0/E_{\rm B} = \ &ndash;1$, der zunächst linear bis $+1$ ansteigt &ndash; das jeweils erste Bit von $s_0(t)$ und $s_3(t)$ stimmen überein &ndash; und dann über zwei Bitdauern abfällt.
 
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Die richtigen Ergebnisse lauten somit:
 
Die richtigen Ergebnisse lauten somit:
:$$I_0/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1}, \hspace{0.2cm}I_2/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= +1}, \hspace{0.2cm}I_4/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= -3}, \hspace{0.2cm}I_6/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1}
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:$$I_2/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= +1}, $$
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:$$I_4/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= -3}, $$
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:$$I_6/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
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'''(2)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
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*Bei Vorhandensein von (Rausch&ndash;) Störungen nehmen die Funktionen $i_i(t)$ nicht mehr linear zu bzw. ab, sondern haben einen Verlauf wie in der rechten Grafik dargestellt.
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*Solange $I_3 > I_{\it i&ne;3}$ ist, entscheidet der Korrelationsempfänger richtig.
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*Bei Vorhandensein von Störungen gilt stets $I_0 &ne; I_6$ im Gegensatz zum störungsfreien Baumdiagramm.
  
  
'''(2)'''&nbsp; Bei Vorhandensein von (Rausch&ndash;) Störungen nehmen die Funktionen $i_i(t)$ nicht mehr linear zu bzw. ab, sondern haben einen Verlauf wie in der oberen Grafik dargestellt. Solange $I_3 > I_{\it i&ne;3}$ ist, entscheidet der Korrelationsempfänger richtig. Bei Vorhandensein von Störungen gilt stets $I_0 &ne; I_6$ im Gegensatz zum störungsfreien Baumdiagramm. Richtig ist also nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
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'''(3)'''&nbsp; Auch hier ist nur die <u>zweite Aussage</u> zutreffend:
 
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*Da nun die möglichen Sendesignale $s_i(t)$ nicht mehr aus isolierten horizontalen Abschnitten zusammengesetzt werden können, besteht auch das Baumdiagramm ohne Störungen nicht aus Geradenstücken.  
 
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*Da die Energien $E_i$ unterschiedlich sind &ndash; dies erkennt man zum Beispiel durch den Vergleich der (roten) Signale $s_0(t)$ und $s_2(t)$ &ndash; müssen für die Entscheidung unbedingt die korrigierten Größen $W_i$ herangezogen werden.  
'''(3)'''&nbsp; Auch hier ist nur die <u>zweite Aussage</u> zutreffend. Da nun die möglichen Sendesignale $s_i(t)$ nicht mehr aus horizontalen Abschnitten zusammengesetzt werden können, besteht auch das Baumdiagramm ohne Störungen nicht aus Geradenstücken. Da die Energien $E_i$ unterschiedlich sind &ndash; dies erkennt man zum Beispiel durch den Vergleich der Signale $s_0(t)$ und $s_2(t)$ &ndash; müssen für die Entscheidung unbedingt die korrigierten Größen $W_i$ herangezogen werden. Die Verwendung der reinen Korrelationswerte $I_i$ kann bereits ohne Störungen zu Fehlentscheidungen führen.
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*Die Verwendung der reinen Korrelationswerte $I_i$ kann bereits ohne Rauschstörungen zu Fehlentscheidungen führen.
 
 
  
'''(4)'''&nbsp; Im Fall <u>ohne Impulsinterferenzen</u> (blaue Rechtecksignale) sind alle Signale auf den Bereich $0 \ ... \ 3T$ begrenzt. Außerhalb stellt das Empfangssignal $r(t)$ reines Rauschen dar. Deshalb genügt in diesem Fall auch die Integration über den Bereich $0 \ ... \ 3T$. Richtig ist <u>Antwort 1</u>.
 
  
Demgegenüber unterscheiden sich bei Berücksichtigung von Impulsinterferenzen (rote Signale) die Integranden $s_3(t) \cdot s_i(t)$ auch außerhalb dieses Bereichs. Wählt man $t_1 = \ &ndash;T$ und $t_2 = +4T$, so wird deshalb die Fehlerwahrscheinlichkeit des Korrelationsempfängers gegenüber dem Integrationsbereich $0 \ ... \ 3T$ weiter verringert.
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'''(4)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 1</u>:
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*Im Fall <u>ohne Impulsinterferenzen</u> (blaue Rechtecksignale) sind alle Signale auf den Bereich $0 \ ... \ 3T$ begrenzt.
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*Außerhalb stellt das Empfangssignal $r(t)$ reines Rauschen dar.
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*Deshalb genügt in diesem Fall auch die Integration über den Bereich $0 \ \text{...} \ 3T$.
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*Demgegenüber unterscheiden sich bei Berücksichtigung von Impulsinterferenzen (rote Signale) die Integranden $s_3(t) \cdot s_i(t)$ auch außerhalb dieses Bereichs.  
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*Wählt man $t_1 = \ &ndash;T$ und $t_2 = +4T$, so wird deshalb die Fehlerwahrscheinlichkeit des Korrelationsempfängers gegenüber dem Integrationsbereich $0 \ \text{...} \ 3T$ weiter verringert.
 
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Version vom 7. März 2019, 12:45 Uhr

Signale und Baumdiagramm

Wie in der  Aufgabe 3.9  betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers.

  • Die möglichen Sendesignale  $s_0(t), \ \text{...} \ , \ s_7(t)$  seien bipolar.
  • In der Grafik sind die Funktionen  $s_0(t)$,  $s_1(t)$,  $s_2(t)$  und  $s_3(t)$  dargestellt.
  • Die blauen Kurvenverläufe gelten dabei für rechteckförmige NRZ–Sendeimpulse.


Darunter gezeichnet ist das so genannte Baumdiagramm für diese Konstellation unter der Voraussetzung, dass das Signal  $s_3(t)$  gesendet wurde. Dargestellt sind hier im Bereich von  $0$  bis  $3T$  die Funktionen

$$i_i(t) = \int_{0}^{t} s_3(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d} \tau \hspace{0.3cm}( i = 0, \ \text{...} \ , 7)\hspace{0.05cm}.$$
  • Der Korrelationsempfänger vergleicht die Endwerte  $I_i = i_i(3T)$  miteinander und sucht den größtmöglichen Wert  $I_j$.
  • Das zugehörige Signal  $s_j(t)$  ist dann dasjenige, das gemäß dem Maximum–Likelihood–Kriterium am wahrscheinlichsten gesendet wurde.


Anzumerken ist, dass der Korrelationsempfänger im allgemeinen die Entscheidung anhand der korrigierten Größen  $W_i = I_i \ - E_i/2$  trifft. Da aber bei bipolaren Rechtecken alle Sendesignale  $(i = 0, \ \text{...} \ , \ 7)$  die genau gleiche Energie

$$E_i = \int_{0}^{3T} s_i^2(t) \,{\rm d} t$$

aufweisen, liefern die Integrale  $I_i$  genau die gleichen Maximum–Likelihood–Informationen wie die korrigierten Größen  $W_i$.

Die roten Signalverläufe  $s_i(t)$  ergeben sich aus den blauen durch Faltung mit der Impulsantwort  $h_{\rm G}(t)$  eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$.

  • Jeder einzelne Rechteckimpuls wird verbreitert.
  • Die roten Signalverläufe führen bei Schwellenwertentscheidung zu Impulsinterferenzen.




Hinweis:



Fragebogen

1

Geben Sie die folgenden normierten Endwerte  $I_i/E_{\rm B}$  für Rechtecksignale (ohne Rauschen) an.

$I_0/E_{\rm B} \ = \ $

$I_2/E_{\rm B} \ = \ $

$I_4/E_{\rm B} \ = \ $

$I_6/E_{\rm B} \ = \ $

2

Welche Aussagen gelten bei Berücksichtigung eines Rauschenterms?

Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
Ist  $I_3$  der maximale $I_i$–Wert, so entscheidet der Empfänger richtig.
Es gilt unabhängig von der Stärke der Störungen  $I_0 = I_6$.

3

Welche Aussagen gelten für die roten Signalverläufe (mit Impulsinterferenzen)?

Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
Die Signalenergien  $E_i(i = 0, \ \text{...} \ , 7$)  sind unterschiedlich.
Es sind sowohl die Entscheidungsgrößen  $I_i$  als auch  $W_i$  geeignet.

4

Wie sollte der Intergrationsbereich  $(t_1 \ \text{...} \ t_2)$  gewählt werden?

Ohne Impulsinterferenzen (blau) sind  $t_1 = 0$  und  $t_2 = 3T$  bestmöglich.
Mit Impulsinterferenzen (rot) sind  $t_1 = 0$  und  $t_2 = 3T$  bestmöglich.


Musterlösung

(1)  Die linke Grafik zeigt das Baumdiagramm (ohne Rauschen) mit allen Endwerten. Grün hervorgehoben ist der Verlauf $i_0(t)/E_{\rm B}$ mit dem Endergebnis $I_0/E_{\rm B} = \ –1$, der zunächst linear bis $+1$ ansteigt – das jeweils erste Bit von $s_0(t)$ und $s_3(t)$ stimmen überein – und dann über zwei Bitdauern abfällt.

Baumdiagramm des Korrelationsempfängers

Die richtigen Ergebnisse lauten somit:

$$I_0/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1},$$
$$I_2/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= +1}, $$
$$I_4/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= -3}, $$
$$I_6/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1} \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Richtig ist nur der zweite Lösungsvorschlag:

  • Bei Vorhandensein von (Rausch–) Störungen nehmen die Funktionen $i_i(t)$ nicht mehr linear zu bzw. ab, sondern haben einen Verlauf wie in der rechten Grafik dargestellt.
  • Solange $I_3 > I_{\it i≠3}$ ist, entscheidet der Korrelationsempfänger richtig.
  • Bei Vorhandensein von Störungen gilt stets $I_0 ≠ I_6$ im Gegensatz zum störungsfreien Baumdiagramm.


(3)  Auch hier ist nur die zweite Aussage zutreffend:

  • Da nun die möglichen Sendesignale $s_i(t)$ nicht mehr aus isolierten horizontalen Abschnitten zusammengesetzt werden können, besteht auch das Baumdiagramm ohne Störungen nicht aus Geradenstücken.
  • Da die Energien $E_i$ unterschiedlich sind – dies erkennt man zum Beispiel durch den Vergleich der (roten) Signale $s_0(t)$ und $s_2(t)$ – müssen für die Entscheidung unbedingt die korrigierten Größen $W_i$ herangezogen werden.
  • Die Verwendung der reinen Korrelationswerte $I_i$ kann bereits ohne Rauschstörungen zu Fehlentscheidungen führen.


(4)  Richtig ist die Antwort 1:

  • Im Fall ohne Impulsinterferenzen (blaue Rechtecksignale) sind alle Signale auf den Bereich $0 \ ... \ 3T$ begrenzt.
  • Außerhalb stellt das Empfangssignal $r(t)$ reines Rauschen dar.
  • Deshalb genügt in diesem Fall auch die Integration über den Bereich $0 \ \text{...} \ 3T$.
  • Demgegenüber unterscheiden sich bei Berücksichtigung von Impulsinterferenzen (rote Signale) die Integranden $s_3(t) \cdot s_i(t)$ auch außerhalb dieses Bereichs.
  • Wählt man $t_1 = \ –T$ und $t_2 = +4T$, so wird deshalb die Fehlerwahrscheinlichkeit des Korrelationsempfängers gegenüber dem Integrationsbereich $0 \ \text{...} \ 3T$ weiter verringert.