Aufgabe 2.8: Huffman-Anwendung bei einer Markovquelle

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Symmetrische Markovquelle

Wir betrachten hier die binäre symmetrische Markovquelle entsprechend nebenstehender Grafik, die durch den einzigen Parameter

$$q = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y})$$

vollständig beschrieben wird. Die angegebenen Quellensymbolfolgen gelten für die bedingten Wahrscheinlichkeiten $q = 0.2$ bzw. $q = 0.8$. In der Teilaufgabe (1) ist zu klären, welche Symbolfolge – die rote oder die blaue – mit $q = 0.2$ und welche mit $q = 0.8$ generiert wurde.

Die Eigenschaften von Markovquellen werden im Kapitel Nachrichtenquellen mit Gedächtnis ausführlich beschrieben. Aufgrund der hier vorausgesetzten Symmetrie bezüglich der Binärsymbole X und Y ergeben sich einige gravierende Vereinfachungen, wie in der Zusatzaufgabe 1.5Z hergeleitet wird:

  • Die Symbole X und Y sind gleichwahrscheinlich, das heißt, es ist $p_{\rm X} = p_{\rm Y} = 0.5$. Damit lautet die erste Entropienäherung:   $H_1 = 1\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}. $
  • Die Entropie der Markovquelle ergibt sich sowohl für $q = 0.2$ als auch für $q = 0.8$ zu
$$H = q \cdot {\rm log_2}\hspace{0.15cm}\frac{1}{q} + (1-q) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.15cm}\frac{1}{1-q} = 0.722\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}.$$
$$H_2 = {1}/{2}\cdot \big [ H_1 + H \big ] = 0.861\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm},$$
$$H_3 = {1}/{3} \cdot \big [ H_1 + 2H \big ] = 0.815\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe soll der Huffman–Algorithmus auf $k$–Tupel angewandt werden, wobei wir uns auf $k = 2$ und $k = 3$ beschränken.


Hinweise:


Fragebogen

1

Welche der vorne angegebenen Beispielfolgen gilt für q = 0.8?

Quellensymbolfolge 1,
Quellensymbolfolge 2,

2

Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

Auch die direkte Anwendung von Huffman ist hier sinnvoll.
Huffman macht bei Bildung von Zweiertupeln (k = 2) Sinn.
Huffman macht bei Bildung von Dreiertupeln (k = 3) Sinn.

3

Wie lauten die Wahrscheinlichkeiten der Zweiertupel (k = 2) für q = 0.8?

$q = 0.8; k = 2:\ p_A = Pr(XX)$ =

$p_B = Pr(XY)$ =

$p_C = Pr(YX)$ =

$p_D = Pr(YY)$ =

4

Ermitteln Sie mit dem angegebenen Flash–Modul den Huffman–Code für k = 2. Wie groß ist in diesem Fall die mittlere Codewortlänge?

$L_M$ =

bit/Quellensymbol

5

Welche Schranke ergibt sich für die mittlere Codewortlänge, wenn Zweiertupel gebildet werden (k = 2)? Interpretation.

LMH1 = 1 bit/Quellensymbol,
LMH2 ≈ 0.861 bit/Quellensymbol,
LMH3 ≈ 0.815 bit/Quellensymbol,
LMH ≈ 0.722 bit/Quellensymbol,
LM ≥ 0.5 bit/Quellensymbol.

6

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für k = 3.

$q = 0.8; k = 3:\ p_A = Pr(XXX)$ =

$p_B = Pr(XXY)$ =

$p_C = Pr(XYX)$ =

$p_D = Pr(XYY)$ =

$p_E = Pr(YXX)$ =

$p_F = Pr(YXY)$ =

$p_G = Pr(YYX)$ =

$p_H = Pr(YYY)$ =

7

Ermitteln Sie mit dem genannten Flash–Modul den Huffman–Code für k = 3. Wie groß ist in diesem Fall die mittlere Codewortlänge?

$L_M$ =

bit/Quellensymbol


Musterlösung

1.  Bei der Quellensymbolfolge 2 erkennt man sehr viel weniger Symbolwechsel als in der roten Folge. Die blaue Symbolfolge 2 wurde mit dem Parameter

$$q = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y}) = 0.8$$

erzeugt und die rote Symbolfolge 1 mit q = 0.2   ⇒   Richtig ist der Lösungsvorschlag 2.

2.  Da hier die Quellensymbole X und Y gleichwahrscheinlich angenommen wurden, macht die direkte Anwendung von Huffman keinen Sinn. Dagegen kann man die inneren statistischen Bindungen der Markovquelle zur Datenkomprimierung nutzen, wenn man k–Tupel bildet (k ≥ 2). Richtig sind demnach die Antworten 2 und 3. Je größer k ist, desto mehr nähert sich die Codewortlänge LM der Entropie H.

3.  Die Symbolwahrscheinlichkeiten pX und pY sind jeweils 0.5. Damit erhält man für die Zweiertupel:

$$p_{\rm A} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XX}) = p_{\rm X} \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) = 0.5 \cdot q = 0.5 \cdot 0.8 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.4} \hspace{0.05cm},\\ p_{\rm B} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XY}) = p_{\rm X} \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) = 0.5 \cdot (1-q)= 0.5 \cdot 0.2 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.1} \hspace{0.05cm},\\ p_{\rm C} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YX}) = p_{\rm Y} \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y}) = 0.5 \cdot (1-q)= 0.5 \cdot 0.2 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.1} \hspace{0.05cm},\\ p_{\rm D} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YY}) = p_{\rm Y} \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y}) = 0.5 \cdot q = 0.5 \cdot 0.8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.4} \hspace{0.05cm}.$$
P ID2462 Inf A 2 8d.png

4.  Nebenstehender Bildschirmabzug des Programms Shannon–Fano– und Huffman–Codierung zeigt die Konstruktion des Huffman–Codes für k = 2 mit den soeben berechneten Wahrscheinlichkeiten. Damit gilt für die mittlere Codewortlänge:

$$L_{\rm M}' \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} 0.4 \cdot 1 + 0.4 \cdot 2 + (0.1 + 0.1) \cdot 3 = \\ \hspace{0.2cm} = 1.8\,\,{\rm bit/Zweiertupel}$$
$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}L_{\rm M} = \frac{L_{\rm M}'}{2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.9\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}.$$



5.  Nach dem Quellencodierungstheorem gilt LMH. Wendet man aber Huffman–Codierung an und lässt dabei Bindungen zwischen nicht benachbarten Symbolen außer Betracht (k = 2), so gilt als unterste Grenze der Codewortlänge nicht H = 0.722, sondern H2 = 0.861 (auf den Zusatz bit/Quellensymbol wird für den Rest der Aufgabe verzichtet)  ⇒ Lösungsvorschlag 2.

Das Ergebnis der Teilaufgabe 4) war LM = 0.9. Würde eine unsymmetrische Markovkette vorliegen und zwar derart, dass sich für die Wahrscheinlichkeiten pA, ... , pD die Werte 50%, 25% und zweimal 12.5% ergeben würden, so käme man auf die mittlere Codewortlänge LM = 0.875. Wie die genauen Parameter dieser unsymmetrischen Markovquelle aussehen, weiß ich (G. Söder) nicht. Auch nicht, wie sich der Wert 0.875 auf 0.861 senken ließe. Der Huffman–Algorithmus ist hierfür jedenfalls ungeeignet.

6.  Mit q = 0.8 und 1 – q = 0.2 erhält man:

$$p_{\rm A} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XXX}) = 0.5 \cdot q^2 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.32} = p_{\rm H} = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YYY})\hspace{0.05cm},\\ p_{\rm B} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XXY}) = 0.5 \cdot q \cdot (1-q) \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.08}= p_{\rm G} = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YYX}) \hspace{0.05cm},\\ p_{\rm C} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XYX}) = 0.5 \cdot (1-q)^2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.02} = p_{\rm F}= {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YXY}) \hspace{0.05cm},\\ p_{\rm D} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XYY}) = 0.5 \cdot (1-q) \cdot q \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.08} = p_{\rm E} = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YXX})\hspace{0.05cm}.$$

7.  Der Bildschirmabzug des Flash–Moduls verdeutlicht die Konstellation des Huffman–Codes für k = 3. Damit erhält man für die mittlere Codewortlänge:

$$L_{\rm M}' = 0.64 \cdot 2 + 0.24 \cdot 3 + 0.04 \cdot 5 = 2.52\,\,{\rm bit/Dreiertupel}$$
$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}L_{\rm M} = {L_{\rm M}'}/{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.84\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}.$$
P ID2463 Inf A 2 8g.png

Man erkennt die Verbesserung gegenüber (4). Die für k = 2 gültige informationstheoretische Schranke H2 = 0.861 wird nun unterschritten (LM). Die neue Schranke für k = 3 ist H3 = 0.815. Um die Quellenentropie H = 0.722 zu erreichen (besser gesagt: diesem Endwert bis auf ein ε näher zu kommen), müsste man allerdings unendlich lange Tupel bilden (k → ∞).