Aufgaben:Aufgabe 2.9: Symmetrische Verzerrungen: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 2. Juli 2017, 14:06 Uhr

Sende– und Empfangsspektrum im äquivalenten TP-Bereich

Das aus zwei Anteilen zusammengesetzte Quellensignal

$$q(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 t )$$

wird amplitudenmoduliert und über einen linear verzerrenden Übertragungskanal übertragen. Die Trägerfrequenz ist $f_{\rm T}$ und der zugesetzte Gleichanteil $A_{\rm T}$. Es liegt also eine Zweiseitenband-Amplitudenmoduluation (ZSB–AM) mit Träger vor.

Die obere Grafik zeigt das Spektrum $S_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten TP–Signals in schematischer Form. Das bedeutet, dass die Längen der gezeichneten Diraclinien nicht den tatsächlichen Werten von $A_{\rm T}$, $A_1/2$ und $A_2/2$ entsprechen.

Messtechnisch erfasst wurde die Spektralfunktion $R(f)$ des Empfangssignals. In der unteren Grafik sehen Sie das daraus berechnete äquivalente Tiefpass–Spektrum $R_{\rm TP}(f)$.

Der Kanalfrequenzgang ist durch einige Stützwerte ausreichend genau beschrieben:

$$ H_{\rm K}(f = f_{\rm T}) = 0.5,\hspace{0.3cm}H_{\rm K}(f = f_{\rm T} \pm f_1) = 0.4,\hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f = f_{\rm T} \pm f_2) = 0.2 \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Hüllkurvendemodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf das Kapitel Beschreibung mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

$A_{\rm T} \ = \hspace{0.16cm} $

$\ \rm V$

$A_1 \ = \ $

$\ \rm V$

$A_2 \ = \ $

$\ \rm V$

	Keine Verzerrungen.
	Lineare Verzerrungen.
	Nichtlineare Verzerrungen.

	$r_{\rm TP}(t)$ stets reell ist,
	$r_{\rm TP}(t)$ stets größer oder gleich 0 ist,
	die Phasenfunktion $ϕ(t)$ die Werte $0^\circ$ und $180^\circ$ annehmen kann.

	Keine Verzerrungen.
	Lineare Verzerrungen.
	Nichtlineare Verzerrungen.

Musterlösung

(1) Anhand der Grafiken auf der Angabenseite sind folgende Aussagen möglich:

$${A_{\rm T}} \cdot 0.5 = 2 \,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \,{\rm V}},$$

$${A_{\rm 1}}/{2} \cdot 0.4 = 0.6\,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm 1} \hspace{0.15cm}\underline {= 3 \,{\rm V}},$$

$${A_{\rm 2}}/{2} \cdot 0.2 = 0.4\,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

Der Modulationsgrad ergibt sich zu $m = (A_1 + A_2)/A_T = 1.75$.
Damit ergeben sich bei Verwendung eines Hüllkurvendemodulators starke nichtlineare Verzerrungen.
Ein Klirrfaktor kann aber nicht angegeben werden, da das Quellensignal zwei Frequenzanteile beinhaltet.

(3) Richtig sind die Aussagen 1 und 2: Die Fourierrücktransformation von $R_{\rm TP}(f)$ führt zum Ergebnis:

$$ r_{\rm TP}(t) = 2 \,{\rm V} + 1.2 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 0.8 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t )\hspace{0.05cm}.$$

Diese Funktion ist stets reell und nicht–negativ.
Damit gilt gleichzeitig $ϕ(t) = 0$. Dagegen ist $ϕ(t) = 180^\circ$ nicht möglich.

(4) Ein Vergleich der beiden Signale

$$q(t) = 3 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t ),$$

$$ v(t) = 0.4 \cdot 3 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 0.2 \cdot 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t )$$

zeigt, dass nun lineare Verzerrungen – genauer gesagt Dämpfungsverzerrungen – auftreten ⇒ Lösungsvorschlag 2.

Der Kanal $H_{\rm K}(f)$ hat hier den positiven Effekt, dass anstelle von irreversiblen nichtlinearen Verzerrungen nun nichtlineare Verzerrungen entstehen, die durch ein nachgeschaltetes Filter eliminiert werden können.
Dies ist darauf zurückzuführen, dass durch die stärkere Dämpfung des Quellensignals $q(t)$ im Vergleich zum Trägersignal $z(t)$ der Modulationsgrad von $m = 1.75$ auf $m = (0.4 · 3 \ \rm V + 0.2 · 4 \ \rm V)/(0.5 · 4 \ \rm V) = 1$ herabgesetzt wird.

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 { Ermitteln Sie die Amplituden von Träger– und Quellensignal.
 |type="{}"}
-$A_{\rm T} \ = \ $  { 4 3% } $\ \rm V$
+$A_{\rm T} \ = \hspace{0.16cm} $  { 4 3% } $\ \rm V$
 $A_1 \ = \ $ { 3 3% } $\ \rm V$
 $A_2 \ = \ $ { 4 3% } $\ \rm V$
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''Anhand der Grafiken auf der Angabenseite sind folgende Aussagen möglich:
+'''(1)'''&nbsp; Anhand der Grafiken auf der Angabenseite sind folgende Aussagen möglich:
-$${A_{\rm T}} \cdot 0.5 = 2 \,{\rm V}\hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}A_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \,{\rm V}},$$
+:$${A_{\rm T}} \cdot 0.5 = 2 \,{\rm V}\hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}A_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \,{\rm V}},$$
-$$\frac{A_{\rm 1}}{2} \cdot 0.4 = 0.6\,{\rm V}\hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}A_{\rm 1} \hspace{0.15cm}\underline {= 3 \,{\rm V}},$$
+:$${A_{\rm 1}}/{2} \cdot 0.4 = 0.6\,{\rm V}\hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}A_{\rm 1} \hspace{0.15cm}\underline {= 3 \,{\rm V}},$$
-$$\frac{A_{\rm 2}}{2} \cdot 0.2 = 0.4\,{\rm V}\hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}A_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
+:$${A_{\rm 2}}/{2} \cdot 0.2 = 0.4\,{\rm V}\hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}A_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''2.'''Der Modulationsgrad ergibt sich zu $m = (A_1 + A_2)/A_T = 1.75$. Damit ergeben sich bei Verwendung eines Hüllkurvendemodulators starke nichtlineare Verzerrungen. Ein Klirrfaktor kann nicht angegeben werden, da das Quellensignal zwei Frequenzanteile beinhaltet.
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
+*Der Modulationsgrad ergibt sich zu $m = (A_1 + A_2)/A_T = 1.75$.
+*Damit ergeben sich bei Verwendung eines Hüllkurvendemodulators starke nichtlineare Verzerrungen.
+*Ein Klirrfaktor kann aber nicht angegeben werden, da das Quellensignal zwei Frequenzanteile beinhaltet.
-'''3.''' Die Fourierrücktransformation von $R_{TP}(f)$ führt zum Ergebnis:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Aussagen 1 und 2</u>:
-$$ r_{\rm TP}(t) = 2 \,{\rm V} + 1.2 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 0.8 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t )\hspace{0.05cm}.$$
+Die Fourierrücktransformation von $R_{\rm TP}(f)$ führt zum Ergebnis:
-Diese Funktion ist stets reell und nicht–negativ. Damit gilt gleichzeitig $ϕ(t) = 0$. Dagegen ist $ϕ(t) = 180°$ nicht möglich. Richtig sind also die Aussagen 1 und 2.
+:$$ r_{\rm TP}(t) = 2 \,{\rm V} + 1.2 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 0.8 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t )\hspace{0.05cm}.$$
+*Diese Funktion ist stets reell und nicht–negativ.
+*Damit gilt gleichzeitig $ϕ(t) = 0$. Dagegen ist $ϕ(t) = 180^\circ$ nicht möglich.
-'''4.'''Ein Vergleich der beiden Signale
-$$q(t)  =  3 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t ),$$
-$$ v(t)  =  0.4 \cdot 3 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 0.2 \cdot 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t )$$
-zeigt, dass nun lineare Verzerrungen – genauer gesagt Dämpfungsverzerrungen – auftreten.
+'''(4)'''&nbsp; Ein Vergleich der beiden Signale
+:$$q(t)  =  3 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t ),$$
+:$$ v(t)  =  0.4 \cdot 3 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 0.2 \cdot 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t )$$
+zeigt, dass nun lineare Verzerrungen – genauer gesagt Dämpfungsverzerrungen – auftreten &nbsp; &rArr; &nbsp;  <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
-Der Kanal $H_K(f)$ hat hier den positiven Effekt, dass anstelle von irreversiblen nichtlinearen Verzerrungen nun nichtlineare Verzerrungen entstehen, die durch ein nachgeschaltetes Filter eliminiert werden können. Dies ist darauf zurückzuführen, dass durch die stärkere Dämpfung des Quellensignals $q(t)$ im Vergleich zum Trägersignal $z(t)$ der Modulationsgrad von $m = 1.75$ auf $m = (0.4 · 3 V + 0.2 · 4 V)/(0.5 · 4 V) = 1$ vermindert wird.
+*Der Kanal $H_{\rm K}(f)$ hat hier den positiven Effekt, dass anstelle von irreversiblen nichtlinearen Verzerrungen nun nichtlineare Verzerrungen entstehen, die durch ein nachgeschaltetes Filter eliminiert werden können.
+*Dies ist darauf zurückzuführen, dass durch die stärkere Dämpfung des Quellensignals $q(t)$ im Vergleich zum Trägersignal $z(t)$ der Modulationsgrad von $m = 1.75$ auf $m = (0.4 · 3 \ \rm  V + 0.2 · 4 \ \rm  V)/(0.5 · 4 \ \rm  V) = 1$ herabgesetzt wird.