Aufgaben:Aufgabe 2.8: Unsymmetrischer Kanal: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 15. Februar 2022, 15:17 Uhr

Äquivalentes Tiefpass–Signal
in der komplexen Ebene

Ein cosinusförmiges Quellensignal $q(t)$ mit der Amplitude $A_{\rm N}$ und der Frequenz $f_{\rm N}$ wird ZSB–amplitudenmoduliert, so dass für das modulierte Signal gilt:

$$ s(t) = \big[ q(t) + A_{\rm T}\big] \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$

Der Übertragungskanal weist lineare Verzerrungen auf:

Während das untere Seitenband $($USB-Frequenz: $f_{\rm T} - f_{\rm N})$ und auch der Träger unverfälscht übertragen werden,
wird das obere Seitenband $($OSB-Frequenz: $f_{\rm T} + f_{\rm N})$ mit dem Dämpfungsfaktor $α_{\rm O} = 0.25$ gewichtet.

Die Grafik zeigt die Ortskurve, also die Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals $r_{\rm TP}(t)$ in der komplexen Ebene.

Wertet man das Signal $r(t)$ mit einem idealen Hüllkurvendemodulator aus, so erhält man ein Sinkensignal $v(t)$, das wie folgt angenähert werden kann:

$$v(t) = 2.424 \,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t ) -0.148 \,{\rm V} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} \cdot t )+ 0.056 \,{\rm V} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t )-\text{ ...}$$

Für diese Messung wurde die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$ benutzt.

In der Teilaufgabe (7) soll das Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis $\rm (SNR)$ wie folgt berechnet werden:

$$ \rho_{v } = \frac{P_{v 1}}{P_{\varepsilon }} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnen $P_{v1} = α^2 · P_q$ und $P_ε$ die „Leistungen” der beiden Signale:

$$ v_1(t) = 2.424 \,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$

$$ \varepsilon(t) = v(t) - v_1(t) \approx -0.148 \,{\rm V} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} \cdot t )+ 0.056 \,{\rm V} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Hüllkurvendemodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf das Kapitel Beschreibung mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals.

Fragebogen

$r_{\rm TP}(t=0) \ = \ $

$\ \rm V$

$A_{\rm T} \ = \ $

$\ \rm V$

$A_{\rm N} \ = \ $

$\ \rm V$

$t_1 \ = \ $

$\ \rm ms$

$t_2 \ = \ $

$\ \rm ms$

$a(t = t_2) \ = \ $

$\ \rm V$

$ϕ(t = t_2)\ = \ $

$\ \rm Grad$

$K \ = \ $

$\ \text{%}$

$ρ_v \ = \ $

$K \ = \ $

$\ \text{%}$

Musterlösung

(1) Bei cosinusförmigem Quellensignal und Dämpfung des oberen Seitenbandes gilt:

$$ r_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} + \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot \alpha_{\rm O} \cdot{\rm e}^{{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot t} + \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot{\rm e}^{-{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot t}\hspace{0.05cm}.$$

Zum Zeitpunkt $t = 0$ zeigen alle Vektoren in Richtung der reellen Achse.
Somit kann aus der Grafik auf der Angabenseite $r_{\rm TP}(t = 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 15 \ \rm V}$ abgelesen werden.

(2) Die Trägeramplitude ist durch den Ellipsenmittelpunkt festgelegt: $A_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline { = 10 \ \rm V}$.

Aus der in der ersten Teilaufgabe angegebenen Gleichung kann somit auch die Amplitude $A_{\rm N}$ berechnet werden:

$$ \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot ( 1+ \alpha_0) = r_{\rm TP}(t= 0) - A_{\rm T} = 5 \,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= 8 \,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$

Zur Kontrolle kann der in der Grafik markierte Punkt (2) herangezogen werden:

$$\frac{A_{\rm N}}{2} \cdot ( 1- \alpha_0) = 3 \,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm N} = 8 \,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$

(3) Die für einen Umlauf benötigte Zeit $t_1$ ist gleich der Periodendauer des Quellensignals, also

$$t_1= 1/f_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {=0.5 \ \rm ms}.$$

(4) Da das USB größer ist als das OSB, bewegt sich die Spitze des Zeigerverbundes auf der Ellipse im Uhrzeigersinn.

Der Punkt (2) wird zum Zeitpunkt $t_2 = 3/4 · t_1\hspace{0.15cm}\underline { = 0.375 \ \rm ms}$ zum ersten Mal erreicht.

Zur Berechnung von $t_2$ und $t_3$

(5) Die Zeigerlänge zur Zeit $t_2$ kann mit dem Satz von Pythagoras bestimmt werden:

$$ a(t = t_2) = \sqrt{(10 \,{\rm V})^2 + (3 \,{\rm V})^2}\hspace{0.15cm}\underline { = 10.44 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

Für die Phasenfunktion gilt:

$$\phi(t = t_2) = {\rm arctan} \frac{3 \,{\rm V}}{10 \,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {= 16.7^{\circ}}\hspace{0.05cm}.$$

Die maximale Phase $ϕ_{\rm max}$ ist geringfügig größer. Sie tritt (mit positivem Vorzeichen) zum Zeitpunkt $t_3 < t_2$ dann auf, wenn eine Gerade vom Koordinatenursprung die Ellipse tangiert.
Durch Aufstellen der Ellipsengleichung kann dieser Punkt $(x_3$, $y_3)$ analytisch exakt berechnet werden.
Daraus würde für die maximale Phase gelten: $\phi_{\rm max} = {\rm arctan} \ {y_3}/{x_3} \hspace{0.05cm}.$

(6) Die Klirrfaktoren zweiter und dritter Ordnung können aus der angegebenen Gleichung für $v(t)$ ermittelt werden und lauten $($gültig für $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz)$:

$$ K_2 = \frac{0.148 \,{\rm V}}{2.424 \,{\rm V}} = 0.061, \hspace{0.3cm} K_3 = \frac{0.056 \,{\rm V}}{2.424 \,{\rm V}} = 0.023 \hspace{0.05cm}.$$

Damit erhält man für den Gesamtklirrfaktor:

$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2 }\hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.6 \%}.$$

(7) Für die Leistungen von Nutz– und Störsignal erhält man:

$$ P_{v 1} = \frac{(2.424 \,{\rm V})^2}{2} = 2.94 \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} P_{\varepsilon} = \frac{(-0.148 \,{\rm V})^2}{2} + \frac{(0.056 \,{\rm V})^2}{2}= 0.0125 \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm}$$

Damit ergibt sich für das Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis $\rm (SNR)$:

$$\rho_{v} = \frac{P_{v 1}}{P_{\varepsilon }}= \frac{(2.94 \,{\rm V})^2}{0.0125 \,{\rm V}^2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 230} = \frac{1}{K^2} \hspace{0.05cm}.$$

Würde man dagegen die Amplitudenverfälschung ebenfalls dem Fehlersignal zuweisen, so käme man zu einem deutlich kleineren $\rm SNR$.
Mit $P_q = A_{\rm N}^2/2 = 8 \ \rm V^2$ und $P_{\varepsilon}\hspace{0.02cm}' = \overline{(v(t)-q(t))^2} = {1}/{2}\cdot ( 4 \,{\rm V} - 2.424 \,{\rm V})^2 + P_{\varepsilon}= 1.254 \,{\rm V}^2$ würde man dann erhalten:

$$\rho_{v }\hspace{0.02cm}' = \frac{8 \,{\rm V}^2}{1.254 \,{\rm V}^2} \approx 6.4\hspace{0.05cm}.$$

(8) Alle Berechnungen gelten unabhängig von der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$, wenn der Dämpfungsfaktor des OSB weiterhin $α_{\rm O} = 0.25$ beträgt.

Damit erhält man auch für $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$ den gleichen Klirrfaktor $K\hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.6 \%}$.

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 }}
-[[Datei:P_ID1038__Mod_A_2_8.png|right|]]
+[[Datei:P_ID1038__Mod_A_2_8.png|right|frame|Äquivalentes Tiefpass–Signal <br>in der komplexen Ebene]]
-Ein cosinusförmiges Quellensignal $q(t)$ mit der Amplitude $A_N$ und der Frequenz $f_N$ wird ZSB–amplitudenmoduliert, so dass für das modulierte Signal gilt:
+Ein cosinusförmiges Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit der Amplitude &nbsp;$A_{\rm N}$&nbsp; und der Frequenz &nbsp;$f_{\rm N}$&nbsp; wird ZSB–amplitudenmoduliert,&nbsp; so dass für das modulierte Signal gilt:
-$$ s(t) = ( q(t) + A_{\rm T}) \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$
+:$$ s(t) = \big[ q(t) + A_{\rm T}\big] \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$
-Der Übertragungskanal weist lineare Verzerrungen auf. Während sowohl das untere Seitenband als auch der Träger unverfälscht übertragen werden, wird das obere Seitenband (bei der OSB-Frequenz $f_T + f_N$) mit dem Dämpfungsfaktor $α_O = 0.25$ gewichtet.
+Der Übertragungskanal weist lineare Verzerrungen auf:
+*Während das untere Seitenband&nbsp; $($USB-Frequenz: &nbsp; &nbsp;$f_{\rm T} - f_{\rm N})$&nbsp; und auch der Träger unverfälscht übertragen werden,
+*wird das obere Seitenband&nbsp; $($OSB-Frequenz: &nbsp; &nbsp;$f_{\rm T} + f_{\rm N})$&nbsp; mit dem Dämpfungsfaktor &nbsp;$α_{\rm O} = 0.25$&nbsp; gewichtet.
-Die Grafik zeigt die Ortskurve, also die Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals $r_TP(t)$ in der komplexen Ebene. Wertet man das Signal $r(t)$ mit einem idealen Hüllkurvendemodulator aus, so erhält man ein Sinkensignal $υ(t)$, das wie folgt angenähert werden kann:
-$$v(t) = 2.424 \,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t ) -0.148 \,{\rm V} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} \cdot t )+ 0.056 \,{\rm V} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t )- ...$$
-Für diese Messung wurde die Nachrichtenfrequenz $f_N = 2 kHz$ benutzt.
-In der Teilaufgabe g) soll das Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis (SNR) wie folgt berechnet werden:
+Die Grafik zeigt die Ortskurve,&nbsp; also die Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals &nbsp;$r_{\rm TP}(t)$&nbsp; in der komplexen Ebene.
-$$ \rho_{v } = \frac{P_{v 1}}{P_{\varepsilon }} \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei bezeichnen $P_{υ1} = α^2 · P_q$ und $P_ε$ die „Leistungen” der beiden Signale:
+Wertet man das Signal &nbsp;$r(t)$&nbsp; mit einem idealen Hüllkurvendemodulator aus,&nbsp; so erhält man ein Sinkensignal &nbsp;$v(t)$,&nbsp; das wie folgt angenähert werden kann:
-$$ v_1(t)  =  2.424 \,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$
+:$$v(t) = 2.424 \,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t ) -0.148 \,{\rm V} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} \cdot t )+ 0.056 \,{\rm V} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t )-\text{ ...}$$
-$$ \varepsilon(t)  =  v(t) - v_1(t) \approx -0.148 \,{\rm V} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} \cdot t )+ 0.056 \,{\rm V} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$
+Für diese Messung wurde die Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$&nbsp; benutzt.
+In der Teilaufgabe&nbsp; '''(7)'''&nbsp; soll das Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis&nbsp; $\rm (SNR)$&nbsp; wie folgt berechnet werden:
+:$$ \rho_{v } = \frac{P_{v 1}}{P_{\varepsilon }} \hspace{0.05cm}.$$
+Hierbei bezeichnen &nbsp;$P_{v1} = α^2 · P_q$&nbsp; und &nbsp;$P_ε$&nbsp; die „Leistungen” der beiden Signale:
+:$$ v_1(t)  =  2.424 \,{\rm V} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$
+:$$ \varepsilon(t)  =  v(t) - v_1(t) \approx -0.148 \,{\rm V} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} \cdot t )+ 0.056 \,{\rm V} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$
+Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf das Kapitel&nbsp;   [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation#Beschreibung_mit_Hilfe_des_.C3.A4quivalenten_Tiefpass.E2.80.93Signals|Beschreibung mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals]].
-'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/H%C3%BCllkurvendemodulation Kapitel 2.3].
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Multiple-Choice Frage
-|type="[]"}
-- Falsch
-+ Richtig
+{Geben Sie das Tiefpass-Signal &nbsp;$r_{\rm TP}(t)$&nbsp; in analytischer Form an.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich für die Zeit  &nbsp;$t = 0$?
+|type="{}"}
+$r_{\rm TP}(t=0) \ = \ $ { 15 3% } $\ \rm V$
-{Input-Box Frage
+{Wie lauten die Amplitudenwerte &nbsp;$A_{\rm T}$&nbsp; und &nbsp;$A_{\rm N}$?
 |type="{}"}
-$\alpha$ = { 0.3 }
+$A_{\rm T} \ = \ $ { 10 3% } $\ \rm V$
+$A_{\rm N} \ = \ $ { 8 3% } $\ \rm V$
+{Es gelte &nbsp;$f_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline{= 2 \ \rm kHz}$.&nbsp; Zu welcher Zeit &nbsp;$t_1$&nbsp; wird der Startpunkt&nbsp; '''(1)'''&nbsp; zum ersten Mal nach &nbsp;$t = 0$&nbsp; wieder erreicht?
+|type="{}"}
+$t_1 \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm ms$
+{Zu welchem Zeitpunkt &nbsp;$t_2$&nbsp; wird der Ellipsenpunkt&nbsp; '''(2)'''&nbsp; mit dem Wert &nbsp;$\rm j · 3\ V$&nbsp; zum ersten Mal erreicht?
+|type="{}"}
+$t_2 \ = \ $ { 0.375 3% } $\ \rm ms$
+{Berechnen Sie die Betragsfunktion&nbsp; ("Hüllkurve")  &nbsp;$a(t)$&nbsp; und die Phasenfunktion &nbsp;$ϕ(t)$&nbsp; für diesen Zeitpunkt &nbsp;$t_2$.
+|type="{}"}
+$a(t = t_2) \ = \ $ { 10.44 3% } $\ \rm V$
+$ϕ(t = t_2)\ = \ $ { 16.7 3% } $\ \rm Grad$
+{Berechnen Sie den Klirrfaktor &nbsp;$K$&nbsp; für &nbsp;$f_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline{= 2 \ \rm kHz}$.
+|type="{}"}
+$K \ = \ $ { 6.6 3% } $\ \text{%}$
+{Berechnen Sie für &nbsp;$f_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2 \ \rm kHz}$&nbsp; das Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis &nbsp;$\rm (SNR)$&nbsp;  gemäß der angegebenen Definition.
+|type="{}"}
+$ρ_v \ = \ $ { 230 3% }
+{ Welcher Klirrfaktor &nbsp;$K$&nbsp; ergibt sich bei ansonsten gleichen Bedingungen mit der Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline{= 4 \ \rm kHz}$?
+|type="{}"}
+$K \ = \ $ { 6.6 3% } $\ \text{%}$
 </quiz>
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''
+'''(1)'''&nbsp;  Bei cosinusförmigem Quellensignal und Dämpfung des oberen Seitenbandes gilt:
-'''2.'''
+:$$ r_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} + \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot \alpha_{\rm O} \cdot{\rm e}^{{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot t} + \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot{\rm e}^{-{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot t}\hspace{0.05cm}.$$
-'''3.'''
+*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; zeigen alle Vektoren in Richtung der reellen Achse.
-'''4.'''
+*Somit kann aus der Grafik auf der Angabenseite&nbsp; $r_{\rm TP}(t = 0)\hspace{0.15cm}\underline { = 15 \ \rm V}$&nbsp; abgelesen werden.
-'''5.'''
-'''6.'''
-'''7.'''
+'''(2)'''&nbsp;  Die Trägeramplitude ist durch den Ellipsenmittelpunkt festgelegt:&nbsp; $A_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline { = 10 \ \rm V}$.
+*Aus der in der ersten Teilaufgabe angegebenen Gleichung kann somit auch die Amplitude&nbsp; $A_{\rm N}$&nbsp; berechnet werden:
+:$$ \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot ( 1+ \alpha_0) = r_{\rm TP}(t= 0) - A_{\rm T} = 5 \,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= 8 \,{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
+*Zur Kontrolle kann der in der Grafik markierte Punkt&nbsp; '''(2)'''&nbsp; herangezogen werden:
+:$$\frac{A_{\rm N}}{2} \cdot ( 1- \alpha_0) = 3 \,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm N} = 8 \,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
+'''(3)'''&nbsp;  Die für einen Umlauf benötigte Zeit&nbsp; $t_1$&nbsp; ist gleich der Periodendauer des Quellensignals,&nbsp; also
+:$$t_1= 1/f_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {=0.5 \ \rm ms}.$$
+'''(4)'''&nbsp;  Da das USB größer ist als das OSB,&nbsp; bewegt sich die Spitze des Zeigerverbundes auf der Ellipse im Uhrzeigersinn.
+*Der Punkt&nbsp; '''(2)'''&nbsp; wird zum Zeitpunkt&nbsp; $t_2 = 3/4 · t_1\hspace{0.15cm}\underline { = 0.375 \ \rm ms}$&nbsp; zum ersten Mal erreicht.
+[[Datei:P_ID1039__Mod_A_2_8_e.png|right|frame|Zur Berechnung von&nbsp; $t_2$&nbsp; und&nbsp; $t_3$]]
+'''(5)'''&nbsp;  Die Zeigerlänge zur Zeit&nbsp; $t_2$&nbsp; kann mit dem&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras Satz von Pythagoras]&nbsp; bestimmt werden:
+:$$ a(t = t_2) = \sqrt{(10 \,{\rm V})^2 + (3 \,{\rm V})^2}\hspace{0.15cm}\underline { = 10.44 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
+*Für die Phasenfunktion gilt:
+:$$\phi(t = t_2) = {\rm arctan} \frac{3 \,{\rm V}}{10 \,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {= 16.7^{\circ}}\hspace{0.05cm}.$$
+*Die maximale Phase&nbsp; $ϕ_{\rm max}$&nbsp; ist geringfügig größer.&nbsp; Sie tritt (mit positivem Vorzeichen) zum Zeitpunkt&nbsp; $t_3 < t_2$&nbsp; dann auf, wenn eine Gerade vom Koordinatenursprung die Ellipse tangiert.
+*Durch Aufstellen der Ellipsengleichung kann dieser Punkt&nbsp; $(x_3$,&nbsp; $y_3)$&nbsp; analytisch exakt berechnet werden.
+*Daraus würde für die maximale Phase gelten:&nbsp; $\phi_{\rm max} = {\rm arctan} \ {y_3}/{x_3} \hspace{0.05cm}.$
+'''(6)'''&nbsp;  Die Klirrfaktoren zweiter und dritter Ordnung können aus der angegebenen Gleichung für&nbsp; $v(t)$&nbsp;  ermittelt werden und  lauten&nbsp; $($gültig für $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz)$:
+:$$ K_2 = \frac{0.148 \,{\rm V}}{2.424 \,{\rm V}} = 0.061, \hspace{0.3cm} K_3 = \frac{0.056 \,{\rm V}}{2.424 \,{\rm V}} = 0.023 \hspace{0.05cm}.$$
+*Damit erhält man für den Gesamtklirrfaktor:
+:$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2 }\hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.6 \%}.$$
+'''(7)'''&nbsp;  Für die Leistungen von Nutz– und Störsignal erhält man:
+:$$ P_{v 1} = \frac{(2.424 \,{\rm V})^2}{2} = 2.94 \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} P_{\varepsilon} = \frac{(-0.148 \,{\rm V})^2}{2} + \frac{(0.056 \,{\rm V})^2}{2}= 0.0125 \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm}$$
+*Damit ergibt sich für das Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis&nbsp; $\rm (SNR)$:
+:$$\rho_{v} = \frac{P_{v 1}}{P_{\varepsilon }}= \frac{(2.94 \,{\rm V})^2}{0.0125 \,{\rm V}^2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 230} = \frac{1}{K^2} \hspace{0.05cm}.$$
+*Würde man dagegen die Amplitudenverfälschung ebenfalls dem Fehlersignal zuweisen,&nbsp; so käme man zu einem deutlich kleineren&nbsp; $\rm SNR$.&nbsp; &nbsp;
+*Mit $P_q = A_{\rm N}^2/2 = 8 \ \rm V^2$&nbsp; und&nbsp; $P_{\varepsilon}\hspace{0.02cm}' = \overline{(v(t)-q(t))^2} = {1}/{2}\cdot ( 4 \,{\rm V} - 2.424 \,{\rm V})^2 + P_{\varepsilon}= 1.254 \,{\rm V}^2$&nbsp; würde man dann erhalten:
+:$$\rho_{v }\hspace{0.02cm}' = \frac{8 \,{\rm V}^2}{1.254 \,{\rm V}^2} \approx 6.4\hspace{0.05cm}.$$
+'''(8)'''&nbsp;  Alle Berechnungen gelten unabhängig von der Nachrichtenfrequenz&nbsp; $f_{\rm N}$,&nbsp; wenn der Dämpfungsfaktor des OSB weiterhin&nbsp; $α_{\rm O} = 0.25$&nbsp; beträgt.
+*Damit erhält man auch für&nbsp; $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$&nbsp; den gleichen Klirrfaktor&nbsp; $K\hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.6 \%}$.
 {{ML-Fuß}}