Aufgaben:Aufgabe 2.8: Vergleich von Binärcode, AMI-Code und 4B3T-Code: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | In der Grafik sind drei Augendiagramme (ohne Rauschen) dargestellt, wobei jeweils ein rechteckförmiger NRZ–Sendegrundimpuls und für das Gesamtsystem eine Cosinus–Rolloff–Charakteristik mit Rolloff–Faktor $r = 0.8$ zugrunde liegen. Für die einzelnen Augendiagramme ist weiterhin vorausgesetzt (von oben nach unten): | + | In der Grafik sind drei Augendiagramme (ohne Rauschen) dargestellt, wobei jeweils ein rechteckförmiger NRZ–Sendegrundimpuls und für das Gesamtsystem eine Cosinus–Rolloff–Charakteristik mit Rolloff–Faktor $r = 0.8$ zugrunde liegen. Für die einzelnen Augendiagramme ist weiterhin vorausgesetzt (von oben nach unten): |
*der redundanzfreie Binärcode, | *der redundanzfreie Binärcode, | ||
| − | *der AMI–Code (ca. $37 \%$ Redundanz), | + | *der AMI–Code (ca. $37 \%$ Redundanz), |
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Weiter kann von folgenden Voraussetzungen ausgegangen werden: | Weiter kann von folgenden Voraussetzungen ausgegangen werden: | ||
*Es liegt AWGN–Rauschen vor, wobei gilt: | *Es liegt AWGN–Rauschen vor, wobei gilt: | ||
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| − | *Die Detektionsstörleistung hat beim Binärsystem folgenden Wert (wegen des nicht optimalen Empfangsfilters $12 \%$–Aufschlag): | + | *Die Detektionsstörleistung hat beim Binärsystem folgenden Wert (wegen des nicht optimalen Empfangsfilters $12 \%$–Aufschlag): |
:$$\sigma_d^2 = 1.12 \cdot {N_0}/({2 T})\hspace{0.05cm}.$$ | :$$\sigma_d^2 = 1.12 \cdot {N_0}/({2 T})\hspace{0.05cm}.$$ | ||
*Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des Binärsystems lautet: | *Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des Binärsystems lautet: | ||
:$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left( {s_0}/{ \sigma_d} \right) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left( {s_0}/{ \sigma_d} \right) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
*Dagegen gilt für die beiden redundanten Ternärsysteme: | *Dagegen gilt für die beiden redundanten Ternärsysteme: | ||
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudoternärcodes|Symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudoternärcodes|Symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes]]. |
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| − | {Berechnen Sie den (normierten) Rauscheffektivwert für das Binärsystem. | + | {Berechnen Sie den (normierten) Rauscheffektivwert für das '''Binärsystem'''. |
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'''(1)''' Aus dem angegebenen S/N-Verhältnis erhält man: | '''(1)''' Aus dem angegebenen S/N-Verhältnis erhält man: | ||
| − | :$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{s_0^2 \cdot T}/{N_0} = 10\, {\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{N_0} = { s_0^2 \cdot T}/{10}$$ | + | :$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}({s_0^2 \cdot T}/{N_0}) = 10\, {\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{N_0} = { s_0^2 \cdot T}/{10}$$ |
:$$ \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma_d^2 = 1.12 \cdot {N_0}/({2 T}) = 0.056 \cdot s_0^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{ \sigma_d}/{s_0} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.237}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$ \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma_d^2 = 1.12 \cdot {N_0}/({2 T}) = 0.056 \cdot s_0^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{ \sigma_d}/{s_0} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.237}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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'''(2)''' Daraus folgt für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des binären redundanzfreien Referenzsystems: | '''(2)''' Daraus folgt für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des binären redundanzfreien Referenzsystems: | ||
:$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left( {s_0}/{ \sigma_d} \right)\approx {\rm Q}(4.22)\hspace{0.15cm}\underline { = 1.22 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left( {s_0}/{ \sigma_d} \right)\approx {\rm Q}(4.22)\hspace{0.15cm}\underline { = 1.22 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | '''(3)''' Die Symboldauer $T$ des AMI–codierten Signals ist gleich der Bitdauer $T_{\rm B}$ des Binärsignals. Deshalb ändert sich an den Bandbreitenverhältnissen nichts und man erhält den gleichen Rauscheffektivwert wie unter Punkt (1) berechnet: | + | |
| + | '''(3)''' Die Symboldauer $T$ des AMI–codierten Signals ist gleich der Bitdauer $T_{\rm B}$ des Binärsignals. Deshalb ändert sich an den Bandbreitenverhältnissen nichts und man erhält den gleichen Rauscheffektivwert wie unter Punkt '''(1)''' berechnet: | ||
:$${ \sigma_d}/{s_0}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.237} \hspace{0.05cm}.$$ | :$${ \sigma_d}/{s_0}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.237} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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'''(4)''' Aufgrund der ternären Entscheidung wird das Argument der Q–Funktion halbiert: | '''(4)''' Aufgrund der ternären Entscheidung wird das Argument der Q–Funktion halbiert: | ||
:$$p_{\rm S} \approx{4}/{3}\cdot {\rm Q}(2.11)={4}/{3} \cdot 1.74 \cdot 10^{-2}\hspace{0.15cm}\underline { = 2.32 \cdot 10^{-2}} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$p_{\rm S} \approx{4}/{3}\cdot {\rm Q}(2.11)={4}/{3} \cdot 1.74 \cdot 10^{-2}\hspace{0.15cm}\underline { = 2.32 \cdot 10^{-2}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Der Faktor $4/3$ berücksichtigt hierbei, dass das innere Symbol | + | Der Faktor $4/3$ berücksichtigt hierbei, dass das innere Symbol $0$ nach zwei Richtungen hin verfälscht werden kann. |
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| − | '''(5)''' Bei Anwendung einer 4B3T–Codierung wird die Symbolrate um $25 \%$ verringert. Um den gleichen Faktor $0.75$ wird dadurch die Rauschleistung kleiner als unter (1) und (3) berechnet. Daraus folgt: | + | '''(5)''' Bei Anwendung einer 4B3T–Codierung wird die Symbolrate um $25 \%$ verringert. Um den gleichen Faktor $0.75$ wird dadurch die Rauschleistung kleiner als unter '''(1)''' und '''(3)''' berechnet. Daraus folgt: |
:$${ \sigma_d}/{s_0} = \sqrt{0.75} \cdot 0.237 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.205} \hspace{0.05cm}.$$ | :$${ \sigma_d}/{s_0} = \sqrt{0.75} \cdot 0.237 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.205} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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'''(6)''' Aufgrund des kleineren Rauscheffektivwertes ergibt sich nun eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit als mit dem AMI–Code: | '''(6)''' Aufgrund des kleineren Rauscheffektivwertes ergibt sich nun eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit als mit dem AMI–Code: | ||
Aktuelle Version vom 10. Juni 2020, 17:50 Uhr
Augendiagramme von verschiedenen Codes
In der Grafik sind drei Augendiagramme (ohne Rauschen) dargestellt, wobei jeweils ein rechteckförmiger NRZ–Sendegrundimpuls und für das Gesamtsystem eine Cosinus–Rolloff–Charakteristik mit Rolloff–Faktor $r = 0.8$ zugrunde liegen. Für die einzelnen Augendiagramme ist weiterhin vorausgesetzt (von oben nach unten):
- der redundanzfreie Binärcode,
- der AMI–Code (ca. $37 \%$ Redundanz),
- der 4B3T–Code (ca. $16 \%$ Redundanz).
Weiter kann von folgenden Voraussetzungen ausgegangen werden:
- Es liegt AWGN–Rauschen vor, wobei gilt:
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} ({s_0^2 \cdot T}/{N_0}) = 10\, {\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
- Die Detektionsstörleistung hat beim Binärsystem folgenden Wert (wegen des nicht optimalen Empfangsfilters $12 \%$–Aufschlag):
- $$\sigma_d^2 = 1.12 \cdot {N_0}/({2 T})\hspace{0.05cm}.$$
- Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des Binärsystems lautet:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q} \left( {s_0}/{ \sigma_d} \right) \hspace{0.05cm}.$$
- Dagegen gilt für die beiden redundanten Ternärsysteme:
- $$p_{\rm S} = {4}/{3} \cdot {\rm Q} \left( s_0/(2 \sigma_d) \right) \hspace{0.05cm}.$$
- Zu berücksichtigen ist, dass sich der Rauscheffektivwert $\sigma_{d}$ gegenüber dem redundanzfreien Binärsystem durchaus verändern kann.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Blockweise Codierung mit 4B3T-Codes.
- Zur numerischen Auswertung der Q–Funktion können Sie das interaktve Applet Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen verwenden.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Aus dem angegebenen S/N-Verhältnis erhält man:
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}({s_0^2 \cdot T}/{N_0}) = 10\, {\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{N_0} = { s_0^2 \cdot T}/{10}$$
- $$ \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma_d^2 = 1.12 \cdot {N_0}/({2 T}) = 0.056 \cdot s_0^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{ \sigma_d}/{s_0} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.237}\hspace{0.05cm}.$$
(2) Daraus folgt für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit des binären redundanzfreien Referenzsystems:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q} \left( {s_0}/{ \sigma_d} \right)\approx {\rm Q}(4.22)\hspace{0.15cm}\underline { = 1.22 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Die Symboldauer $T$ des AMI–codierten Signals ist gleich der Bitdauer $T_{\rm B}$ des Binärsignals. Deshalb ändert sich an den Bandbreitenverhältnissen nichts und man erhält den gleichen Rauscheffektivwert wie unter Punkt (1) berechnet:
- $${ \sigma_d}/{s_0}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.237} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Aufgrund der ternären Entscheidung wird das Argument der Q–Funktion halbiert:
- $$p_{\rm S} \approx{4}/{3}\cdot {\rm Q}(2.11)={4}/{3} \cdot 1.74 \cdot 10^{-2}\hspace{0.15cm}\underline { = 2.32 \cdot 10^{-2}} \hspace{0.05cm}.$$
Der Faktor $4/3$ berücksichtigt hierbei, dass das innere Symbol $0$ nach zwei Richtungen hin verfälscht werden kann.
(5) Bei Anwendung einer 4B3T–Codierung wird die Symbolrate um $25 \%$ verringert. Um den gleichen Faktor $0.75$ wird dadurch die Rauschleistung kleiner als unter (1) und (3) berechnet. Daraus folgt:
- $${ \sigma_d}/{s_0} = \sqrt{0.75} \cdot 0.237 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.205} \hspace{0.05cm}.$$
(6) Aufgrund des kleineren Rauscheffektivwertes ergibt sich nun eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit als mit dem AMI–Code:
- $$p_{\rm S} \approx {4}/{3} \cdot {\rm Q} \left( \frac{0.5}{ 0.205} \right) = {4}/{3} \cdot 0.833 \cdot 10^{-2}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.11 \cdot 10^{-2}} \hspace{0.05cm}.$$
Die deutlich kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit des redundanzfreien Binärcodes kann der 4B3T–Code aufgrund der ternären Entscheidung (halbe Augenöffnung) jedoch nicht erreichen.
