Aufgabe 2.9: Symmetrische Verzerrungen

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Sende– und Empfangsspektrum im äquivalenten TP-Bereich

Das aus zwei Anteilen zusammengesetzte Quellensignal

$$q(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 t )$$

wird amplitudenmoduliert und über einen linear verzerrenden Übertragungskanal übertragen. Die Trägerfrequenz ist  $f_{\rm T}$  und der zugesetzte Gleichanteil  $A_{\rm T}$. Es liegt also eine  Zweiseitenband-Amplitudenmoduluation (ZSB–AM) mit Träger  vor.

Die obere Grafik zeigt das Spektrum  $S_{\rm TP}(f)$  des äquivalenten TP–Signals in schematischer Form. Das bedeutet, dass die Längen der gezeichneten Diraclinien nicht den tatsächlichen Werten von  $A_{\rm T}$,  $A_1/2$  und  $A_2/2$  entsprechen.


Messtechnisch erfasst wurde die Spektralfunktion  $R(f)$  des Empfangssignals. In der unteren Grafik sehen Sie das daraus berechnete äquivalente Tiefpass–Spektrum  $R_{\rm TP}(f)$.

Der Kanalfrequenzgang ist durch einige Stützwerte ausreichend genau beschrieben:

$$ H_{\rm K}(f = f_{\rm T}) = 0.5,\hspace{0.3cm}H_{\rm K}(f = f_{\rm T} \pm f_1) = 0.4,\hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f = f_{\rm T} \pm f_2) = 0.2 \hspace{0.05cm}.$$



Hinweise:


Fragebogen

1

Ermitteln Sie die Amplituden von Träger– und Quellensignal.

$A_{\rm T} \ = \hspace{0.17cm} $

$\ \rm V$
$A_1 \ = \ $

$\ \rm V$
$A_2 \ = \ $

$\ \rm V$

2

Zu welcher Art von Verzerrung hätte der Einsatz eines Hüllkurvendemodulators bei idealem Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f) = 1$  geführt?

Keine Verzerrungen.
Lineare Verzerrungen.
Nichtlineare Verzerrungen.

3

Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass–Signal und beantworten Sie folgende Fragen. Ist es zutreffend, dass

$r_{\rm TP}(t)$  stets reell ist,
$r_{\rm TP}(t)$  stets größer oder gleich 0 ist,
die Phasenfunktion  $ϕ(t)$  die Werte  $0^\circ$  und  $180^\circ$  annehmen kann.

4

Zu welchen Verzerrungen führt der Hüllkurvendemodulator beim betrachteten Übertragungskanal?

Keine Verzerrungen.
Lineare Verzerrungen.
Nichtlineare Verzerrungen.


Musterlösung

(1)  Anhand der Grafiken auf der Angabenseite sind folgende Aussagen möglich:

$${A_{\rm T}} \cdot 0.5 = 2 \,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \,{\rm V}},$$
$${A_{\rm 1}}/{2} \cdot 0.4 = 0.6\,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm 1} \hspace{0.15cm}\underline {= 3 \,{\rm V}},$$
$${A_{\rm 2}}/{2} \cdot 0.2 = 0.4\,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

  • Der Modulationsgrad ergibt sich zu $m = (A_1 + A_2)/A_T = 1.75$.
  • Damit ergeben sich bei Verwendung eines Hüllkurvendemodulators starke nichtlineare Verzerrungen.
  • Ein Klirrfaktor kann aber nicht angegeben werden, da das Quellensignal zwei Frequenzanteile beinhaltet.


(3)  Richtig sind die Aussagen 1 und 2: Die Fourierrücktransformation von $R_{\rm TP}(f)$ führt zum Ergebnis:

$$ r_{\rm TP}(t) = 2 \,{\rm V} + 1.2 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 0.8 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t )\hspace{0.05cm}.$$
  • Diese Funktion ist stets reell und nicht–negativ.
  • Damit gilt gleichzeitig $ϕ(t) = 0$. Dagegen ist $ϕ(t) = 180^\circ$ nicht möglich.


(4)  Ein Vergleich der beiden Signale

$$q(t) = 3 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t ),$$
$$ v(t) = 0.4 \cdot 3 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 0.2 \cdot 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t )$$

zeigt, dass nun lineare Verzerrungen – genauer gesagt Dämpfungsverzerrungen – auftreten   ⇒   Lösungsvorschlag 2.

  • Der Kanal $H_{\rm K}(f)$ hat hier den positiven Effekt, dass anstelle von irreversiblen nichtlinearen Verzerrungen nun nichtlineare Verzerrungen entstehen, die durch ein nachgeschaltetes Filter eliminiert werden können.
  • Dies ist darauf zurückzuführen, dass durch die stärkere Dämpfung des Quellensignals $q(t)$ im Vergleich zum Trägersignal $z(t)$ der Modulationsgrad von $m = 1.75$ auf $m = (0.4 · 3 \ \rm V + 0.2 · 4 \ \rm V)/(0.5 · 4 \ \rm V) = 1$ herabgesetzt wird.