Aufgaben:Aufgabe 2.6: GF(P hoch m). Welches P, welches m?

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Zugrunde liegende Tabellen für Addition und Multiplikation

Es soll ein Galoisfeld  ${\rm GF}(q)$  mit  $q = P^m$  Elementen analysiert werden, das durch die nebenstehenden Tabellen definiert ist

• für Addition  (gekennzeichnet mit „$+$”),  und
• für Multiplikation  (gekennzeichnet mit „$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$”).

Dieses Galoisfeld  ${\rm GF}(q) = \{\hspace{0.1cm}z_0,\hspace{0.1cm} z_1,\hspace{0.05cm} \text{...} , \hspace{0.1cm}z_{q-1}\}$  erfüllt alle Anforderungen an einen endlichen Körper, die im Kapitel  Einige Grundlagen der Algebra  aufgeführt sind. So werden auch Kommutativ–, Assoziativ– und Distributivgesetz erfüllt.

Weiterhin gibt es

• ein neutrales Element hinsichtlich Addition   ⇒   $N_{\rm A}$:

$$\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q)\text{:} \hspace{0.25cm}z_i + z_j = z_i \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} z_j = N_{\rm A} \hspace{0.25cm}{\rm (Nullelement)} \hspace{0.05cm},$$

• ein neutrales Element hinsichtlich Multiplikation   ⇒   $N_{\rm M}$:

$$\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q)\text{:} \hspace{0.25cm}z_i \cdot z_j = z_i \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} z_j = N_{\rm M} \hspace{0.25cm}{\rm (Einselement)} \hspace{0.05cm},$$

• für alle Elemente  $z_i$  eine additive Inverse   ⇒   ${\rm Inv_A}(z_i)$:

$$\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q)\hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:}$$

$$z_i + {\rm Inv_A}(z_i) = N_{\rm A} = {\rm "0"}\hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz}\text{:}\hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) = - z_i \hspace{0.05cm}, $$

• für alle Elemente  $z_i$  mit Ausnahme des Nullelements eine multiplikative Inverse  ⇒  ${\rm Inv_M}(z_i)$:

$$\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_i \ne N_{\rm A} \hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:}$$

$$z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = N_{\rm M} = {\rm "1"} \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz}\text{:}\hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) = z_i^{-1} \hspace{0.05cm}. $$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Erweiterungskörper.
• In den Tabellen sind die Elemente  $z_0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm} , \ z_8$  als Koeffizientenvektoren bezeichnet. Zum Beispiel steht „$2\hspace{0.03cm}1$” für „$2 \cdot \alpha + 1$”.

Fragebogen

1

Geben Sie die Parameter des hier betrachteten Galoisfeldes an.

$P \ = \ $

$m \ = \ $

$q \ = \ $

2

Wie lautet das neutrale Element für die Addition?

	Das neutrale Element der Addition ist  $N_{\rm A} = \,$ „$0\hspace{0.03cm}0$”,
	Das neutrale Element der Addition ist  $N_{\rm A} = \,$ „$0\hspace{0.03cm}1$”.

3

Wie lautet das neutrale Element für die Multiplikation?

	Das neutrale Element der Multiplikation ist  $N_{\rm M} = \,$ „$0\hspace{0.03cm}0$”,
	Das neutrale Element der Multiplikation ist  $N_{\rm M} = \,$ „$0\hspace{0.03cm}1$”.

4

Welche Aussagen gelten hinsichtlich der additiven Inversen?

	Es gilt  ${\rm Inv_A} ($„$0\hspace{0.03cm}2$”) $\, = \, $ „$0\hspace{0.03cm}1$”,
	Es gilt  ${\rm Inv_A} ($„$1\hspace{0.03cm}1$”) $\, = \, $ „$2\hspace{0.03cm}2$”,
	Es gilt  ${\rm Inv_A} ($„$2\hspace{0.03cm}2$”) $\, = \, $ „$0\hspace{0.03cm}0$”.

5

Welche der folgenden Aussagen treffen für die Multiplikation zu?

	Die Multiplikation erfolgt modulo  $p(\alpha) = \alpha^2 + 2$.
	Die Multiplikation erfolgt modulo  $p(\alpha) = \alpha^2 + 2\alpha + 2$.

6

Welche Aussagen gelten hinsichtlich der multiplikativen Inversen?

	Es gibt für alle Elemente  $z_i ∈ {\rm GF}(P^m)$  eine multiplikative Inverse.
	Es gilt  ${\rm Inv_M} ($„$1\hspace{0.03cm}2$”) $\, = \, $ „$1\hspace{0.03cm}0$”.
	Es gilt  ${\rm Inv_A} ($„$2\hspace{0.03cm}1$”) $\, = \, $ „$1\hspace{0.03cm}2$”.

7

Gilt („$2\hspace{0.03cm}0$” $\, + \,$ „$1\hspace{0.03cm}2$”) $\, \cdot\, $ „$1\hspace{0.03cm}2$” $\, = \, $„$2\hspace{0.03cm}0$” $\, \cdot\, $ „$1\hspace{0.03cm}2$” $\, + \, $„$1\hspace{0.03cm}2$” $\, \cdot\, $ „$1\hspace{0.03cm}2$”?

	Ja.
	Nein.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Jedes Element besteht aus zwei Ternärzahlen   ⇒   $\underline{P = 3}, \ \underline{m = 2}$. Es gibt $q = P^m = 3^8 = \underline{9 \ \rm Elemente}$.

(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

• Das neutrale Element der Addition $(N_{\rm A})$ erfüllt für alle $z_i ∈ {\rm GF}(P^m)$ die Bedingung $z_i + N_{\rm A} = z_i$.
• Aus der Additionstabelle kann abgelesen werden, dass „$00$” diese Bedingung erfült.

(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

• Das neutrale Element der Multiplikation $(N_{\rm M})$ muss stets die Bedingung $z_i \cdot N_{\rm M} = z_i$ erfüllen.
• Aus der Multiplikationstabelle ergibt sich $N_{\rm M} = \, „01”$.
• In der Polynomschreibweise entspricht dies mit $k_1 = 0$ und $k_0 = 1$:

$$k_1 \cdot \alpha + k_0 = 1 \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Mit der Polynomdarstellung ergeben sich folgende Berechnungen:

$${\rm Inv_A}("02") \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Inv_A}(2) = (-2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3 = 1 \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"01"\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Inv_A}("11") \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Inv_A}(\alpha + 1) = [(-\alpha) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3] + [(-1) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3] =2\alpha + 2 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"22"\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Inv_A}("22") \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Inv_A}(2\alpha + 2) = [(-2\alpha) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3] + [(-2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3] =\alpha + 1 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"11"\hspace{0.05cm}.$$

Demzufolge sind nur die beiden ersten Lösungsvorschläge richtig.

Die Aufgabe kann aber auch ohne Rechnung allein anhand der Additionstabelle gelöst werden.

• Beispielsweise findet man die Inverse zu „$22$”, indem man in der letzten Zeile die Spalte mit dem Eintrag „$00$” sucht.
• Man findet die mit „$11$” bezeichnete Spalte und damit ${\rm Inv_A}(„22”) = \, „11”$.

(5)  Die Multiplikation von $\alpha$ (Vektor „$10$”) mit sich selbst ergibt $\alpha^2$.

• Würde der erste Lösungsvorschlag gültig sein, so müsste sich aus der Bedingung $\alpha^2 + 2 = 0$ und damit $\alpha^2 = (-2) \, {\rm mod} \, 3 = 1$ ergeben, also der Vektor „$01$”.
• Geht man vom zweiten Lösungsvorschlag aus, so folgt aus der Bedingung $\alpha^2 + 2\alpha + 2 = 0$ in der Polynomschreibweise

$$\alpha^2 = [(-2\alpha) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3] + [(-2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3] = \alpha + 1 $$

und damit der Koeffizientenvektor „$11$”.

In der Multiplikationstabelle findet man in Zeile 4, Spalte 4 genau den Eintrag „$11$” → Richtig ist also der Lösungsvorschlag 2.

(6)  Die multiplikative Inverse zu „$12$” findet man in der Zeile 6 der Multiplikationstabelle als diejenige Spalte mit dem Eintrag „$01$”  ⇒  Der Lösungsvorschlag 2 ist also richtig im Gegensatz zu Vorschlag 3. Es gilt nämlich ${\rm Inv_M}(„21”) = \, „20”$.

Wir überprüfen diese Ergebnisse unter Berücksichtigung von $\alpha^2 + 2\alpha + 2 = 0$ durch Multiplikationen:

$$"12" \cdot "10" \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} (\alpha + 2) \cdot \alpha = \alpha^2 + 2\alpha = (-2\alpha-2) + 2\alpha = -2 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3 = 1 \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} {\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"01" \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm}{\rm multiplikative \hspace{0.15cm}Inverse}\hspace{0.05cm}.$$

$$"21" \cdot "12" \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} (2\alpha + 1) \cdot (\alpha + 2) = 2 \alpha^2 + \alpha + 4\alpha + 2 = 2 \alpha^2 + 5\alpha + 2 = 2 \cdot (-2\alpha - 2) + 5\alpha + 2 = (\alpha - 2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3 = \alpha +1 $$

$$\hspace{2.725cm} \Rightarrow \ {\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"11" \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm}{\rm keine \hspace{0.15cm}multiplikative \hspace{0.15cm}Inverse}\hspace{0.05cm}.$$

Der Lösungsvorschlag 1 ist deshalb nicht richtig, weil es für „$00$” keine multiplikative Inverse gibt.

(7)  Die beiden Ausdrücke stimmen überein   ⇒   JA, wie die folgenden Berechnungen zeigen:

$$("20" + "12") \ \cdot "12" \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} "02"\cdot "12" \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} "21"\hspace{0.05cm},$$

$$"20" \cdot "12" + "12" \cdot "12" \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} "02" + "22" \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} "21"\hspace{0.05cm}.$$

Das bedeutet: Das Distributivgesetz wurde zumindest an einem einzigen Beispiel nachgewiesen.